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易混易错6 翻折问题中混淆变量与不变量（小题狂练）
一．单选题.
【2024 连云港模拟】
1．在矩形ABCD 中，
，
，点E 在CD 上，现将
沿AE 折起，使面
面ABC，当E 从D 运动到C，求点D 在面ABC 上的射影K 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在原平面矩形
中,连接
,由面
面ABC 知
,故
点的轨
迹是以
为直径的圆上一段弧,根据
的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将
沿
折起，使平面
平面
，在平面
内过点
作
垂足
为
在平面
上的射影，连接
,由翻折的特征知，
则
，故
点的轨迹是以
为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是
，
如图当
与
重合时，
,所以
，
取
为
的中点，得到
是正三角形.
故
，
其所对的弧长为
；
故选：D.
【2025 上湖北武汉阶段练习】
2．已知矩形
的长为4，宽为3，将
沿对角线
翻折，得到三棱锥
，
则三棱锥
的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
相交于点
，根据
为矩形得点
为三棱锥
的外接球
的球心，求出半径可得答案.
【详解】连接
相交于点
，则点
为
的中点，
因为
为矩形，所以
，
所以点
为三棱锥
的外接球的球心，
则则三棱锥
的外接球的体积为
.
故选：A.
【2025 上四川成都开学考试】
3．如图，在矩形纸片
中，
，将矩形纸片翻折，使点
恰好落在对角线交点
处，折痕为
，点
在边
上，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到
，
，根据等腰三角形的性质得
到
，再利用勾股定理得到结论．
【详解】由折叠可得，
，
，又
为
中点，
所以
为等腰三角形，
所以
，
因为
，
所以
，
在矩形纸片
中，
，
由勾股定理求得：
，
设
，则
，
在直角
中，
，
解得：
，
即
的长为
.
故选:C.
【2024 安徽安庆模拟】
4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，N 点在边AD 上且
，将
沿BD 翻折
到
的位置，使得
. 空间四点
，B，C，D 的外接球为球O，过N 点作球O
的截面
，则
截球O 所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先找出BD 的中点O 为四面体
的外接球球心，再分析当
截面
时截
面面积最小，求出截面面积即可.
【详解】如图，取BD 的中点为O，
由正方形ABCD 的边长为2，则
，
因此O 为四面体
的外接球球心，外接球半径
，
设球心到平面
的距离为d，截面圆的半径为r，
则有
，即
，
当
截面
时，d 最大，此时截面面积最小，且
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得，
，
此时
，
所以截面面积最小值为
.
故选：A
【2024 安徽合肥模拟】
5．在
中，
，过点
作
，垂足为点
，将
沿直线
翻折，使点
与点
间的距离为3，此时四面体
的四个顶点都在球
的
球面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，根据余弦定理求出BC，根据正弦定理求出
的外接圆半径，结合球
的性质和勾股定理求出球的半径，利用球的表面积公式计算即可.
【详解】如图，
将
沿直线
翻折，得到满足题意的几何体为三棱锥
，
因为
,过点
作
，则
在
中，
，
，
由余弦定理，得
，所以，
设
的外接圆圆心为D，半径为r，则
，
由正弦定理，得
，解得
，即
，
易知
平面
，又AM 是球O 的弦，
，
，
所以
，
得球的半径为
，
所以球的表面积为
.
故选：D.
【2024 陕西西安模拟预测】
6．如图，在矩形
中，
为
边上的点，且
，将
沿
所在直线翻折到
的位置，使
，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据翻折不变性，勾股定理及线面垂直的判定定理推出
平面
，由棱锥
的体积公式即可得解．
【详解】如图，过作
，垂足为
，连接
，由翻折不变性可知：
，
，
在
中，
，且
，
所以
，
所以在
中，
，所以
．
又因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
则四棱锥
的体积
．
故选：A．
【易错指导】在翻折过程中，注意
和
中各线段长度及相应的垂直关系没有变，
如
不变．由这些不变的关系确定
为二面角
的平面角是解题
的突破口
【2024 上浙江台州阶段练习】
7．如图，将正方形
纸片沿对角线
翻折，若E，F 分别为
的中点，O 为原
正方形
的中心，使得折纸后的二面角
的大小为
，则此时
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用空间向量数量积与夹角关系计算即可.
【详解】
如图所示，易知
，
所以结合已知有
，
易知
，
设正方形边长为2，所以
,
.
故选：A
【2025】河南省部分学校质量检测】
8．设A，B 是曲线
上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x 轴折叠，
使得上，下两半部分所成二面角为
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】先设
，
，再根据二面角得出
，最
后应用
，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值.
【详解】
设
，
，
在平面直角坐标系中，过
作
轴于点
，过
作
轴于点
，
则
，
，
，
，
折叠后即有
，
因为
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选:C.
【原创】
9．直线
与椭圆
相交于A，B 两点，若将x 轴下方半平面沿着x 轴翻
折，使之与上半平面成直二面角，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断直线与椭圆的交点的位置,然后求解|AB|的取值范围即可．
【详解】由
可知，椭圆的短轴长
，长轴长
，
又直线
与椭圆
相交于A，B 两点，
所以
的最大值为
，
将x 轴下方半平面沿着x 轴翻折，使之与上半平面成直二面角，此时
的最大值仍然是
长轴长
，而短轴两个端点间的距离为
，由于A,B 不能在短轴端点处，
所以
，
故选：C
【易错指导】能翻折成符合题意的直二面角，需要注意隐蔽条件，过原点的直线不能经过
椭圆的短轴的端点，注意不变的极端最值
【原创】
10．如图，在直角梯形
中，
，
，将
沿
翻
折成
，使二面角
为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】外接球的球心为
，半径为
为
中点，
为
中点，由二面角的定义可
得
为二面角
的平面角，所以有
，作
于
，由题
意可求得
，
进而可得
，即可得答案.
【详解】如图，设外接球的球心为
，半径为
为
的中点，
为
的中点，
连接
，因为
，所以
，
又
，所以
，
由
，得
，
所以
，所以
，则
，
所以
为二面角
的平面角，则
．
作
于
，因为
，都在平面
内，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又
，都在平面
内，则
平面
，
易知
平面
，所以
，则有
，
即
，
由题意可得
，
，
设
，则
，得
，从而得
，
故三棱锥
外接球的表面积为
．
故选：A
【2024 安徽合肥模拟】
11．如图，在矩形
中，
为
的中点，将
沿
翻折．在
翻折过程中，当二面角
的平面角最大时，其正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过
作
的垂线，垂足为
，交
于
，交
于
，设
在平面
内的
时影为
，则
在直线
上，过
作
的垂线，垂足为
，则
为二面角
的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值的最
大值，进一步即可求解．
【详解】
在图1 中，过
作
的垂线，垂足为
，交
于
，交
于
.
在图2 中，设
在平面
内的射影为
，则
在直线
上，过
作
的垂线，垂足
为
，连接
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，
因为
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
为二面角
的平面角.
设
．
，
由
，可得
．
即有
，
令
，可得
，
其中
，
解得
，则
，等号成立当且仅当
．
当二面角
的平面角最大时，其正切值为
，此时它的正弦值为
．
故选：B．
【2024 浙江绍兴二模】
12．在边长为4 的正三角形
中，E，F 分别是
，
的中点，将
沿着
翻
折至
，使得
，则四棱锥
的外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出图形，通过分析得出
，外接球球心在过底面外接圆圆心
且垂直
于底面（即平行于
）的直线上面，且底面外接圆半径为
，设
到平面
的
距离为
，过
作
于点
，从而
，由此列
出方程组求出
结合球的表面积公式即可得解.
【详解】
依题意取
的中点为
，且
交
于点
，
注意到
是
的中点，三角形
是等边三角形，从而
是三角形
的中心，
同时有
，
，
，
面
，
面
，
所以
面
，而
面
，所以平面
面
，
故而点
在平面
的投影在
上面，
注意到三角形
与三角形
都是边长为2 的等边三角形，即三角形
与三角形
全等，
从而
，
，
面
，
面
，
所以
面
，因为
面
，所以
，
因为
面
，
面
，所以
，
又因为
，
面
，
面
，故有
面
，
所以
，
注意到点
是直角三角形
斜边上的中点，
所以
是四边形
（或三角形
）外接圆的圆心（这是因为
，从而
四点共圆），
所以四棱锥
的外接球的球心
在与平面
垂直的
上，
且底面四边形
外接圆的半径为
，
设
到平面
的距离为
，过
作
于点
，
所以
，即
，
解得
，这意味着此时点
与点
重合，
四棱锥
的外接球的表面积是
.
故选：C.
【2024 山东潍坊阶段练习】
13．如图，在矩形
中，
，
，
分别为
的中点，将
沿直
线
翻折成
，
与
不重合，连结
，则在翻折过程中，
与平面
所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可发现
始终垂直平面
，则只需过点
作出平行
的直线，找到
该线与平面
的交点，连接该点与
即可得到
与平面
所成角，而后通过计算
研究该角的正切值即可得.
【详解】连接
、
，设其交点为
，连接
，由矩形
中，
，
，
故四边形
为正方形，且
，
，
又
由点
关于
折叠而来，故
，且
，
又
、
平面
，且
，
故
平面
，过点
作
于点
，
由
、
，故
，又
平面
，
故
平面
，连接
，则
为
与平面
所成角，
由
平面
，故
，
故
与平面
所成角的正切值即为
，
由
，
，
，
故
与
全等，故
，
，
过点
作
于点
，则有
，
设
，则
，
当
点在线段
上（可在
点，不可在
点）时，则
，
有
，
则
，
则
，
易得
在
上时随
的增大而增大，
故
，
当
点在线段
上（不在两端）时，
，
则
，
则
，
则
，
易得
在
上时随
的增大而增大，
此时
，
综上所述，
，
即在翻折过程中，
与平面
所成角的正切值的取值范围为
.
故选：D.
【点睛】本题难点在于在翻折过程中如何找到
与平面
所成角，可以发现翻折过程
中平面
始终是固定的平面，即虽然
在动，但实际上平面
并不会动，只需找到
点
在平面
上投影即可得到该角.
【易错指导】本题难点在于在翻折过程中如何找到
与平面
所成角，可以发现翻折
过程中平面
始终是固定的平面，即虽然
在动，但实际上平面
并不会动，只需
找到点
在平面
上投影即可得到该角.
二．多选题.
【2024 湖南长沙阶段练习】
14．如图，等边三角形
的边长为4，E 为边
的中点，
于D.将
沿
翻折至
的位置，连接
.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥
的体积的最大值是
C．存在某个位置，使
D．在线段
上，存在点M 满足
，使
为定值
【答案】ABD
【分析】对于A，由
，得
，
，从而
平面
，进而
；对于B，当平面
平面
时，四棱锥
的体积最大，由此
能求出四棱锥
的体积的最大值；对于C，假设存在某个位置，使得
，
连接
，，由
得
，从而
平面
，推导出
，假设错误；对
于D，取
的中点
，连接
，可得
，
，推导出
为直角三角
形，由此能判断D．
【详解】对于A：因为
，即
，
，
因为
，
，
面
，则
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于B：当平面
平面
时，四棱锥
的体积最大.
由A 易知
为二面角
的平面角，此时
.
即
，
，
，
，
面
，
此时
平面
，即
为四棱锥底面
上的高，
由题意可得
，
四棱锥
的体积的最大值为：
，故B 正确；
对于C：假设存在某个位置，使得
，连接
，由正三角形性质得
，
因为
，
，
面
，所以
平面
，
由
平面
，所以
，由A 知
，
因为
，
，
面
，所以
平面
，
由
平面
，所以
，则
，与题设矛盾，假设不成立，故
C 错误；
对于D：由题设，点M 在线段
上，且
，
取
的中点N，连接NB，则
，
，
由底面三角形
的边长为4，则
，
，
，
因为
平面
，所以
面
，
面
，所以
，
所以
为直角三角形，且
，
，故
为定值，
故D 正确.
故选：ABD.
【2024 湖南师大附中模拟】
15．在菱形
中，
.将菱形
沿对角线
折成大小为
（
）的二面角
，若折成的四面体
内接于球
，则下列说法正确
的是（ ）
A．四面体
的体积的最大值是
B．
的取值范围是
C．四面体
的表面积的最大值是
D．当
时，球
的体积为
【答案】AD
【分析】求出当
时，四面体
的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A 选项
的正误；利用余弦定理可判断B 选项的正误；利用
时，四面体
的表面
积的最大，可判断C 选项的正误；求出球
的半径，利用球体的体积公式可判断D 选项的
正误.
【详解】对于A，
，
，则
为等边三角形，
取
的中点
，则
，同理得，
为等边三角形，则
，
且
，
，
于是二面角
的平面角为
，
设点
到平面
的距离为
，则
，
，当且仅当
时取等号，
即四面体
的体积的最大值是
，A 正确；
对于B，由余弦定理得
，
因此
，B 错误；
对于C，
，由
，
，得
≌
，
则
，
因此四面体
的表面积的最大值是
，C 错误；
对于D，设
、
分别为
、
的外心，则
，
在平面
内过点
作
的垂线与过点
作
的垂线交于点
，
由
，
，
平面
，得
平面
，
而
平面
，则
，又
，
平面
，
于是
平面
，同理得
平面
，则
为四面体
的外接球球心，
连接
，由
，
，
，得
≌
，
因此
，
，而
平面
，
平面
，
，
则
，即球
的半径为
，球
的体积为
，
D 正确.
故选：AD.
【易错指导】因为这里是沿菱形对角线翻折的，所以菱形对角线相互垂直在翻折过程中不
变，这一点必须明确，否则就易出错
【原创】
16．如图，在矩形
中，
为
的中点，将
沿
翻折成
，若
为线段
的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
平面
C．四棱锥
体积的最大值为
D．点
在某个球面上运动
【答案】ACD
【分析】假设
，可证
平面
，从而求出
，即可判断A，假设
平面
，推出矛盾，即可判断B，当平面
平面
时四棱锥
体积
最大，求出锥体体积，即可判断C，取
的中点
，连接
，即可得到
，即可
判断D.
【详解】对于A，由题意知
，若存在某个位置使得
，
则由于
平面
，因此
平面
，
又
平面
，因此
，由题意知
，故此时
，
易知在折叠过程中，
，所以存在某个位置，使得
，故存在某个位置，
使得
，故A 正确．
对于B，若存在某个位置，使得
平面
，因为
平面
，
所以
，但在矩形
中，
，则
、
为等腰直
角三角形，
所以
，显然
，故
不成立，
所以不存在某个位置，使得
平面
，故B 错误．
对于C，当平面
平面
时四棱锥
的体积最大，
又
为等腰直角三角形，所以此时点
到平面
的距离为
，
所以四棱锥
体积的最大值为
，
故C 正确．
对于D，如图，取
的中点
，连接
，由于
为线段
的中点，
所以
且
，
所以点
在以点
为球心，
为半径的球面上，故D 正确．
故选：ACD．
【易错指导】翻折位置的变化引起
的变化，从而有范围限制；且四棱锥的底面的面积
为定值，因此要使其体积最大，只需点
到底面的距离最大
【2025 上重庆期中】
17．在矩形
中，
，点
是边
的中点，将
沿
翻折，直
至点
落在边
上.当
翻折到
的位置时，连结
，
，则（ ）
A．四棱锥
体积的最大值为
B．存在某一翻折位置，使得
C．
为
的中点，当
时，二面角
的余弦值为
D．
为
的中点，则
的长为定值
【答案】ACD
【分析】因为梯形
面积为定值，只需分析何时高最大，就可求出四棱锥
体积的最大值，判断A 的真假；反证法可知B 不成立；确定二面角的平面角，解三角形确
定二面角的三角函数值，判断C 的真假；分析折叠过程中的不变量，判断D 的真假.
【详解】对于A，当平面
平面
时，四棱锥
的体积最大，此时四棱
锥
的高为点
到
的距离，直角梯形
的面积为
，
四棱锥
体积的最大值为
，所以A 正确；
对于B，若
，又
，则
平面
，即
，矛盾，所以B
错误；
对于C，取
中点
，连接
，
，如图：
由题意，
，
，所以
为二面角
的平面角，在
中，
，
，
，所以C 正确；
对于D，取
中点
，连接
，
，
，则
，
，
且四边形
为平行四边形，
，
，所以
，即
，
，
不变，由余弦定理知
定值，所以D 正确.
故选：ACD
【2025 上浙江阶段练习】
18．如图，把正方形纸片
沿着
（
是线段
的中点）翻折成平面
，
是
原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）
A．
B．
与
所成角的最大值是
C．若
是
的中点，则
与平面
所成角的正弦值的最大值是
D．过
做
的垂线与
交于点
，
【答案】ABD
【分析】过点
作
的垂线，交
于点
，连接
，利用线面垂直的判定定理及性质
定理可判断
；连接
，过点
作
的平行线交
于点
，直线
与
的夹角就
是直线BD 与直线
的夹角，设
，当
在平面ABCD 时，
，即可判断
；
的轨迹是圆G，当
与圆G 相切时，
则
与平面ABCD 所成角的正弦值的最大，设正方形的边长是2，求出正弦值即可判断
；
与
都是等腰三角形，
，继而可判断
.
【详解】对于A：过点
作
的垂线，交
于点
，连接
，
则
，又
，
平面
，
则
平面
，又
平面
，所以
．故
正确；
对于B：连接
，过点
作
的平行线交
于点
，则
，
直线BD 与直线
的夹角，就是直线
与
的夹角，
设
，
当
在平面ABCD 时，
，
因此直线BD 与直线
的夹角最大值是
．故
正确；
对于C 选项，如图所示，
的轨迹是圆G，当
与圆G 相切时，
则
与平面ABCD 所成角的正弦值的最大，
设正方形的边长是2，
，故C 错误．
对于D：
与
都是等腰三角形，
，
因此
．故
正确.
故选：
.
【2025 上浙江期中】
19．已知曲线C 的方程为：
，
，
，过M 的直线交曲线
C 于A、B 两点（A 在B 的上方），已知
，
，下列命题正确的是
（ ）
A．
B．
的最小值是2
C．
周长的最大值是
D．若
，将
沿
翻折，使面
面
，则折后
【答案】ABC
【分析】对于A，利用正弦定理，结合椭圆概念，即可判断；对于B，由
，
利用三角恒等变换可得
，再由基本不等式可得
的最小值；对
于C，由
周长
，对于
，利用基本不等
式即可得到
周长的最大值；对于D，由直曲联立可得
，又
，则折
后
，即可判断D.
【详解】
由已知，在
中，已知
，
，
由正弦定理得
，
又
，即
，
所以
，故A 正确；
由
，
得：
，
在
中，
，则
，
所以
，
故
，
当且仅当
，
时取到最小值是2，故B 正确；
周长
，
设
，
，
又
，
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
周长的最大值是
，故C 正确；
设AB 的方程是：
与
联立得：
，
解得：
（舍去）或
，则点
为椭圆上顶点，
，
又
在圆
上，所以
，
又沿
翻折后，平面
平面
， 平面
平面
，
，
则
平面
，又
平面
，则
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：B 选项中利用三角恒等变换弦化切，再利用基本不等式求最值；C
选项先利用椭圆定义和两点间距离公式，再利用基本不等式求最值.
三．填空题.
20．在矩形
中，
是
的中点，
，将
沿
折起得到
，
设
的中点为
，若将
绕
旋转
，则在此过程中动点
形成的轨迹长度为
.
【答案】
##
【分析】先通过
始终是等腰直角三角形确定动点
的轨迹是一段圆弧，再结合垂直
关系证明圆弧对应的圆心角为
，即可求出动点
的轨迹长度.
【详解】
如图，设
的中点为
，
绕
旋转
，此时平面
平面
，取
中点
，
中点
，
中点
，
连接
.
，
，
和
是等
腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的一段
圆弧，又
面
，
面
，
面
，同理
面
，又
，
面
面
，又平面
平面
，
故面
面
，又面
面
，
，故
面
，又
面
，
，
故动点
形成的轨迹长度为
.
故答案为：
.
【点睛】本题关键点在于发现
在旋转过程中始终是等腰直角三角形，进而确定动点
的轨迹是一段圆弧，再结合题目中的线面关系证明
圆弧对应的圆心角为
，即可求出动点
的轨迹长度.
【2024 浙江温州二模】
21．如图，在等腰梯形
中，
，点
是
的中点．现将
沿
翻折到
，将
沿
翻折到
，使得二面角
等于
，
等于
，则直线
与平面
所成角的余弦值等于 ．
【答案】
##
【分析】根据图象可得直线
与平面
所成角的余弦值等于
的正弦值，设
，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可.
【详解】设
，取
的中点
,连接
,
由题知平面
平面
,
平面
平面
,
又
平面
,
所以
平面
，
则直线
与平面
所成角的余弦值等于
的正弦值，
易求得
，
,
又
,
解得
，
,
则
,
所以直线
与平面
所成角的余弦值等于
，
故答案为：
.
【2024 四川一模】
22．如图，在矩形
中，
，
，点
为线段
的中点，沿直线
将
翻折，点
运动到点
的位置．当平面
平面
时，三棱锥
的体
积为 ．
【答案】
##
【分析】取
的中点
，连接
交
于点
，连接
，由面面垂直的性质得到
平面
，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】如图，取
的中点
，连接
交
于点
，连接
．易知四边形
为
正方形，则
，
由翻折前后的不变性可知，
，
当平面
平面
时，又平面
平面
，
平面
，
所以
平面
．
由题意可知，
，
，
所以
．
故答案为：
【原创】
23．已知如图1 所示的矩形ABCD 中
，
，现将△ACD 沿AC 向上翻折（如
图2 所示），在翻折过程中，当点D 到点B 的距离在
内变化时，点D 的运动
轨迹形状为 ，长度等于 ．
【答案】 是以F 为圆心，DF 为半径的一段圆弧
【分析】一般地，翻折前后位于折痕同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变，
而位于折痕两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化．因此在点F 固定、线段DF 的
长度固定的情况下，点D 的轨迹是一段圆弧，其圆心为点F，半径为DF；
将BD 长度的变化范围，转化为DE 长度的变化范围，这样我们就可以在△DFE 中研究
∠DFE 的变化了，从而得到点D 的运动轨迹圆弧所对应的圆心角．
【详解】如图3 所示，在矩形ABCD 中，过点D 作
交AC 于点F，交AB 于点G，
过点B 作
交DG 的延长线于点E，则在翻折过程中，点D 的运动轨迹是以F 为圆
心，DF 为半径的一段圆弧．
∵
，
，则
，∴
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
则
，
．
翻折后的图4 中，
，∠DFE 为二面角
的平面角．
连接DE，∵
，
，
，DF，
平面DFE，∴AC⊥平面
DFE．
又
，∴
，BE⊥平面DFE．∵
平面DFE，∴
．
当
时，
，∴此时
，
∴三角形DEF 是等边三角形，
．
当
时，
，
∵
，∴
，∴
．
∴点D 的运动轨迹圆弧所对应的圆心角为
，长度是
．
故答案为：是以F 为圆心，DF 为半径的一段圆弧；
【易错指导】一般地，翻折前后位于折痕同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不
变，而位于折痕两侧的点、线、面之间的位置关系会发坐变化．因此在点
固定、线段
的长度固定的情况下，点
的轨迹是一段圆弧，其圆心为点
，半径为
24．如图所示，在平行四边形
中，E 为
中点，
，
，
.沿着
将
折起，使A 到达点
的位置，且平面
平面
.设P 为
内的动
点，若
，则P 的轨迹的长度为 .
【答案】
【分析】先建系，分析出P 的轨迹为圆，然后判断出P 的轨迹的长度为弧长
，找出圆
心角为
，利用弧长公式求出轨迹长度．
【详解】
建立如图示空间直角坐标系，
则
,
设
则
∴
\
,
∵
∴
,
∴
整理化简得：
∴P 的轨迹为圆，交
于
,
于
,
则
∴
所对应的圆心角
，∴弧长为
．
故答案为：
．
【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，
有两种处理方法：
(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；
(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．
【2025 上北京期中】
25．如图，长方形
中，
，
，
为
的中点，现将
沿
向上翻
折到
的位置，连接
，
，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点
再次落
到平面
内），点
到平面
距离的最大值为 ，
的中点
的轨迹长度为
.
【答案】
【分析】第一空，直观想象翻折过程中点
的运动轨迹，结合点面距离的定义判断得所求
为
，从而得解；第二空，利用平行线的传递性，将问题等价于点
的轨迹长试，从而
得解.
【详解】第一空：过
作
交
于
，
易知当
平面
时，点
到平面
距离取得最大值
，
因为在
中，
，
，
，
所以
，
；
第二空，取
的中点
，连接
，
则
，又
，
则
平行且相等，四边形
是平行四边形，
所以点F 的轨迹与点
的轨迹形状完全相同.
过
作
的垂线，垂足为
，
则
的轨迹是以
为圆心，
为半径的半圆弧，
从而PD 的中点F 的轨迹长度为
.
故答案为：
；
.
1.试题特点分析：考查立体几何的高考试题中，翻折问题是常考题型，尤其与
空间距离相结合的问题问题是近几年高考的热点.翻折问题要确定翻折前后变与
不变的关系以及翻折后关键点的位置.
2.解题方法阐述：首先要确定翻折前后变与不变的关系，明确变量和不变量，
对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解
决；其次确定翻折后关键点的位置只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此
为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
3.解题经验分享：第一、画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后
图形的位置和数量关系的变与不变. 第二、正确分析翻折过程中运动变化的点．
以及与其相关的其他的点、线、面的关系变化.第三、正确利用有关判定或性质
定理进行推理.
