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微专题25 电磁感应中的动量问题 跟踪练习
基础过关
一．选择题：
1.水平面上放置两个互相平行的足够长的金属导轨，间距为d，电阻不计，
其左端连接一阻值为R 的电阻。导轨处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应
强度大小为B。质量为m、长度为d、阻值为R、与导轨接触良好的导体棒MN
以速度v0垂直导轨水平向右运动直到停下。不计一切摩擦，则下列说法正确的
是( )
A．导体棒运动过程中所受安培力先做正功再做负功
B．导体棒在导轨上运动的最大距离为
C．整个过程中，电阻R 上产生的焦耳热为mv
D．整个过程中，导体棒的平均速度大于
2.如图甲、乙所示，除导体棒ab 可动外，其余部分均固定不动，图甲中的
电容器C 原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦
也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里
的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab 一个向右的初速度v0，在图甲、乙
两种情形下，关于导体棒ab 的运动状态，下列说法正确的是( )
A．图甲中，导体棒ab 先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图乙中，导体棒ab 先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab 最终都保持匀速运动
3.如图所示，在光滑的水平面上宽度为L 的区域内，有竖直向下的匀强磁
场。现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以垂直于磁场边界的初速度v0向
右滑动，穿过磁场后速度刚好减为0，那么当线圈完全进入磁场时，其速度大
小( )
A．大于 B．等于
C．小于 D．以上均有可能
4.（多选）如图所示，一质量为2m 的足够长U 形光滑金属框abcd 置于水
平绝缘平台上，bc 边长为L，不计金属框电阻。一长为L 的导体棒MN 置于金
属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向
下的匀强磁场中。现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN 始
终与金属框保持良好接触，则( )
A．刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M
B．导体棒的最大速度为
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒产生的焦耳热为mv
5.（多选）如图，间距为L 的平行导轨竖直
固定放置，导轨上端接有阻值为R 的定值电阻，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的宽度均
为d，磁场Ⅰ的下边界和磁场Ⅱ的上边界间距为d，磁场的磁感应强度大小均为
B。一根质量为m、电阻为R 的金属棒ab 由静止释放，释放的位置离磁场Ⅰ的
上边界距离为2d，金属棒进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，金属棒运动过程中始
终保持水平且与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为
g，下列说法正确的是( )
A．金属棒刚进入磁场Ⅰ时的速度大小为2
B．金属棒刚出磁场Ⅰ时的速度大小为
C．金属棒穿过两个磁场后电阻R 中产生的焦耳热为2mgd
D．金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为
二．计算题：
6.如图所示，两根间距为l 的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分
与一段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感
应强度为B。导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。另一
质量为m、电阻为r 的金属棒ab，从圆弧段M 处由静止释放下滑至N 处进入水
平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN 半径为R，所对圆心角为
60°，重力加速度为g。
(1)ab 棒在N 处进入磁场时速度是多大？此时棒中电流是多少？
(2)cd 棒能达到的最大速度是多大？
(2)cd 棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd 棒由静止到达最大速度过程中，系统
所
能释放的热量是多少？
7.如图所示，两平行光滑金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道
之间的距离L＝0.50 m，N、N′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道
NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R＝0.50 m，其中两金属轨道的电阻
不计。直轨道的右侧虚线区域有竖直向下、磁感应强度大小B＝0.5 T 的匀强磁
场，且其右边界与NN′重合。质量为m＝0.2 kg、长度为d＝0.5 m 的金属棒ab
以某一初速度v0水平向右进入磁场。磁场中原来静止一个与ab 完全相同的导体
棒cd，两棒在磁场中始终未相撞，且cd 出磁场前，两棒已经共速。cd 出磁场
后恰好能沿轨道通过半圆形轨道的最高点PP′，求：（g 取10 m/s2）
(1)ab 棒的初速度大小v0；
(2)从ab 棒进入磁场到两者共速的过程中，通过导体棒横截面的电荷量q；
(3)从ab 棒进入磁场到两者共速的过程中，导体棒cd 上产生的热量Q。
能力提升
一．选择题：
8.（多选）（2025·河南郑州高三质检）如图所示，光滑平行等间距且足够
长的导轨水平放置在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝3 T，导轨宽
度L＝1 m，左端通过导线连接了电源和一个开关K，电源的电动势E＝6 V，内
阻r＝1 Ω。一质量m＝0.1 kg 的导体棒垂直于导轨放置，其电阻R＝2 Ω。导体
棒的中部通过绝缘轻绳绕过光滑的定滑轮连接了一个质量M＝0.5 kg 的物块，
用手托住物块保持静止且轻绳恰好处于伸直状态。释放物块的瞬间闭合开关
K，已知重力加速度g 取10 m/s2，从刚释放到物块恰好匀速运动经历时间t＝
0.44 s，则关于该过程下列说法正确的是( )
A．导体棒先向左运动后向右运动
B．导体棒最终速度大小为 m/s
C．流经导体棒的电荷量为0.6 C
D．电源消耗的能量为4.8 J
9.（多选）如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距0.5 m，固定在
水平绝缘桌面上，左侧圆弧部分处在竖直平面内，其间接有一电容为0.25 F 的
电容器，右侧平直部分处在磁感应强度大小为2 T，方向竖直向下的匀强磁场
中，末端与桌面边缘平齐。电阻为2 Ω 的金属棒ab 垂直于两导轨放置且与导轨
接触良好，质量为1 kg。棒ab 从导轨左端距水平桌面高1.25 m 处无初速度释
放，离开水平直导轨前已匀速运动。已知电容器的储能E＝CU2，其中C 为电容
器的电容，U 为电容器两端的电压，不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s2。
则金属棒ab 在沿导轨运动的过程中( )
A．通过金属棒ab 的电荷量为2 C
B．通过金属棒ab 的电荷量为1 C
C．金属棒ab 中产生的焦耳热为2.5 J
D．金属棒ab 中产生的焦耳热为4.5 J
10.（多选）如图所示，某同学模拟电磁炮的工作原理和发射过程，水平台
面上足够长的平行光滑金属导轨MN 和PQ 置于塑料圆筒内，质量为m 的金属
炮弹置于圆筒内的轨道上，轨道间距为L，整个装置处于竖直向上的匀强磁场
中，磁感应强度大小为B。导轨左端连着平行板电容器和电动势为E 的电源。
先让单刀双掷开关接1 接线柱对电容器充电，充电结束后，将开关接2 接线
柱，金属炮弹在安培力作用下开始运动，达到最大速度后离开导轨，整个过程
通过炮弹的电荷量为q。已知在圆筒中金属炮弹始终与导轨接触良好，不计导
轨电阻和电源内阻，炮弹电阻为R。在这个过程中，以下说法正确的是( )
A．炮弹离开导轨时的速度为
B．电容器的电容C＝
C．炮弹在导轨上的位移x＝
D．在其他条件不变时，炮弹的最大速
度与电容器电容大小成正比
三．计算题：
11.如图甲所示，固定于水平面的足够长光滑U 形导体框处于竖直向下、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场中，导体框两平行导轨间距为L，左端接一电动
势为E、内阻为r 的电源。一质量为m、电阻为R、长度也为L 的导体棒ab 垂
直导体框放置并接触良好。闭合开关S，导体棒从静止开始运动。忽略一切阻
力和导体框的电阻，重力加速度为g。
(1)闭合开关S 后，导体棒由静止开始到达到稳定状态的过程中，求通过导
体棒ab 的电荷量q 和整个回路产生的焦耳热Q 内；
(2)如果将导体棒左侧通过轻绳和光滑定滑轮连接一质量为M 的重物（如图
乙所示），闭合开关S，导体棒向右运动的过程中可以将重物提升一定高度，
这就是一种简化的直流电动机模型，被提升的重物即为电动机的负载。电动机
达到稳定状态时物体匀速上升，求此时导体棒a、b 两端间的电势差Uab及物体
匀速上升的速度大小
v1。
12.如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨
及其所构成的平面均与水平面成θ 角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的
匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m 的金属棒a、b 垂直导轨放
置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂
直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
g。
(1)先保持棒b 静止，将棒a 由静止释放，求棒a 匀速运动时的速度大小v0；
(2)在(1)问中，当棒a 匀速运动时，再将棒b 由静止释放，求释放瞬间棒b
的加速度大小a0；
(3)在(2)问中，从棒b 释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同
的速度v，求速度v 的大小，以及时间t0内棒a 相对于棒b 运动的距离Δx。
培优训练
一．计算题：
13.如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ 的间距为L，固定在同一
水平面内，直导轨在左端M、P 点分别与两条竖直固定、半径为L 的圆弧导轨
相切。MP 连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、
方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R 的金属棒ab 跨放在两
圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R 的均匀金属丝制成一个半径为L 的
圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电
阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良
好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab 由静止释放，求：
(1)ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小；
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小；
(3)为使ab 在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP
的最小距离。
参考答案：
1. B 解析 导体棒向右运动过程中一直受
到向左的安培力作用，即安培力一直做负功，故A 错误；由动量定理可知－
dB·Δt＝0－mv0，其中·Δt＝·Δt＝，ΔΦ＝Bdx，解得x＝，故B 正确；导体棒的
阻值与左端所接电阻的阻值相等，故电阻R 上产生的焦耳热应该为mv，故C
错误；根据a＝＝可知，导体棒做的是加速度逐渐减小的减速运动，故其平均
速度将小于做匀减速运动的平均速度，即小于，故D 错误。
2. B 解析 题图甲中，导体棒ab 向右运动切割磁感线产生感应电流而使
电容器充电，由于充电电流不断减小，安培力减小，则导体棒ab 做变减速运动，
当电容器极板间电压与导体棒ab 产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，
导体棒ab 不受安培力，向右做匀速运动，故A 错误；题图乙中，导体棒ab 向
右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒ab 受向左的安培力而做减速运动，随
速度的减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终导体棒ab 静止，故B
正确，D 错误；根据安＝BL，有安t＝BLt＝qBL＝mΔv，得q＝，电荷量跟导体
棒ab 的动量变化量成正比，因为题图甲中导体棒的动量变化量小于题图乙中导
体棒的动量变化量，所以题图甲中通过电阻的电荷量小于题图乙中通过电阻的
电荷量，故C 错误。
3.B 解析 通过线圈横截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝，由于线圈进入和穿出
磁场过程，线圈磁通量的变化量相等，则进入和穿出磁场的两个过程通过线圈
横截面的电荷量q 相等，由动量定理得，线圈进入磁场过程有－Bat＝mv－
mv0，线圈离开磁场过程有－B′at′＝0－mv，由于q＝t＝′t′，则－Baq＝mv－
mv0，Baq＝mv，解得v＝，故B 正确。
4. AC 解析 金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方
向为M→N→c→b→M，故A 正确；以整体为研究对象，由于整体水平方向不
受力，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度相等，取初速度方向为正方
向，根据动量守恒定律可得2mv0＝3mv，可得v＝v0，故B 错误；对导体棒根
据动量定理可得BLΔt＝mv－0，其中Δt＝q，可得通过导体棒的电荷量为q＝，
故C 正确；由能量守恒定律知导体棒产生的焦耳热为Q＝×2mv－×3mv2＝
mv，故D 错误。
5. ABC 解析 根据动能定理有mg·2d＝mv，金属棒刚进入磁场Ⅰ时的速
度大小为v1＝2，故A 正确；由于金属棒进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，在金属
棒从磁场Ⅰ的下边界到磁场Ⅱ的上边界这一过程中，机械能守恒，设金属棒出
磁场Ⅰ的速度为v1′，进磁场Ⅱ的速度为v2，则有mgd＝mv－mv1′2，又v2＝
v1，解得金属棒刚出磁场Ⅰ时的速度大小为v1′＝，故B 正确；由能量守恒定律
得2Q＝5mgd－mv1′2，解得金属棒穿过两个磁场后电阻R 中产生的焦耳热为Q
＝2mgd，故C 正确；设金属棒穿过磁场Ⅰ所用的时间为t，根据动量定理得
BqL－mgt＝(－mv1′)－(－mv1)，该过程的电荷量为q＝＝，解得金属棒穿过磁
场Ⅰ所用的时间为t＝，故D 错误。
6.答案 (1) (2) (3)mgR
解析 (1)ab 棒由M 下滑到N 过程中机械能守恒，有
mgR(1－cos 60°)＝mv2
解得v＝
进入磁场瞬间，回路中的电流为I＝＝。
(2)ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd 棒在安培力作用下做加速运动，当
两棒达到相同速度v′时，回路中电流为零，安培力为零，cd 棒达到最大速度。
由动量守恒定律得mv＝(2m＋m)v′，解得v′＝。
(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量
故Q＝mv2－×3mv′2
解得Q＝mgR。
7.答案 (1)10 m/s (2)4 C (3)2.5 J
解析 (1)根据题意可知，由于cd 棒恰好经过圆周轨道最高点，
由牛顿第二定律有F 向＝mg＝
解得v＝＝ m/s
根据机械能守恒定律，cd 棒从出磁场到最高点有2mgR＝mv－mv2
解得v 共＝5 m/s
根据动量守恒定律，ab 和cd 两棒组成的系统在磁场中满足动量守恒，
则mv0＝2mv 共 解得v0＝10 m/s。
(2)对cd 棒由动量定理有BLt＝mv 共－0 即BqL＝mv 共
解得q＝4 C。
(3)对两导体棒及导轨组成的回路，
由能量守恒定律有mv＝×2mv＋Q 总
解得Q 总＝mv－×2mv＝5 J
由于导轨不计电阻，两金属棒完全相同，则有Q＝Q 总＝2.5 J。
8. BD 解析 闭合开关的瞬间，导体棒速度为0，电流I＝＝2 A，安培力
F＝ILB＝6 N>Mg＝5 N，故导体棒和物块将向左加速，导体棒切割磁感线，产
生感应电动势，有E－BLv＝I(R＋r)，随着速度的增加，电流逐渐减小，安培
力逐渐减小，对导体棒和物块有ILB－Mg＝(m＋M)a，可知加速度逐渐减小，
当加速度减小到0 时，系统受力平衡，保持向左做匀速直线运动，A 项错误；
当加速度为0 时，算得电流大小I＝A，速度大小v＝m/s，B 项正确；对导体棒
和物块由动量定理有BLq－Mgt＝(m＋M)v，代入数据解得q＝0.8 C，C 项错误；
根据非静电力做功可求得电源消耗的电能W＝Eq＝4.8 J，D 项正确。
9.BC 解析 金属棒从静止释放到刚进入磁场瞬间，由动能定理可得mgh
＝mv，解得v0＝5 m/s，之后金属棒切割磁感线，电容器充电，其两端电压逐
渐增大，金属棒因为安培力做减速运动，当金属棒切割磁感线产生的感应电动
势与电容器两端电压相等时，金属棒做匀速运动，设此时速度为v，由动量定
理可得－F 安t＝mv－mv0，其中F 安＝BL，且q＝t，q 为电容器最终所带的电荷
量，满足q＝CU，U 为电容器两端的最终电压，U＝BLv，联立可得v＝，解得
v＝4 m/s，此时导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv＝4 V，因此，
此时电容器两端电压U 也为4 V，则电容器增加的电荷量为Q＝CU＝1 C，因此
通过导体棒的电荷量也为1 C，故A 错误，B 正确；由以上分析可知，动能的
减少量为ΔEk＝mv－mv2＝4.5 J，而E 电容器＝CU2＝2 J，所以W 热＝2.5 J，故C
正确，D 错误。
10.AB 解析 对炮弹，根据动量定理有t＝mv，其中，＝BL，可得v＝
＝，故A 正确；刚充电结束时，电容器所带电荷量为Q＝CE，炮弹达到最大速
度时，电容器所带电荷量Q′＝Q－q，此时电容器电压U＝，则此时炮弹产生的
感应电动势等于U，故BLv＝U，整理得＝BLv，解得C＝，故B 正确；炮弹在
导轨上运动过程，电容器有电压存在，通过炮弹的平均电流并不是，则t≠q，
x≠，故C 错误；根据B 项分析可知E＝v（BL＋），故炮弹的最大速度与电容
器电容大小并不成正比，故D 错误。
11.答案 (1) (2)E－ －
解析 (1)当导体棒切割磁感线产生的电动势等于直流电源电动势E 时，回
路中的电流为零，之后导体棒做匀速直线运动
则有E＝BLvm 解得vm＝
导体棒由静止开始到达到稳定状态的过程中，
根据动量定理可得BLΔt＝BLq＝mvm－0
解得q＝＝
电源输出电能W＝qE，导体棒的动能Ek＝mv
根据能量守恒定律可得，W＝Ek＋Q 内
回路产生的焦耳热为Q 内＝Eq－mv＝。
(2)当电动机达到稳定状态时，根据受力平衡可得，
此时导体棒受到的安培力为F 安＝BI1L＝Mg
则Uab＝E－I1r＝E－ 又I1＝
联立解得v1＝－。
12.答案 (1) (2)2g sin θ (3)gt0sin θ＋
解析 (1)棒a 匀速运动时受力平衡，有mg sin θ＝BIL
由法拉第电磁感应定律可得E＝BLv0
由闭合电路欧姆定律得I＝
联立解得v0＝。
(2)由左手定则可知棒b 受到沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，
则对棒b 由牛顿第二定律可得mg sin θ＋BIL＝ma0
解得a0＝2g sin θ。
(3)分析可知，释放棒b 后，棒a、b 受到的安培力大小相等，
在到达共速时对棒a 由动量定理得mg sin θ·t0－BLt0＝mv－mv0
对棒b 由动量定理得mg sin θ·t0＋BLt0＝mv
联立解得v＝gt0sin θ＋
设此过程流过棒b 的电荷量为q，则有q＝t0
又＝＝·
联立可得Δx＝。
13.答案 (1)BL (2) (3)
解析 (1)根据题意可知，对金属棒ab 由静止释放到刚越过MP 的过程，
由动能定理有mgL＝mv
解得v0＝
则ab 刚越过MP 时产生的感应电动势大小为E＝BLv0＝BL。
(2)根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，在导轨外侧
的两端圆弧被短路，由几何关系可得，
金属环在导轨间的每段圆弧的电阻为R0＝×＝R
可知，整个回路的总电阻为R 总＝R＋＝R
ab 刚越过MP 时，通过ab 的感应电流为 I＝＝
对金属环由牛顿第二定律有2BL·＝2ma
解得a＝。
(3)结合上述分析可知，金属环和金属棒ab 所受的安培力等大反向，则系统
的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab 在整个运动
过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab 和金属环速度相等时，金属棒ab 恰
好追上金属环，设此时速度为v
由动量守恒定律有mv0＝mv＋2mv 解得v＝v0
对金属棒ab，由动量定理有－BILt＝m·－mv0
则有BLq＝mv0
设金属棒运动距离为x1，金属环运动的距离为x2，则有q＝
联立解得Δx＝x1－x2＝
则金属环圆心初始位置到MP 的最小距离
d＝L＋Δx＝。
