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9.4 抛物线（精练）
1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1 是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远
镜“中国天眼”——
口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转
所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25 米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C
的一部分，放入如图2 所示的平面直角坐标系
内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为
，则点到该抛物线焦点F 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令抛物线方程为
且
，
由题设
在抛物线上，则
，得
，
又
且
，则P 到该抛物线焦点F 的距离为
米.
故选：A
2．（2023 春·河北廊坊 ）已知抛物线
，过点
的直线l 交C 于A，B 两点，则直线
，
（O 为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】A
【解析】设l 的方程为
，联立
，得
，则
，
1
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所以
，所以
．
故选：A
3．（2023 秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，若直线
与
交于
，
两点，且
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】令
，则
，故
，所以
，
所以
，故准线为
，则
.
故选：B
4．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：
，过点
的直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，
若
，则直线l 的斜率是（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
作差得
.因为
，所以P 是线段AB
的中点，所以
，则直线l 的斜率
.
故选：A
5．（2023 春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l 交抛物线
于M，N 两点，且MN 的中
点为
，则直线l 的斜率为（ ）
2
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A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【解析】易知直线l 的斜率存在，设直线的斜率为k，
，
则
，两式相减得
，整理得
，
因为MN 的中点为
，则
，
所以
，即直线l 的斜率为3．
故选：C．
6．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）
为
：
的焦点，点
在曲线
上，且
在第一象限，若
，且直线
斜率为
，则
的面积
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】
如图，设点
，
，所以
，
3
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由题意
，所以
，
得
，或
（舍去），
所以
，
，
故选：B
7．（2023 春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线
的焦点为
，准线为
为
上一动点，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
的值为4
B．当
时，抛物线
在点
处的切线方程为
C．
的最小值为3
D．
的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，当
时，
，故
，故A 正确；
对于B，当
时，
，由
可得
，所以
，所以抛物线
在点
处的切
线方程为
，
整理得：
，故B 错误；
对于C，如图，过点
作
准线于点
，则由抛物线定义可知：
，
则
，当
三点共线时，和最小，最小值为
，故C 正确；
4
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对于D，由题意得：
，连接
并延长，交抛物线于点
，此点即
取最大值的点，此时
，
其他位置的点
，由三角形两边之差小于第三边得：
，故
的最大值为
，故D 正确.
故选：ACD
8．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线
的焦点为
，
为抛物线上的动点，若点
不在抛物
线上，且满足
的最小值为
，则
的值可以为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】ABC
5
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【解析】
如上图所示，若A 在抛物线内，易知
，抛物线的准线为
，
过P 作PE 垂直于抛物线准线，垂足为E，过A 作AB 垂直于抛物线准线，垂足为B，交抛物线于
，
由抛物线的定义知
，当且仅当A、P、B 三点共线时，
即
重合时取得最小值，
，
又A 在抛物线内，故
，
所以
，即
；
若A 在抛物线外，连接AF 交抛物线于G 点，则
，
当且仅当
重合时取得最小值，此时即
.
6
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综上
.
故选：ABC
9．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线
的焦点F
（2，0）作斜率为
的弦AB，其中点A 在第一象限，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】抛物线方程为
，设直线
的方程
，代入
得
，设
，则
，
对A：显然
不关于
轴对称，故
，A 错误；
对B：
，所以
，B 正确；
对C：
，C 错误；
对D：
，D 正确.
故选：BD
10．（2023 秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线
焦点为
，准线上有点
是抛物线上一点，
为等边三角形，则
点坐标为 ．
【答案】
【解析】抛物线
焦点为
，点
在准线
上，
在等边
中，
，因此
长等于点
到准线的距离，即有
与抛物线准线垂直，
7
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令抛物线准线与x 轴交于点
，则
，由
轴，得
，
于是
，
令
，则
，解得
，
所以
点坐标为
.
故答案为：
11．（2022 秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：
的焦点为F，点M 在C 上，
，若以MF 为直径的圆过点
，则C 的方程为 .
【答案】
或
.
【解析】由题意得
，设
，
则由抛物线的定义得
，
则
，所以圆心的横坐标为
，其半径也为
，
所以圆与y 轴相切，
又因为以MF 为直径的圆过点
，
所以切点为
，
8
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所以圆心为
，则
，
又因为点M 在抛物线上，
所以
，即
，
解得
或
，
所以抛物线方程为：
或
.
故答案为：
或
.
12．（2023 春·广东广州 ）已知点
为拋物线
上的动点，点
为圆
上的动点，则
点
到
轴的距离与点
到点
的距离之和最小值为 .
【答案】
【解析】由题可知，抛物线
的准线方程为
，焦点坐标为
，
过点
作
轴交
轴于点
，
由抛物线的定义可知点
到
轴的距离即为
，
圆
的圆心坐标为
，半径为
，
故点
到
轴的距离与点
到点
的距离之和
，
根据圆的性质可知点
到
轴的距离与点
到点
的距离之和最小值为
，
当且仅当
、
、
、
四点共线（
、
在
之间）时取等号.
9
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故答案为：
.
13．（2023·福建）已如
，
是抛物线
上的动点（异于顶点），过
作圆
的切线，切点为
，则
的最小值为 .
【答案】3
【解析】依题意，设
，有
，圆
的圆心
，半径
，
于是
，
因此
，表示抛物线
上的点
到y 轴距离与到定点
的距离的和，
而点
在抛物线
内，当且仅当
是过点
垂直于y 轴的直线与抛物线
的交点时，
取得最小值
3，
所以
的最小值为3.
故答案为：3.
10
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14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知
是抛物线
上一点，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】由题可知， 过抛物线
上的动点
作直线
的垂线交直线于
，过
点
作
轴的垂线交
轴于
，交准线于
点，
为抛物线焦点.
由
，得
，所以
，如图所示
则
动点
到
轴的距离为
所以
,
当且仅当
三点共线时，
有最小值，即
,(
为点
到
直线的距离).
所以
到直线
的距离为
11
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所以
，
所以
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
15．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点
在抛物线C：
上，则A 到焦点
F 的距离为 ．
【答案】4
【解析】因为
在
上，故
，
A 到准线的距离为
，
故A 到焦点F 的距离为4.
故答案为：4
16．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点
在抛物线C：
上，则点A 到抛
物线C 的准线的距离为 ．
【答案】2
【解析】因为
在抛物线C：
上，
所以
，解得
，
故抛物线C 的准线为
，
所以点A 到抛物线C 的准线的距离为
.
故答案为：
.
17．（2022 秋·陕西渭南 ）设抛物线
的焦点为F，过点F 作直线l 交抛物线于A、B 两点，若线段
AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为 ．
【答案】10
12
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【解析】设
，则
，
由抛物线方程可知
，
由线段
的中点E 到y 轴的距离为3 得，
，
∴
故答案为：
.
18．（2023 秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线
的焦点
的直线与
交于
、
两点，且
，
为坐标原点，则
的面积为 .
【答案】
【解析】易知，抛物线
的焦点为
，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，不合
乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，则
，
故
，
，
又
，即
，即
，
所以，
，可得
，
，
13
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解得
.
此时，
又因为原点
到直线
的距离为
，
故
的面积为
.
故答案为：
.
19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线
上两点A，B 关于点
对称，则直线AB 的斜率
为 .
【答案】2
【解析】设
，
代入抛物线
，得
，
则
①，
因为两点A，B 关于点
对称，则
，
所以由①得
，
直线AB 的斜率为2.
则直线AB：
与代入抛物线
联立，得
，
，解得
.
所以直线AB 的斜率为2.
故答案为：2.
20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线
的焦点F 的直线l 与抛物线交于A，B 两点，若l 的倾
斜角为
，则线段AB 的中点到x 轴的距离是 ．
【答案】3
14
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【解析】由题意，抛物线为
，则
，即直线为
，
∴将直线方程代入抛物线整理得：
，
设
，
，则
，
故线段
的中点的横坐标为
代入直线，得
，
∴线段
的中点到
轴的距离是.
故答案为：3.
21．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：
焦点F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两
点，且
，若M 为AB 的中点，则M 到y 轴的距离为 .
【答案】
【解析】作出抛物线的准线
，设
、
在上的射影分别是
、
，
连接
、
，过
作
于
，
设
，则
，
由点
、
分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
，
，
因此，
中，
，得
所以，直线
的倾斜角
，
得直线
的斜率
．
直线
的方程为
，代入
，可得
，
或
，
为
的中点，
，
15
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∴
到
轴的距离为
，
故答案为：
22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线
的焦点为F，过点F 的直线与该抛物线交于
A，B 两点，
，AB 的中点横坐标为4，则
．
【答案】
【解析】由抛物线定义知：
，而AB 的中点横坐标为4，即
，
所以
，即
.
故答案为：
23．（2023 秋· 课时练习）已知抛物线
的焦点
为
，则
，若点
在抛物线上，点
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线
的焦点
为
，
可得
，即
，抛物线方程为
，
则抛物线
的准线方程为
，
过
作直线
的垂线，垂足为
，
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，
则当
三点共线时，
取得最小值，
且最小值为
（即
到准线的距离）.
故答案为：；
24．（2023·江苏 ）设点P 是抛物线
上的一个动点.
(1)求点
到
的距离与点
到直线
的距离之和的最小值；
(2)若
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【解析】（1）如图，易知抛物线的焦点为
，准线为
，由抛物线的定义知点
到直线
的
距离等于点
到焦点
的距离.
于是，问题转化为在曲线上求一点
，使点
到点
的距离与点
到
的距离之和最小.
显然，连接
与抛物线的交点即为所求点
，故最小值为
＝
.
17
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（2）如图，过点
作
垂直于准线于点
，过点
作
垂直准线于点
，交抛物线于点
，
此时，
，那么
,即最小值为4.
25．（2023·江苏 ）若位于
轴右侧的动点
到
的距离比它到
轴的距离大
，点
，求
的最小值，并求出点
的坐标.
【答案】最小值为
,
【解析】由题意可知，动点
到
的距离与它到直线
的距离相等，
所以点
的轨迹是以点
为焦点的抛物线，抛物线方程为
，
由于点M 在抛物线上，所以|MF|等于点M 到其准线l 的距离|MN|，
18
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过点
作
垂直于准线于点
，
于是
.
当
，
，
三点共线时，
取得最小值，即
取最小值
，
这时
的纵坐标为2，可设
，代入抛物线方程得
，即
.
26（2023 秋·课时练习）当k 为何值时，直线
与抛物线
有两个公共点？仅有一个公共点？
无公共点？
【答案】答案见解析
【解析】由
，得
.
当
时，方程化为一次方程
，
该方程只有一解
，原方程组只有一组解，
∴直线
与抛物线只有一个公共点；
当
时，二次方程的判别式
，
当
时，得
，
，
∴当
或
时，直线与抛物线有两个公共点；
由
得
，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点；
由
得
或
，此时直线与抛物线无公共点．
综上，当
或
时，直线与抛物线仅有一个公共点；
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当
或
时，直线与抛物线有两个公共点；
当
或
时，直线与抛物线无公共点．
27．（2023 秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系
中，已知圆心
为C 的动圆过点
，且在
轴上截得的弦长为4，记C 的轨迹为曲线E．
(1)求E 的方程；
(2)已知
及曲线E 上的两点B 和D，直线AB，AD 的斜率分别为
，
，且
，求证：直线BD
经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设圆心
，半径为，
因为圆心为C 的动圆过点
，所以
，
因为圆心为C 的动圆在
轴上截得的弦长为4，所以
，
所以
，即
，所以曲线E 是抛物线.
（2）证明：由题意
点坐标适合
，即点A 在E 上，
由题意可知BD 斜率不会为0，设直线
：
，
联立
，消去
并整理得
，
需满足
，即
，
设
，
，则
，
，
20
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因为
，
，
所以
，
所以
，将
，
代入得
，
即
，
所以直线
：
，即
，
所以直线BD 经过定点
.
1．（2023·河南·模拟预测）P 为抛物线
上任意一点，F 为抛物线的焦点．如下图，
，
的最小值为5．若直线
与抛物线
交于点N，则
外接圆的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
21
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【解析】依题意，抛物线
的焦点
，准线
，
过点
作
于
，过
作
于
，交抛物线
于
，连接
，如图，
则
，当且仅当点
与
重合时取等号，
所以
的最小值为
，解得
，即有
，
由
得点
，因此
，
在
中，由余弦定理得
，则
，
令
外接圆半径为
，由正弦定理得
，则
，
所以
外接圆的面积为
.
故选：D
2．（2023 秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O 为坐标原点，抛物线
的焦
点F 为
，过点
的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（ ）
A．
的最小值为3
B．C 的准线方程为
C．
D．当
时，点P 到直线l 的距离的最大值为
【答案】ABD
22
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【解析】如图：对于A,B，由抛物线的焦点
为
，
则
，即
，其准线方程为
，设点
到准线的距离为
，
则
，设点
到准线的距离为
，
易知
，故选项A 正确，B 正确；
由题意可知，过点
的直线的方程可设为
，代入抛物线
,可得
，
，则直线始终与抛物线图象有两个交点，
设
,则
，当
时，取到最小值
，故选项C 错误；
由C 可得直线的方程为
，由
，可知
到直线的距离等于
到直线的距离，
点
到直线的距离
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
单调递增，由当
时，
，当
时,
，
则当
时，
，所以
，故选项D 正确.
故选：ABD.
23
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3．（2023 秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O 为抛物线
的顶点，直线l 交抛
物线于M，N 两点，过点M，N 分别向准线
作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线l 过焦点F，则N，O，P 三点不共线
B．若直线l 过焦点F，则
C．若直线l 过焦点F，则抛物线C 在M，N 处的两条切线的交点在某定直线上
D．若
，则直线l 恒过点
【答案】BCD
【解析】设直线
，联立方程
，得
设
，
，则
选项A，若直线l 过焦点F，则
，
，
又
，
24
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，
，
三点共线，
A 错；
选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：
，
又
，
，所以B 对；
选项C，设与抛物线
相切的切线方程为
，
则
化简得
．
由
，可得
，即
，
所以与抛物线
相切的切线方程为
，
将
点坐标代入方程可得
，则
，
所以过
的切线方程为
．
同理，过
的切线方程为
，
联立
，得：
抛物线在点M，N 处的切线的交点在定直线
上，所以C 对；
25
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选项D，因为
，
，
将韦达定理代入得：
.
所以直线l 恒过点
，所以D 对.
故选：BCD.
4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线
：
的焦点为
，过
的直线交抛物线
于
、
两点，
，直线
左边的抛物线上存在一点
，则（ ）
A．
B．
C．若点
，则
D．当
的面积最大时，面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线
的方程为
，
联立抛物线方程
，消去x 化简得：
，
∴
，代入抛物线方程得：
，A 正确；
对于B，∵
，解得
，所
以
，B 错误；
对于C：分别做
、
于
、
点，弦
的中点
于
，
26
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所以
，
，
，
，所以
，所以以
为直径的圆
与准线相切，
由选项B 得，
时，
，得
，
时，
，得
，所以圆心
，
所以与准线的切点为
，所以点
在圆外，所以
是锐角，即
，C 正确；
对于D：直线
方程为
，斜率为，
当过点
的切线与直线
平行时，点
到直线
的距离最大，
当
时，
，所以
，设
，所以
，得
，所以点
，此
时
，所以
面积的最大值为
，当斜率为
时，同理求得面积为
，
D 正确.
27
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故选：ACD.
5．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线
的准线方程为
，
圆
，直线
与
交于
两点，与
交于
两点
在第一象限），
为坐
标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．
为定值
【答案】BD
【解析】对于A，因为抛物线
的准线方程为
，所以
，得
，所以A 错误，
对于B，设
，
由
，得
，
则
，
所以
，
28
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因为直线
恒过圆心
，所以
，所以
，
所以
，所以B 正确，
对于C，因为直线过抛物线的焦点
，所以
，
因为
，
，所以
，解得
，所以C 错误，
对于D，因为直线过抛物线的焦点
，
所以
，
所以
为定值，所以D 正确，
故选：BD
6．（2023 秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C 的标准方程为
，O 为坐
标原点，直线l 为其准线，点A，B 是C 上的两个动点（不是原点O），线段
与x 轴交于点M，连接
并延长交准线于点D，则（ ）
A．若点M 为C 的焦点，则直线
平行于x 轴
B．若点M 为C 的焦点，则线段
的长度的最小值为4
C．若
，则点M 为C 的焦点
D．若
与
的面积之积为定值，则点M 为C 的焦点
【答案】AB
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【解析】直线
的斜率不为0，设点
，设直线
的方程为
，
设
，
，因为点M 在线段
上，所以
，
联立直线和抛物线方程得
，则
，
所以
，
，
直线
的方程为
，得
，
又因为
，故
，
对于A，若
为焦点，则
，
因为
，所以
，A 选项正确；
对于B，若
为焦点，则
，
，
则
，B 选项正确；
对于C，若
，有
，即
，
所以
，解得
或0（舍去），C 选项错误；
对于D，
，只需M 横坐标为定值即可，故D 错误.
故选：AB
30
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7．（2023 秋·河北唐山 ）已知抛物线
的焦点为
，直线与抛物线
交于
两点，连接
并
延长，交抛物线
于点
，若
中点的纵坐标为
，则当
最大时，
．
【答案】16
【解析】由题可得抛物线焦点为
，准线为
.设
，
则由抛物线定义可得
，
又由题可得
中点的纵坐标为
，则
.
则
.
则
，当且仅当
取等号，则
为等边三角形，即直线AD 斜
率为
或
.
如图，设此时AD 方程为
，将其与抛物线联立有
.
设D
，则由韦达定理有
.
再由抛物线定义有
.
故答案为：
.
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8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点
是抛物线
上的动点，则
的
最小值为 .
【答案】
/
【解析】由题可知，过抛物线
上的动点
作直线
的垂线交直线于
，过点
作
轴的垂线交
轴于
，交准线于
点，
为抛物线焦点，
由
，得
，所以
，如图所示
则
动点
到
轴的距离为
所以
，
当且仅当
三点共线时，
有最小值，即
(此时
32
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为点
到直线的距离)，
所以
到直线
的距离为
，
所以
，
所以
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
9．（2023 秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点
为抛物线
的焦点，点
，
，且
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若斜率存在的直线过点
且交抛物线
于
，
两点，若直线
，
交抛物线于
，
两点（
、
与
、
不重合），求证：直线
过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设
，则
，
，
又
，故
，
整理得
，解得
.
所以抛物线
的标准方程为
；
（2）若直线不过点
，如图，
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设
，
，
，
，
由题意可知直线
的斜率存在且不为0，
则直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，即
，
由直线
过定点
，可得
同理直线
的方程为
，
过焦点
，可得
，
的方程
，
过焦点
，可得
.
直线
的方程为
，
由
，得
，
所以
，即
.
又因为
，所以
.
令
，解得
，故直线
恒过定点
.
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若直线过点
，直线
即为直线
，其方程为
，
即
，显然直线过点
.
综上，直线
过定点
.
10．（2024 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：
焦点为
，直线l 与抛物
线C 交于
，
两点，且
，
（O 为坐标原点）．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证：直线l 过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题设
，则
，所以抛物线方程为
.
（2）令l：
，
，
，
联立
得：
，则
，
，
，
解得
或
，由
得：
，故
，
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∴l：
过定点
.
11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线
和圆
，倾斜角为
的直线过
焦点，且与
相切.
(1)求抛物线
的方程；
(2)动点
在
的准线上，动点
在
上，若
在点
处的切线
交
轴于点
，设
，证明
点
在定直线上，并求该定直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析，
.
【解析】（1）依题意得，物线
的焦点坐标为
，设直线的方程为
，
而圆
的圆心
，半径
，由直线与圆
相切，
得
，又
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由（1）知抛物线
：
的准线为
，设
，
由
，求导得
，设
，则以
为切点的切线
的斜率为
，
于是切线
的方程为
，
令
，得
，即
交y 轴于点
，
因此
，
，
则
，设N 点坐标为
，从而
，
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所以点N 在定直线
上.
12．（2022 秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知
的焦点为
，且经过
的直
线被圆
截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为
，若过点
作直线与抛物线相交于不同的两点
，
，过点
，
作抛物线的切线
分别与直线
，
相交于点
，
，请问直线
是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线
经过定点
．
【解析】（1）因为抛物线
的焦点为
，圆
的圆心
，
而经过
的直线被圆
截得的线段长度
，其中
为圆心
到直线的距离，
则
，所以
，
显然，
的最大值为焦点
到圆心
的距离，即
，
所以
，又
，解得
或
（舍），
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故抛物线的方程为
．
（2）设点
，
，
，由
，即
，得
，
则点
处的切线方程为
，
直线
的方程为：
，
则点
，同理点
，
可得：
，
直线
的方程为：
，
注意到点
，
满足
，
直线
的方程为
．
注意令
，则
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，
直线
经过定点
．
13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，准
线为，过点
且倾斜角为
的直线交抛物线于点
（M 在第一象限），
，垂足为
，直线
交
轴于点
，
(1)求
的值.
(2)若斜率不为0 的直线与抛物线
相切，切点为
，平行于的直线交抛物线
于
两点，且
，点
到直线
与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
【答案】(1)
(2)是，3
【解析】（1）如图所示，过点
作
，垂足为
交
轴于点
，
由题得
，所以
，
因为
，所以△
是等边三角形，
因为
是
的中点，所以
，
故
，
所以
，
，所以
，所以
，即
.
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（2）由（1）可知抛物线的方程是
，
设直线
的方程为
，
，
因为
，所以
，
即
，即
.
又
，所以
，故
.
联立
，消去
，得
，其中
，
则
，
所以
，所以
.
设点
到直线
和直线的距离分别为
，
则由
得
，
所以点
到直线
与到直线的距离之比是定值，定值为3.
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