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9.4 抛物线（精练）
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1 是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远
镜“中国天眼”——
口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转
所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25 米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C
的一部分，放入如图2 所示的平面直角坐标系
内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为
，则点到该抛物线焦点F 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·河北廊坊 ）已知抛物线
，过点
的直线l 交C 于A，B 两点，则直线
，
（O 为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
3．（2023 秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，若直线
与
交于
，
两点，且
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：
，过点
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，
若
，则直线l 的斜率是（ ）
A．
B．4
C．
D．
1
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5．（2023 春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l 交抛物线
于M，N 两点，且MN 的中
点为
，则直线l 的斜率为（ ）
A．
B．
C．3
D．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）
为
：
的焦点，点
在曲线
上，且
在第一象限，若
，且直线
斜率为
，则
的面积
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
7．（2023 春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线
的焦点为
，准线为
为
上一动点，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
的值为4
B．当
时，抛物线
在点
处的切线方程为
C．
的最小值为3
D．
的最大值为
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线
的焦点为
，
为抛物线上的动点，若点
不在抛物
线上，且满足
的最小值为
，则
的值可以为（ ）
A．
B．3
C．
D．
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线
的焦点F
（2，0）作斜率为
的弦AB，其中点A 在第一象限，则（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
10．（2023 秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线
焦点为
，准线上有点
是抛物线上一点，
为等边三角形，则
点坐标为 ．
11．（2022 秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：
的焦点为F，点M 在C 上，
，若以MF 为直径的圆过点
，则C 的方程为 .
12．（2023 春·广东广州 ）已知点
为拋物线
上的动点，点
为圆
上的动点，则
点
到
轴的距离与点
到点
的距离之和最小值为 .
13．（2023·福建）已如
，
是抛物线
上的动点（异于顶点），过
作圆
的切线，切点为
，则
的最小值为 .
14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知
是抛物线
上一点，则
的最小值为 .
15．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点
在抛物线C：
上，则A 到焦点
F 的距离为 ．
16．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点
在抛物线C：
上，则点A 到抛
物线C 的准线的距离为 ．
17．（2022 秋·陕西渭南 ）设抛物线
的焦点为F，过点F 作直线l 交抛物线于A、B 两点，若线段
AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为 ．
18．（2023 秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线
的焦点
的直线与
交于
3
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、
两点，且
，
为坐标原点，则
的面积为 .
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线
上两点A，B 关于点
对称，则直线AB 的斜率
为 .
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线
的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若l 的倾
斜角为
，则线段AB 的中点到x 轴的距离是 ．
21．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：
焦点F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两
点，且
，若M 为AB 的中点，则M 到y 轴的距离为 .
22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线
的焦点为F，过点F 的直线与该抛物线交于
A，B 两点，
，AB 的中点横坐标为4，则
．
23．（2023 秋· 课时练习）已知抛物线
的焦点
为
，则
，若点
在抛物线上，点
，则
的最小值为 .
24．（2023·江苏 ）设点P 是抛物线
上的一个动点.
(1)求点
到
的距离与点
到直线
的距离之和的最小值；
(2)若
，求
的最小值.
25．（2023·江苏 ）若位于
轴右侧的动点
到
的距离比它到
轴的距离大
，点
，求
的最小值，并求出点
的坐标.
4
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26（2023 秋·课时练习）当k 为何值时，直线
与抛物线
有两个公共点？仅有一个公共点？
无公共点？
27．（2023 秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系
中，已知圆心
为C 的动圆过点
，且在
轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹为曲线E．
(1)求E 的方程；
5
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(2)已知
及曲线E 上的两点B 和D，直线AB，AD 的斜率分别为
，
，且
，求证：直线BD
经过定点．
1．（2023·河南·模拟预测）P 为抛物线
上任意一点，F 为抛物线的焦点．如下图，
，
的最小值为5．若直线
与抛物线
交于点N，则
外接圆的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O 为坐标原点，抛物线
的焦
点F 为
，过点
的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ）
6
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A．
的最小值为3
B．C 的准线方程为
C．
D．当
时，点P 到直线l 的距离的最大值为
3．（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O 为抛物线
的顶点，直线l 交抛
物线于M，N 两点，过点M，N 分别向准线
作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线l 过焦点F，则N，O，P 三点不共线
B．若直线l 过焦点F，则
C．若直线l 过焦点F，则抛物线C 在M，N 处的两条切线的交点在某定直线上
D．若
，则直线l 恒过点
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线
：
的焦点为
，过
的直线交抛物线
于
、
两点，
，直线
左边的抛物线上存在一点
，则（ ）
A．
B．
C．若点
，则
D．当
的面积最大时，面积为
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线
的准线方程为
，
圆
，直线
与
交于
两点，与
交于
两点
在第一象限），
为坐
标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
7
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C．若
，则
D．
为定值
6．（2023 秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C 的标准方程为
，O 为坐
标原点，直线l 为其准线，点A，B 是C 上的两个动点（不是原点O），线段
与x 轴交于点M，连接
并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M 为C 的焦点，则直线
平行于x 轴
B．若点M 为C 的焦点，则线段
的长度的最小值为4
C．若
，则点M 为C 的焦点
D．若
与
的面积之积为定值，则点M 为C 的焦点
7．（2023 秋·河北唐山 ）已知抛物线
的焦点为
，直线与抛物线
交于
两点，连接
并
延长，交抛物线
于点
，若
中点的纵坐标为
，则当
最大时，
．
8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点
是抛物线
上的动点，则
的
最小值为 .
9．（2023 秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点
为抛物线
的焦点，点
，
，且
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点
且交抛物线
于
，
两点，若直线
，
交抛物线于
，
两点（
、
与
、
不重合），求证：直线
过定点.
8
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10．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：
焦点为
，直线l 与抛物
线C 交于
，
两点，且
，
（O 为坐标原点）．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证：直线l 过定点．
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线
和圆
，倾斜角为
9
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的直线过
焦点，且与
相切.
(1)求抛物线
的方程；
(2)动点
在
的准线上，动点
在
上，若
在点
处的切线
交
轴于点
，设
，证明
点
在定直线上，并求该定直线的方程.
12．（2022 秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知
的焦点为
，且经过
的直
线被圆
截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为
，若过点
作直线与抛物线相交于不同的两点
，
，过点
，
作抛物线的切线
分别与直线
，
相交于点
，
，请问直线
是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
10
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13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，准
线为，过点
且倾斜角为
的直线交抛物线于点
（M 在第一象限），
，垂足为
，直线
交
轴于点
，
(1)求
的值.
(2)若斜率不为0 的直线与抛物线
相切，切点为
，平行于的直线交抛物线
于
两点，且
，点
到直线
与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
11
