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9.1 圆的标准方程（练习）
目录
1
题型一、圆的标准方程.............................................................................2
2
题型二、点与圆的位置关系.....................................................................8
3
题型三、直线与圆的位置关系...............................................................13
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1 题型一、圆的标准方程
一、单选题
1．已知圆C：
过点
，则圆C 的圆心的轨迹方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】把已知点坐标代入圆
方程，变更字母即可得．
【详解】圆C：
过点
，则
，
所以圆心的轨迹方程是
，
故选：D．
2．圆心在
轴上，半径为，且过点
的圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】待定系数法求圆的标准方程即可.
【详解】由题意，设圆心坐标为
，半径
，
可设圆的标准方程为：
，
由圆过
可得
，解得
，
则所求圆的标准方程为
.
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故选：C.
3．已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知圆心为
，半径为
，进而可得圆的方程.
【详解】因为
，可知线段
的中点为
，且
，
即圆心为
，半径为
，
所以所求圆的方程为
.
故选：D.
4．已知点
，则以
为直径的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从
而得到圆的方程即可.
【详解】设
中点为O，则
，即
，
设圆半径为r，则
，
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则以
为直径的圆的方程为
.
故选：B.
5．以点
为圆心，且经过点
的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由两点间距离公式计算半径，结合圆的标准方程计算即可.
【详解】因为圆是以点
为圆心，且经过点
，
所以圆的半径为：
，
所以圆的方程为
.
故选：D
6．以点
为圆心且经过点
的圆
的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程
，根据题意求出
即可.
【详解】依题意得圆
的半径
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，
则圆
的标准方程为
.
故选：D.
7．经过点
，圆心为
的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意求点
与圆心
的距离即可得圆的半径，再根
据圆的标准方程求解即可.
【详解】解：因为所求的圆经过点
，且圆心为
，
所以，所求圆的半径为
，
所以，所求的圆的方程为：
故选：B
二、填空题
8．圆
的圆心为 ，半径是 ．
【答案】
【分析】
根据圆的标准方程的含义求解.
【详解】因为
，所以圆心为
，半径为
.
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故答案为：
；
9．圆
的圆心为 ，半径长为
.
【答案】
【分析】由圆的标准方程即可得解.
【详解】由圆的标准方程知，圆心为
，半径
．
故答案为：
.
10．已知圆
，则圆心坐标为 .
【答案】
【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心坐标即可
【详解】圆
是标准方程，则圆心坐标为
，
故答案为：
11．圆
的圆心坐标为 .
【答案】
【分析】由圆的标准方程即可直接求得圆心坐标.
【详解】由题意可得圆心坐标为
.
故答案为：
.
三、解答题
12．根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：
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(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)圆心为
，半径为5；
(2)圆心为
，半径为
；
(3)圆心为
，半径为
；
(4)圆心为
，半径为3.
【详解】（1）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为5；
（2）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为
；
（3）解：因为圆的方程为
，即
，
所以圆心为
，半径为
；
（4）因为圆的方程为
，即
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，
所以圆心为
，半径为3.
13．（1）写出下列圆的标准方程：
①圆心为
，半径是
；
②圆心为
，且经过点
.
（2）求下列各圆的圆心坐标和半径：
①
；
②
.
【答案】（1）①
；②
（2）①圆心为
，半径为
；②圆心为
，半径为3
【分析】
（1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得
圆的标准方程．
（2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径．
【详解】
（1 ）①
圆心在
，半径长是
，故圆的标准方程为
．
②
圆心在
，且经过点
，故半径为
，
故圆的标准方程为
．
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（2）①
，即
，故圆心为
，半径
为
，
②
，即 即
，故圆心为
，半径为3.
2 题型二、点与圆的位置关系
一、单选题
1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24 的位置关系是( )
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
【答案】A
【详解】因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P 在圆外．
考点：点与圆的位置关系.
2．已知点
和圆的方程
，则它们的位置关系是
（ ）
A．在圆心B．在圆上
C．在圆内
D．在圆外
【答案】D
【分析】计算点
与圆心的距离，与半径比较，即可得到结论．
【详解】因为
，所以点
在圆外．
故选：D．
3．点
与圆
的位置关系为（ ）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与
的值有关
【答案】A
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【解析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.
【详解】
在圆
外
故选：
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
4．已知点
､
与圆
:
,则
A．点
与点
都在圆
外
B．点
在圆
外,点
在圆
内
C．点
在圆
内,点
在圆
外D．点
与点
都在圆
内
【答案】C
【解析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.
【详解】因为点
､
将
的坐标代入圆
的方程,可得
,所以点A 在圆
内
将
的坐标代入圆
的方程,可得
,所以点
在圆
外
故选:C
【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.
5．已知点
，圆
，则（ ）
A．A，B 都在C 内
B．A 在C 外，B 在C 内
C．A，B 都在C 外
D．A 在C 内，B 在C 外
【答案】D
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法，代入即可求解.
0
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【详解】由题意，
，所以A 在C 内，B 在
C 外.
故选：D.
6．点
与圆的
的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
【答案】A
【解析】将点
的坐标代入圆的方程，进而可判断出点
与圆的位置关系.
【详解】
，因此，点
在圆
外.
故选：A.
7．已知圆的方程是
，则点
（ ）
A．在圆心
B．在圆上
C．在圆内
D．在圆外
【答案】C
【分析】把点的坐标代入圆标准方程，由
与
的大小
关系判断．
【详解】因为
，所以点P 在圆内．
故选：C．
二、填空题
8．已知点
，则该点与圆
的位置关系是 ．
【答案】在圆的外部
【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得.
【详解】由圆
的圆心
到点
的距离为
1
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，
知点
在圆的外部.
故答案为：在圆的外部.
9．点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程
，点
，则
（1）点M 在圆上： ；
（2）点M 在圆外： ；
（3）点M 在圆内： ．
【答案】
【分析】略
【详解】略
三、解答题
10．已知点
，圆
.
(1)判断点
与圆
的位置关系，并说明理由；
(2)当
时，经过点
的直线
与圆
相切，求直线
的方程.
【答案】(1)点
在圆
外，理由见解析；
(2)
或
.
【分析】（1）求出
与半径
比较，即可得出；
（2）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，满足条件；当直
2
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线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，根据圆心到直线的距
离
列出方程，求解即可得到
的值，进而解出切线方程.
【详解】（1）点
在圆
外.
由已知得，圆心
，半径
.
又
，
所以，点
在圆
外.
（2）当
时，点
.
①当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，圆心
到直线
的距离为2 等于半径，所以直线
是圆的切线；
②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，即
，
圆心
到直线
的距离
，解得
，
所以直线
的方程为
，即
.
3
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综上，直线
方程为
或
.
11．已知点
，
，线段AB 是圆
的一条直径.
(1)求圆
的标准方程；
(2)判断点
与圆
的位置关系，并说明理由；
(3)点
是圆
上任意一点，求点
到直线
的最大距离.
【答案】(1)
(2)圆外
(3)
【分析】（1）由直径的两个端点，求出圆心和半径即可；
（2）直接代入点的坐标，再将其与1 比较大小即可；
（3）先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到
直线距离的最大.
【详解】（1）∵
，
，线段
为圆
的直径，
∴圆心
为线段
的中点，圆心坐标为
，
∴圆
的半径
，
∴圆
的标准方程为：
.
（2）
，故点
在圆外.
（3）圆心
到直线
的距离
4
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，
∴圆
与直线
相离，
∴圆
上任意一点
到直线
的距离的最大值为
，
3 题型三、直线与圆的位置关系
一、单选题
1．若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线过圆心代入求解即可.
【详解】由题意得，圆心为
，
因为直线
是圆
的一条对称轴，
所以直线过圆心，即
，解得
.
故选：D
2．若直线
与圆
相切，则（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】由题意可圆心到直线的距离为
，所以
，
故选：C
3．已知直线
与圆
，则直线与圆的位置关系是
（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
【答案】C
【分析】根据圆心到直线的距离与半径进行比较即可得到答案
【详解】因为圆的半径为
，圆心为
，
所以圆心到直线
的距离为
，故直线与圆
相切，
故选：C.
4．若直线
是圆
的一条对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将圆心坐标代入直线
的方程，可求得实数
的值.
【详解】圆
的圆心坐标为
，
因为直线
是圆
的一条对称轴，
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则直线
经过圆心
，则
，解得
.
故选：B.
5．若直线
与圆
相切，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直线与圆相切，则有圆心到直线距离等于半径，列方程求实数
的值.
【详解】圆
圆心坐标为
，半径为1，
直线
与圆
相切，则有圆心到直线距离等于半径，
即
，解得
.
故选：C
6．若直线
与
相离，则点
与圆
的位置关系为
（ ）
A．点
在圆
内
B．点
在圆
上
C．点
在圆
外
D．无法确定
【答案】A
【分析】由题设及点线距离公式有
，进而可得
即
可判断位置关系.
【详解】由题设
与直线
的距离
，即
7
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，
所以点
在圆
内.
故选：A
7．直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．相离
C．相交且l 过圆C 的圆心
D．相交且l 不过圆C 的圆心
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，进而得到结论.
【详解】圆心
到直线
的距离为
，
故圆心
在直线
上，故直线和圆相交且l 过圆C 的圆心.
故选：C
8．若直线：
与圆
：
相切，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】利用圆的切线性质，借助点到直线距离公式求解.
【详解】圆
：
的圆心
，半径
，
由直线：
与圆
相切，得
，所以
.
故选：A
9．直线
与圆
相交的充分不必要条件可以是（
）
8
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离小于半径，求得
的范围即可求解.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为1，
由直线与圆相交，得
，即
，得
，
结合选项可知：直线
与圆
相交的充分不必要条
件可以是
.
故选：C.
二、填空题
10．已知直线
与圆
相切，则正实数k 的
值为 .
【答案】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】
，
，
圆心为
，
，
直线与圆相切可得
，
9
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解得
或
，所以正实数k 的值为
故答案为：
11．若直线
始终平分圆
的周长，则
．
【答案】
【分析】由题意可知直线
过圆心，然后将圆心坐标代入直线
方程中可求出
的值
【详解】圆
的圆心
，
因为直线
始终平分圆
的周长，
所以直线
过圆心
，
所以
，解得
，
故答案为：
12．若直线
与圆
有公共点，则b 的取值范围是
．
【答案】
【分析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.
【详解】直线
即
，
圆
的圆心为
，半径为
，
0
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若直线与圆有交点，则
，
解得
,
故实数
的取值范围是
.
故答案为：
13．若直线
与圆
相切，则m 的值为( )
A．0 或2 B．2 C．
D．无解
【答案】B
【详解】由题可知：
故选：B
14．直线
与圆
相切，则
．
【答案】
或1
【分析】由题意，圆心
到直线
的距离等于圆的半径1
即可求解.
【详解】解：因为直线
与圆
相切，
所以
，即
，所以
或1，
故答案为：
或1.
三、解答题
1
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15．当k 为何值时，直线
与圆
：
(1)相交？
(2)相切？
(3)相离？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由点线距离公式可得圆心到直线l 的距离
，讨论
、
、
分别求相交、相切、相离情况下的k 的范围即可.
【详解】（1）由题意，圆心到直线l 的距离
．
当
，即
时，移项平方可得
，解
得
，
此时直线与圆相交．
（2）当
，即
时，移项平方可得
，
解得
，
2
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（3）当
，即
时，移项平方可得
，解得
，
此时直线与圆相离．
3
