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第 40 讲 数列的基本知识与概念 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精练......................................................................................................................................2
考点一：数列的周期性..........................................................................................................2
考点二：数列的单调性..........................................................................................................3
考点三：数列的最值项..........................................................................................................4
考点四：数列中的规律问题..................................................................................................5
考点五：数列的恒成立问题..................................................................................................6
考点六：递推数列问题..........................................................................................................6
四、高考真题......................................................................................................................................7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第8题 单选 5分 直接 利用递推关系推断函数值（数列递推思想）
2025 — — — —
2026 — — — —
近三年全国一卷中，本讲知识仅在2024年以单选题形式直接考查过一次.题目主要将
数列的递推关系融入函数背景中，侧重考查学生的赋值计算与逻辑推演能力.
2. 命题角度与特色
（1） 创新交汇：将数列的递推关系隐藏在抽象函数的性质中，以连续整数自变量的
函数值更迭来替代传统的数列项，考查学生对递推思想的本质理解与灵活迁移.
（2） 侧重推演：弱化了对通项公式的刻板求解，更加注重通过逐项代入、逻辑推演
来发现规律或确定数值的范围.
3. 备考策略
（1） 拓宽认知边界：在复习常规等差、等比数列的基础上，加强对斐波那契数列等
特殊递推模型的理解，看透其本质特征.
（2） 强化推演能力：面对复杂或抽象的递推关系，要敢于并善于通过赋值法逐项推
导，培养严密的代数推理与估算能力.二、知识清单
1. 数列的概念
（1） 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这
个数列的项.
（2） 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限
子集{1,2,⋯,n}）为定义域的函数a =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对
n
应的一列函数值.
（3） 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
2. 数列的分类
（1） 按照项数有限和无限分：有穷数列、无穷数列.
（2） 按单调性来分：
① 递增数列：a ≥a .
n+1 n
② 递减数列：a ≤a .
n+1 n
③ 常数列：a =a =C（常数）.
n+1 n
④ 摆动数列.
（3） 按有无界限分：有界数列（存在正数M，使得|a |≤M）、无界数列.
n
（4） 按周期性分：周期数列（存在正整数T，使得对任意正整数n都有a =a ）.
n+T n
3. 数列的两种常用的表示方法
（1） 通项公式：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，
n
那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
（2） 递推公式：如果已知数列{a }的第1项（或前几项），且从第二项（或某一
n
项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个
公式就叫做这个数列的递推公式.
三、典题精练
考点一：数列的周期性
考法1：利用递推关系求周期与特定项
2-3a
例1.（2026·湖北孝感·一模）设数列{a }满足a = n，且a =1，则a 的值为
n n+1 3+2a 1 2026
n
（ ）
1 1
A. - B. C. -1 D. 1
5 5考法2：结合周期性求数列前n项和
例2.（2025·河南·联考）（多选）记S 为数列{a }的前n项和，且a =2,a -a a =1，则（
n n 1 n n n+1
）
1 2023
A. a = B. a =3 C. a =-1 D. S =
2 2 4 2025 2025 2
考法3：结合已知项求参数后利用周期性求值
1
例3.在数列{a }中，已知a >0，a =1，a = ，且a =a ，则a +a =（ ）
n n 1 n+2 a +1 100 96 2022 3
n
5 1+❑√5 ❑√5 -1+❑√5
A. B. C. D.
2 2 2 2
考法4：利用函数迭代或三角函数求周期与特定项
(2n+1)π
例4.（2026·湖南·模拟）已知数列a =sin ，若a =a ，则正整数m的最小值为（
n 2 n+m n
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考法5：斐波那契数列的余数周期探究
例5.斐波那契数列{a }可以用如下方法定义：a =a +a ，且a =a =1，若此数列各项除
n n+2 n+1 n 1 2
以4的余数依次构成一个新数列{b }，则数列{b }的第100项为（ ）
n n
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【考点一 方法总结】
1. 求解数列周期性问题的基本策略：先根据已知条件（如递推公式）计算出数列的
前几项，观察并归纳出数列的周期.
2. 利用周期性求值：确定周期T后，利用a =a 或S 的相关性质，将高次项或大项
n+T n n+T
数的求和问题转化为首个周期内的项或和的计算.
3. 特殊数列的周期性：对于涉及三角函数的数列，可结合三角函数本身的周期性进
行分析；对于取余构造的新数列，同样通过列举前几项寻找循环节.
考点二：数列的单调性
考法6：判断数列的单调性
1
例6.（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列{a }满足：a = ,a =a +ln(1+a )(n∈N* )，则
n 1 2 n+1 n n
（ ）
a a a a
A. n<a < n B. n+1<a < n+1
3 n+1 2 3 n 2
a a
C. n<a <a D. n+1<a <a
2 n+1 n 2 n n+11
例7.（2026·山东东营·一模）（多选）已知数列{a }满足a = ,a =a +sina (n∈N* )，则
n 1 2 n+1 n n
下列结论正确的是（ ）
A. 数列{a }为递增数列 B. ∃n∈N*,a >3
n n
C. ∀n∈N*,a <- 1 a2+πa D. ∀n∈N*,a ≤ ( 1- 2) a +2
n+1 2 n n n+1 π n
考法7：由数列单调性求参数范围
n2+k
例8.（2026·河北NT20·检测）已知数列{a }的通项公式为a =ln ，若{a }是递增数列，
n n n2+1 n
则实数k的取值范围是（ ）
A. (-1,+∞) B. (-∞,1) C. (-1,1) D. [-1,1)
【考点二 方法总结】
1. 解决数列单调性问题的常用方法：
（1） 作差比较法：根据a -a 的符号判断数列{a }是递增数列、递减数列或是常数
n+1 n n
列.
a
（2） 作商比较法：根据 n+1（a >0或a <0）与1的大小关系进行判断.
a n n
n
（3） 数形结合法：结合相应函数的图象直观判断.
2. 转化为函数单调性：将数列的通项公式看作关于n的函数，利用导数或基本初等函
数的单调性来判断数列的单调性.处理时需注意自变量n为正整数的限制.
考点三：数列的最值项
考法8：利用作差法或作商法求数列最值项
例9.记S 为数列{a }的前n项和，若a =2n-1，则(n2-3n)⋅log (S +1)的最小值为＿＿＿＿
n n n 2 n
＿＿.
考法9：结合函数性质求数列最值项
a
例10.已知数列{a }满足a =18，a -a =3n，则 n的最小值为＿＿＿＿＿＿.
n 1 n+1 n n
考法10：由数列最值项求参数范围
(7) n
例11.（2026·安徽A10联盟·检测）已知数列{a }的通项公式为a =(2n-1)⋅ ，若a 是
n n 8 m
数列{a }的最大项，则m=（ ）
n
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【考点三 方法总结】
1. 求数列的最大项与最小项的常用方法：（1） 函数法：将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类
型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最
大（小）项.
（2） 单调性法：通过通项公式a 研究数列的单调性，利用a ≥a 且a ≥a （n≥2）
n n n-1 n n+1
确定最大项，利用a ≤a 且a ≤a （n≥2）确定最小项.
n n-1 n n+1
a
（3） 比较法：若有a -a =f(n+1)-f(n)>0或a >0时 n+1>1，则a >a ，则数列
n+1 n n a n+1 n
n
{a }是递增数列，最小项为a =f（1）；反之则为递减数列，最大项为a =f（1）.
n 1 1
考点四：数列中的规律问题
考法11：代数式与新定义中的数列规律探究
例12.（2026·浙江·联考）已知[x]表示不超过x的最大整数（例如[-1.2]=-2），数列{a }
n
满足a =1，a = [ a + 1 ] - 1 (n∈N* )，则下列说法正确的是（ ）
1 n+1 n a a +1
n n
A. [a ]=2
2
8
B. a <
10 5
C. 对任意n，a a +a -2a =1恒成立
n+1 n n+1 n
D. 存在n∈N*，a >a
n n+1
考法12：图形、网格与分形几何中的数列规律探究
例13.（2025·河北衡水中学·一模）如图，一个粒子的起始位置为原点，在第一象限内于两
正半轴上运动，第一秒运动到(0,1)，而后它接着按图示在x轴、y轴的垂直方向来回运动，
且每秒移动一个单位长度，如图所示，经过n(n∈N* )秒时移动的位置设为P ，那么经过
n
2019秒时，这个粒子所处的位置的坐标是＿＿＿＿＿＿.
考法13：数学文化与形数规律探究
例14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，第n
n(n+1) 1 1
个三角形数为 = n2+ n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k边形
2 2 21 1
数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)= n2+ n；正方形数：N(n,4)=n2；五边形数：
2 2
3 1
N(n,5)= n2- n；六边形数：N(n,6)=2n2-n，可以推测N(n,k)的表达式，由此计算
2 2
N(20,23)=（ ）
A. 4020 B. 4010 C. 4210 D. 4120
【考点四 方法总结】
1. 探究数列规律的基本步骤：从特殊到一般.先计算或观察前几项的具体数值或图形
特征，归纳出一般性的递推关系或通项公式，再利用该公式求解特定项.
2. 处理新定义问题：紧扣题目给出的新概念或新规则，将其转化为熟悉的数列模型
（如等差、等比数列或周期数列）进行求解.
3. 图形与实际情境中的数列：将图形的几何特征（如边长、坐标、点数等）或实际
操作步骤转化为数列的项，寻找相邻项之间的递推关系.
考点五：数列的恒成立问题
考法14：数列不等式恒成立求参数范围
(n+2)(a +λn)
例15.（2026·河南新乡·三模）已知数列{a }满足a = n ，其中a =1,a =2.若
n n+2 n 1 2
a <a 对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
n n+1
1
A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. [- ,+∞) D. [1,+∞)
3
考法15：结合函数图象求数列最值
例16.已知数列{a }的通项公式a =10n-2n，前n项和是S ，对于∀n∈N*，都有S ≤S ，
n n n n k
则k=＿＿＿＿＿＿.
【考点五 方法总结】
1. 数列不等式恒成立问题的常用策略：分离参数法.将参数分离到不等式的一侧，转
化为求数列的最值问题.即a≥f(n)恒成立转化为a≥f(n) ；a≤f(n)恒成立转化为
max
a≤f(n) .
min
2. 结合函数图象求最值：对于复杂的数列通项，可借助连续函数的图象和性质，先
求出连续函数的最值点，再在其附近的整数点处比较大小，从而确定数列的最值.
考点六：递推数列问题
考法16：利用递推关系求特定项或通项
2a +4 3a +2-a
例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）数列{a }满足 n = n n+1，且a =2.若a =100，
n a a 1 i
n+1 n
则i的最小值为（ ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
考法17：探究递推数列的综合性质
例18.（2025·广东深圳中学·检测）（多选）已知数列{a }的前n项和为S ，若a =-1,a =0，
n n 1 2
且当n≥2时4a =4a -a ，则下列判断正确的有（ ）
n+1 n n-1
A. a >a
4 3
B. 数列{2a -a }为等比数列
n+1 n
C. 对任意n∈N*,S <0
n
D. 若对于正整数p,q(p<6<q)，满足S ,S ,S 成等差数列，则p+q=13
p 6 q
考法18：结合实际情境或排列组合构造递推关系
例19.（2026·湖南株洲·一模）某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，
B两种数据更新方案可选.统计显示，凡是在星期一选择A方案来维护训练任务节点，下
星期一有20%会改用B方案；而选择B方案来维护训练任务节点，下星期一有30%会改用
A方案.用a ,b 分别表示在第n个星期的星期一选择A方案和选择B方案来维护训练任务节
n n
点的个数，则a 与a 的关系可以表示为（ ）
n+1 n
1 2
A. a = a +300 B. a = a +360
n+1 2 n n+1 5 n
1 1
C. a = a +600 D. a = a +600
n+1 3 n n+1 5 n
考法19：递推数列中的参数范围与开放性问题
例20.（2026·河北邯郸·一模）已知递增数列{a }满足a =1，且a =λa -μa2，则λ,μ满足
n 1 n+1 n n
的关系式不可能是（ ）
A. λ+μ<0 B. λμ+1<0 C. λ2+μ2=2 D. λ-2μ=0
【考点六 方法总结】
1. 递推数列求通项的常用技巧：对于形如a =pa +q的递推关系，常通过构造辅助
n+1 n
数列{a +c}使其成为等比数列；对于复杂的非线性递推关系，可通过换元、取倒数、取对
n
数等方法转化为基本数列模型.
2. 递推数列的综合性质探究：结合递推公式，利用数学归纳法证明数列的单调性、
有界性等性质；或者通过计算前几项寻找周期性.
3. 实际情境中的递推构造：仔细分析题目描述的操作过程或状态转移规则，找出第
n+1次状态与第n次状态之间的数量关系，从而建立递推方程.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷·第8题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当
x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）A. f（10）>100 B. f（20）>1000
C. f（10）<1000 D. f（20）<10000
