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专题1.1 集合【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................2
【题型2 子集的个数问题】......................................................................................................................................3
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】.........................................................................................................3
【题型4 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................4
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】..............................................................................................................4
【题型6 集合的新定义问题】..................................................................................................................................5
1、集合
考点要求
真题统计
考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
2020 年I 卷、Ⅱ卷：第1
题，5 分
2021 年I 卷、Ⅱ卷：第1
题，5 分
2022 年I 卷、Ⅱ卷：第1
题，5 分
2023 年I 卷：第1 题，5 分、
Ⅱ卷：第2 题，5 分
集合是高考数学的必考考点，高考对集
合的考查相对稳定，考查内容、频率、
题型、难度均变化不大.常见以一元一
次、一元二次不等式的形式，结合有限
集、无限集来考查集合的交、并、补集
等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一
般出现在高考的第1 题，以简单题为主.
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
1
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符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
4．集合的运算性质
(1)
，
，
．
(2)
，
，
．
(3)
，
，
．
【常用结论】
(1)若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真
子集有
个．
(2)空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
(3)
．
(4)
,
．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024 高一上·全国·专题练习）若集合A ={x|m x
2+2 x +2=0}中有两个元素，则实数m 的取值
范围为（ ）
A．{m|m≠0}
B．¿
2
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C．¿
D．¿
【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合P ={n|n=2k −1,k ∈N ∗,k ≤10}，Q = {2,3,5}，则
集合T ={xy|x∈P , y ∈Q}中元素的个数为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合A ∗B = {z∣z = xy , x∈A , y ∈B}，设集合
A = {−1,0,1}，B = {−1,1,3}，则A ∗B中元素的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U 有71 个元素，S ,T ⊆U且各有14，28 个元素，则
∁S∪T (S∩T )的元素个数最少是（ ）
A．14
B．30
C．32
D．42
【题型2 子集的个数问题】
【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合A = {−1,0,1}，B =¿，则集合B 的真子集个数是（ ）
A．4
B．7
C．8
D．15
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{1,0}⊆B{−1,0,1,2}，则满足条件的集合B的个数为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合A = {−1,0,1}，B =¿，则集合B的真子集个数为（ ）
A．8
B．16
C．31
D．63
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A ={(x , y)|x , y ∈Z , 且xy = 4}，B ={(x , y)|x ≤y}，则
A ∩B的子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合A = {m+2,1,4},B ={m
2,1}，若B⊆A，则实数m=（ ）
A．−1
B．−2或0
C．−2
D．2
【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合A = {0,−a}，B = {1,a−2,2a−2}，若A ⊆B，则a=（ ）．
A．2
B．1
C．2
3
D．−1
【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合A = {x|1< x<2024}，B = {x| x<a}，若A ⊆B，则实数a
3
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的取值范围是（ ）
A．(2024 ,+ ∞)
B．[2024 ,+ ∞)
C．(−∞,2024 ]
D．(−∞,2024)
【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合A = {1,−a},B = {0,3−a,3a−8}，若A ⊆B，则a=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【题型4 集合的交、并、补集运算】
【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合A = {x∈N| x>1}，B = {x|0< x<4}，则A ∩B =（ ）
A．{x|1< x<4}
B．{x| x>0}
C．{2,3}
D．{1,2,3}
【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合A = {0,1,2},B = {3,m}，若A ∩B = {2}，则A ∪B =（ ）
A．{0,1,2,3}
B．{0,1,2}
C．{1,2,3}
D．{2,3}
【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集U =¿，则(∁U A)∪B=（ ）
A．{4,5}
B．{2,3,4,5}
C．{2}
D．{2,4,5}
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合U = Z，A =¿，B =¿，则¿（ ）
A．∁U ( A ∩B)
B．∁U ( A ∪B)
C．∁U A ∩B
D．∁U A ∪B
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合A = {−1,a,a+2},B ={ y|y = x
2−2 x , x∈A}，若A ∪B = A，
则a=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．1 或3
【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合S =¿或x>5}，集合T =¿，且S∪T =R，则实数a的取值范围
为（ ）
A．(−∞,−3)∪(−1,+ ∞)
B．(−3,−1)
C．(−∞,−3]∪[−1,+∞)
D．[−3,−1]
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合A ={x|x ≤a}，B ={x|x ≥2a−1}，A ∩B≠∅，则正实数a
的取值范围为（ ）
A．(0,1]
B．(0,1)
C．(0,2)
D．(1,2)
【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合A ={x|x<a}，B ={x|−1< x<2}，A ∪∁R B = R，则a的
取值范围为（ ）
4
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A．(−∞,−1]
B．(−1,2]
C．[−1,2)
D．[2,+ ∞)
【题型6 集合的新定义问题】
【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合A = {1,2}，B = {3,4}，定义集合：A ∗B =¿，则集合A ∗B的非空
子集的个数是（ ）个．
A．16
B．15
C．14
D．13
【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：A + B ={z|z = x + y , x∈A , y ∈B}，设A = {1,2}，
B = {1,2,3}，则集合A + B的所有元素之和为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn 图中，A、B是非空集合，定义集合A ⊗B为阴影部分表
示的集合．若A ={x|x =2n+1,n∈N ,n≤4}，B = {2,3,4,5,6,7}，则A ⊗B =（ ）
A．{2,4,6,1}
B．{2,4,6,9}
C．{2,3,4,5,6,7}
D．{1,2,4,6,9}
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合A −B =¿且x∉B}，已知集合
U ={x|−3< x<7 , x∈Z}，E = {−1,0,2,4,6}，F = {0,3,4,5}，则∁U(E−F)=（ ）
A．{−2,0,1,3,4,5}
B．{0,1,3,4,5}
C．{−1,2,6} D．{−2,0,1,3,4}
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A ={x|x =3k +1,k ∈Z}，则下列表示正确的是（ ）.
A．−2∈A
B．2023∉A
C．3k
2+1∉A
D．−35∉A
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A ={x|2mx −3>0,m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m 的
取值范围是（ ）
5
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A．(
3
4 , 3
2]
B．[
3
4 , 3
2)
C．(
3
4 , 3
2)
D．[
3
4 , 3
2]
3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A =¿中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
4．（2024·浙江·二模）已知集合M = {1,2,3}，N = {0,1,2,3,4,7}，若M ⊆A ⊆N，则满足集合A的个数为
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
5．（2024·山东聊城·一模）已知集合A ={x ¿，B ={x ¿，若A ⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−2]
C．(2,+∞)
D．[2,+ ∞)
6．（2024·全国·模拟预测）集合P = {1,2,3,4,5,6},Q =¿，则P∩Q =（ ）
A．{1,3,5}
B．{2,4,6}
C．{1,4}
D．{2,5}
7．（2024·天津·二模）设全集U = {−1,0,1,2,3}，集合A = {0,1,2}，B = {−1,0,1}，则(∁U A)∪B =（ ）
A．{−1,0,1,3}
B．{−1,0,1,2}
C．{0,1,2}
D．{0,1}
8．（2024·安徽·二模）已知集合A = {1,2,3}，B =¿，A ∩(∁R B)= A，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥1
B．a≤1
C．a≥3
D．a≤3
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A 具有如下性质：①若x , y ∈A，则x
y ∈A；②若x , y ∈A，则
x + y ∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．−1∉A
B．2022
2023 ∈A
C．若x , y ∈A，则xy ∈A
D．若x , y ∈A，则x−y ∈A
10．（23-24 高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合A ={x ∣x
2−3 x −18=0}，B =¿，则下列命题中正确的
是（ ）
A．若A = B，则a=−3
B．若A ⊆B，则a=−3
C．若B =∅，则{a∣a<−6或a>6}
D．若BA，则{a∣a<−6或a≥6或a=−3}
11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合M , N , P满足：M ∩N = N , M ∪P = P，则（ ）
6
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A．P⊆M
B．M ∩P = M
C．N ∪P = P
D．M ∩∁p N =∅
三、填空题
12．（2024·辽宁丹东·一模）若x
2−80为完全平方数，则正整数x 的取值组成的集合为 ．
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合A = {−1,2,4}，B ={2,m
2}．若B⊆A，则实数m的取值集合为
．
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合M = {−2,−1,0,1}，N = {x|a−3< x<1}，若M ∩N中有2 个元素，
则实数a 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24 高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A =¿，其中a∈R.
(1)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B.
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
16．（23-24 高一上·广东佛山·期末）设集合A ={x ∣x
2−5 x +6=0, x ∈R},B ={x ∣ax−1=0, x ∈R }
(1)若a= 1
2
，试判断集合A与B的关系；
(2)若BA，求a的值组成的集合C．
17．（23-24 高一下·四川成都·开学考试）已知集合A =¿，B ={x| x ≤−3或x>5}．
(1)当m= 4时，求A ∩(∁R B)；
(2)若A ⊆∁R B，求实数m的取值范围．
7
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18．（23-24 高一上·广东湛江·期末）已知集合A =¿，B =¿，定义两个集合P，Q 的差运算：P−Q =¿．
(1)当a=1时，求A −B与B−A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（23-24 高一上·北京密云·期末）对于正整数集合A ={a1,a2,⋯,an}（n∈N
∗，n≥3）如果去掉其中
任意一个元素.ai(i=1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两
个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.
(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合A是“和谐集”.则集合A中元素个数为奇数；
(3)若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.
8
