第16讲二次函数与一元二次方程（知识点+7题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第16 讲二次函数与一元二次方程（知识点+7 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求抛物线与x 轴的交点坐标
题型2 求抛物线与y 轴的交点坐标
题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值
题型4 抛物线与x 轴的交点问题
题型5 求x 轴与抛物线的截线长
题型6 图象法确定一元二次方程的近似根
题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数与一元二次
方程的内在联系
抛物线与x 轴的交点
判别式的几何意义
利用二次函数图像解
1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，理解两者的内在联系，知
道一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数
y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴交点的横坐标。
2. 掌握一元二次方程根的判别式Δ=b^2-4ac 的几何意义，能根据判别式的
值判断抛物线与x 轴的交点个数，也能根据抛物线与x 轴的交点情况求参数
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一元二次方程
二次函数与一元二次
不等式的初步联系
函数与方程思想
的取值范围。
3. 能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，体会“数形结合”是解
方程的重要方法，理解代数问题与几何问题的相互转化。
4. 初步了解二次函数与一元二次不等式的关系，能通过观察二次函数的图像，
直接写出简单一元二次不等式的解集。
5. 能综合运用二次函数的图像与性质、一元二次方程的知识解决实际问题和
代数综合题，发展函数与方程思想和数形结合能力。
学习重点：二次函数与一元二次方程的内在联系，判别式的几何意义，利用二次函数图像求一元二次
方程的近似解。
学习难点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间的相互转化关系，数形结合思想
在函数与方程综合问题中的灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的基本关系
核心结论：对于二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ），当ݕ= Ͳ 时，函数转化为一元二次方程ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ。
方程的实数根就是抛物线与ݔ轴交点的横坐标。
数学语言：
若ݔ= ݔͲ是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的根，则点(ݔͲ,Ͳ)是抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
与ݔ轴的交点。
即时即练
1．二次函数ݕ= ݔʹ െʹݔ的图像上有两点ܣܽ
,Ͳ 和ܤܾ
,Ͳ ，则ܽ
+ܾ
的值等于（
）
A．െʹ
B．1
C．2
D．4
【易错提醒】
切勿混淆抛物线与x 轴、y 轴的交点：与x 轴交点对应y=0，与y 轴交点对应x=0（坐标为(0,c)）
只有当y=0 时，二次函数才转化为一元二次方程，y 取其他非零值时对应一元二次方程的解是抛物线与水平
线y=k 的交点横坐标
知识点02
抛物线与x 轴的交点个数和判别式的关系
对于二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ），判别式Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
的符号决定了抛物线与ݔ轴的交点个数：
判别式Δ的符号
一元二次方程根的情况
抛物线与࢞
轴的交点个
数
Δ > Ͳ
有两个不相等的实数根
2 个不同的交点
Δ = Ͳ
有两个相等的实数根
1 个公共点（顶点）
Δ < Ͳ
没有实数根
0 个交点
即时即练
2．在平面直角坐标系中，抛物线ܥͳǣݕ=
ͳ
Ͷ ݔʹ െʹݔ+ ͵ 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y
轴交于点C；抛物线ܥʹǣݕ=െ
ͳ
Ͷ ݔʹ +ܽ
ݔ+ܿ
经过B，C 两点．
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(1)求点A，B 的坐标；
(2)求抛物线ܥʹ的函数表达式；
(3)在抛物线ܥʹ上是否存在一点M，使以点C，A，B，M 为顶点的四边形是以ܣܤ为边的平行四边形，若存
在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【易错提醒】
Δ = Ͳ 时是一个公共点（顶点在ݔ轴上），不是没有交点，也不是两个不同的交点
Δ < Ͳ 时，方程没有实数根，但二次函数本身仍然存在，抛物线与ݔ轴没有交点
此结论仅适用于抛物线与ݔ轴的交点，与ݕ轴的交点个数始终为1 个（坐标(Ͳ,ܿ)）
知识点03
利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
方法：夹逼法
画出二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图像，确定抛物线与ݔ轴交点的大致位置
在交点两侧取两个靠近的自变量值ݔͳ和ݔʹ，计算对应的函数值ݕͳ和ݕʹ
若ݕͳ和ݕʹ异号，则在ݔͳ和ݔʹ之间必有一个根
逐步缩小自变量的取值范围，直到达到所需的精度
即时即练
3．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，ܣʹǤͳͳ, െͲǤͷͳ ，ܤʹǤ͸ͳ,ͲǤͷͶ 为图象上的两点，则
方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳܽ
≠Ͳ 的一个解可能是（
）
A．ʹǤ㈱ͷ
B．ʹǤ͸ͳ
C．ʹǤͶͷ
D．ʹǤͳͳ
【易错提醒】
夹逼法的原理是：当函数值由正变负或由负变正时，中间必有一个根
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近似根的精度取决于取值范围的大小，范围越小，精度越高
不要将函数值的大小与根的大小混淆，根是自变量ݔ的值，不是函数值ݕ
题型1 求抛物线与x 轴的交点坐标
【例1】已知关于x 的函数ݕ= 数ݔʹ + ͵数+ ͳ ݔ+ ͵
(1)若该二次函数的对称轴是直线ݔ= ͳ，求该函数的解析式；
(2)当该函数与x 轴的交点的横坐标为整数时，求整数m 的值．
【技巧归纳】
解方程的根就是交点的横坐标，交点坐标为(ݔͳ,Ͳ)、(ݔʹ,Ͳ)
方程有两个不相等实根→两个交点；有两个相等实根→一个交点；无实根→无交点
优先用因式分解法解方程，其次用公式法
【变式1-1】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹܽ
≠Ͳ 的图象与直线ݕ= ʹݔെ͵ 交于点ܣͳ,ܾ
．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ中的函数值y 随x 值的增大而增大？
(3)求抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ与直线ݕ= ʹݔെ͵ 的另一个交点B 的坐标．
【变式1-2】
2．在平面直角坐标系ݔRݕ中，抛物线ݕ= ݔʹ െ͵数ݔെͶ数ʹ 数≠Ͳ ．
(1)①证明：抛物线与ݔ轴恒有两个交点；
②求出抛物线与ݔ轴交点的坐标（用含数的式子表示）；
(2)过点ܲ
ݐ,Ͳ 作ݔ轴的垂线，交抛物线于点ܯ，交直线ݕ= 数ݔ+ 数ʹ于点ܰ
（ܯ，ܰ
不重合）．
①若数=െͳ，ݐ= ʹ，求ܯܰ
的长；
②若当ͳ < ݐ< ͵，ܯܰ
的长随ݐ的增大而增大，求数的取值范围．
题型2 求抛物线与y 轴的交点坐标
【例2】抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的对称轴是直线ݔ= ͳ，与x 轴负半轴的交点坐标为ݔͳ,Ͳ ，且െͳ < ݔͳ <
Ͳ，与ݕ轴交于点Ͳ,ͳ ，则下列结论中，正确的是（
）
A．ܾܽܿ
> Ͳ
B．Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
> ͳ
C．ܾʹ < Ͷܽܿ
D．ܽ
ݔʹ െͳ +ܾ
ݔെͳ ൑Ͳ
【技巧归纳】
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交点坐标恒为(Ͳ,܋)，常数项ܿ
就是交点的纵坐标
当ܿ
= Ͳ 时，抛物线过原点(Ͳ,Ͳ)
无需计算，直接看一般式的常数项即可得出
【变式2-1】
1．抛物线ݕ=െ͵ ݔെͳ ʹ + ʹ 与ݕ轴的交点为（
）
A．Ͳ,ͳ
B．ͳ,Ͳ
C．െͳ,Ͳ
D．Ͳ, െͳ
【变式2-2】
2．某游乐场的圆形喷水池中心R 有一雕塑Rܣ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如
图，以R 为原点，水平方向为ݔ轴，建立平面直角坐标系，点A 在ݕ轴上，ݔ轴上的点C、ܦ为水柱的落
水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为ݕ=െ
ͳ
͸ (ݔെͷ)ʹ + ͸．
(1)求雕塑Rܣ的高；
(2)求落水点C、ܦ之间的距离；
(3)若需要在Rܦ上的点ܧ处竖立雕塑ܧܨ，Rܧ= ͳm，ܧܨ= ͵m，ܧܨ٣ RD．问：顶部ܨ是否会碰到水柱？
请通过计算说明．
题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值
【例3】将抛物线ܥǣ ݕ=െ(ݔെ͵)ʹ + ͸ 进行平移得抛物线ܥ̵ ǣ ݕ=െݔʹ + ʹ，点ܲ
数,ͷ 在抛物线ܥ上，对应
点̵ܲ
在抛物线ܥ̵ 上，则点̵ܲ
的横坐标可以是（
）．
A．ͳ
B．ʹ
C．͵
D．Ͷ
【技巧归纳】
步骤：列方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
=݇
→移项化为标准式→解方程
方程有几个解，就有几个对应的自变量值
实际问题中，需舍去不符合实际意义的解
【变式3-1】
1．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 的图象过点ܣʹ,݇
,ܤെͳ,݇
．
(1)求ܾܽ的值；
(2)已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 的最大值为
ͷ
ʹ െ
ͳ
Ͷܽ
ʹ，求该二次函数的表达式．
【变式3-2】
2．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度݄
(m)满足二次函数关系式݄
=ܽ
ݐʹ +ܾݐ，
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其中ݐ(s)是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水
平距离为ͳͲm 时达到最大高度为ͳͲm．如图建立平面直角坐标系．
(1)求出ܽ
和ܾ
的值；
(2)求高尔夫球落地点ܣ与击出点R 的距离Rܣ的长；
(3)若该高尔夫球击出ݐ秒后和（ݐ+ Ͷ）秒后，高尔夫球的高度相同，求ݐ的值和此时高尔夫球的高度．
题型4 抛物线与x 轴的交点问题
【例4】若抛物线ݕ= ݔʹ +ܽ
ݔ+ܾ
与ݔ轴两个交点间的距离为ʹ，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦
抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，将此抛物线向左平移ʹ 个单位，再向下平移͵ 个单位，得到的抛物线顶点坐
标______________．
【技巧归纳】
Δ > Ͳ→抛物线与x 轴有两个不同的交点
Δ = Ͳ→抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）
Δ < Ͳ→抛物线与x 轴没有交点
隐含前提：二次项系数ܽ
≠Ͳ，否则是一次函数
【变式4-1】
1．将抛物线ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͳʹ 向下平移m 个单位长度．若平移后得到的抛物线与x 轴有1 个公共点，则m
的值是_______．
【变式4-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ数ݔ+ 数െͳ．（m 为常数，数≠ʹ）
(1)求证：该函数图象与x 轴总有两个公共点．
(2)设该函数图象与x 轴交于A，B 两点．若数൑͵，求线段ܣܤ的长的取值范围．
题型5 求x 轴与抛物线的截线长
【例5】若抛物线ݕ= ݔʹ +݀
ݔ+݁
与ݔ轴两交点距离为Ͷ，对称轴为ݔ= ʹ，则抛物线解析式为_____________．
【技巧归纳】
通用公式：|ܠͳ െܠʹ| =
(ܠͳ + ܠʹ)ʹ െͶܠͳܠʹ =
Δ
|܉|
截线长只与Δ和ܽ
有关，与抛物线的对称轴位置无关
已知截线长，可反推Δ的值，进而求参数
【变式5-1】
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1．如图，二次函数ݕ= ݔʹ + ͸ݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半轴交于点C，若ܣܤ= Ͷ，则
点C 的坐标是________ ．
【变式5-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͷ(ͳ ൑ݔ൑͸)．
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)过点ܣ(ݐ,Ͳ)与y 轴平行的直线交抛物线于点B，若ܣܤ= ͷ，求t 的值；
(3)若点ܯݔͳ,ݕͳ ，ܰ
ݔʹ,ݕʹ 为二次函数图象上的两点，且ݔʹ െݔͳ = Ͷ，求ݕʹ െݕͳ的最大值．
题型6 图象法确定一元二次方程的近似根
【例6】二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ,ܽ,ܾ,ܿ为常数）的部分取值如下表，则关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾ
ݔ+ܿ
= Ͳ（ܽ
≠Ͳ,ܽ,ܾ,ܿ为常数）的一个解x 的取值范围是（
）
x
···
6.17
6.18
6.19
6.20
．．．
ݕ
=ܽ
ݔʹ +ܾݔ
+ܿ
···
െͲǤͲʹ
െͲǤͲͳ
0.01
0.04
．．．
A．͸Ǥͳͳ < ݔ< ͸Ǥͳͻ
B．͸Ǥͳ㈱< ݔ< ͸Ǥͳͳ
C．͸Ǥͳ͸ < ݔ< ͸Ǥͳ㈱
D．͸Ǥͳͻ < ݔ< ͸ǤʹͲ
【技巧归纳】
步骤：画出抛物线→找到与x 轴交点的大致位置→代入区间端点计算函数值
当ݔ=ܽ
时ݕ> Ͳ，ݔ=ܾ
时ݕ< Ͳ，则根在ܽ
和ܾ
之间
利用抛物线的对称性，可快速确定另一个根的范围
通常精确到十分位即可满足题目要求
【变式6-1】
1．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程ݔʹ + ʹݔെʹ = Ͳ 的实数根时，先画出函数ݕ= ݔʹ +
ʹݔെʹ 的图象如图所示，该图象与x 轴的公共点A 的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程ݔʹ + ʹݔെʹ = Ͳ
的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）．
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【变式6-2】
2．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ，ܮʹǣݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ，ܮ͵ǣݕ=
ݔʹ + ݔെʹ，请完成以下问题：
(1)看图说话：
①ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 与ݕ轴交点坐标为______；ܮʹǣݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ 与ݔ轴交点坐标为________；ܮ͵ǣݕ= ݔʹ +
ݔെʹ 与ݔ轴的交点坐标为െʹ,Ͳ 和ͳ,Ͳ ，方程ݔʹ + ݔെʹ = Ͳ 的两根为ݔͳ =_________；ݔʹ =________．
②抛物线ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 的顶点坐标为________；抛物线ܮ͵ǣݕ= ݔʹ + ݔെʹ 的顶点坐标为________．
③这三个函数的图象都可看作由抛物线ݕ= ݔʹ经过平移而得到；若将抛物线ݕ= ݔʹ先向_______平移______
个单位，再向_______平移______个单位得到ܮ͵的图象；
(2)若抛物线ܮͳ，ܮʹ，ܮ͵的顶点分别为ܣ，ܤ，ܥ，连ܣܤ，ܣܥ，ܤܥ，则直接写出ᇞܣܤܥ的面积________．
题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【例7】已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
（ܽ
≠Ͳ ）的自变量ݔ与函数ݕ的几组对应值如下表：
ݔ
െͶ
Ͳ
ͳ
ͷ
ݕ
Ͳ
ͳ
ͷ
െʹ㈱
则下列关于该二次函数的说法正确的是（
）
A．图象开口向上
B．当െͶ < ݔ< ͳ 时，ݕ的取值范围为Ͳ < ݕ൑ͳ
C．一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ͻ 有两个相等的实数根
D．图象的对称轴是直线ݔ=െ
ͳ
ʹ
【技巧归纳】
交点个数=方程实数根的个数
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交点在x 轴正半轴→根为正；在负半轴→根为负；在原点→有一个根为0
顶点在x 轴上→方程有两个相等的实数根
可结合图象判断根的大小关系、正负性
【变式7-1】
1．如图，二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 与ݔ轴，ݕ轴分别交于ܣ，ܤ两点，对称轴为直线ݔ= ʹ，一次
函数ݕʹ =െʹݔ+ 数的图象也经过ܣ，ܤ两点，则下列结论错误的是(
)
A．ܾܽܿ
< Ͳ
B．当Ͳ < ݔ<
数
ʹ时，ݕʹ > ݕͳ
C．方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
െ
数
ʹ = Ͳ 有两个不相等的实数根
D．二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象的最低点的坐标为ʹ, െ͵ܾ+ܿ
【变式7-2】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的图象经过点ͳ,ʹ 和͵,Ͷ ．
(1)若该函数的图象经过原点，求a 的值；
(2)求证：无论a 取何值，方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ʹݔ总有实数根．
(3)直接写出该函数图象与一次函数ݕ=ܽ
ݔ的图象的公共点个数及对应的a 的取值范围．
一、单选题
1．关于抛物线ݕ=െݔʹ + 数ݔ+ 数+ ͳ，下列说法错误的是（
）
A．该抛物线一定经过点െͳ,Ͳ
B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1
C．若点െʹ,݊
、ͷ,݊
在该抛物线上，则m 的值为3
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D．当数= ʹ 时，该抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4
2．抛物线ݕ=െʹ ݔെͳ ʹ െ͵ 与ݕ轴交点坐标是（
）
A．Ͳ, െ͵
B．Ͳ, െͳ
C．ͳ, െ͵
D．Ͳ, െͷ
3．若抛物线ݕ= ݔʹ + ݔെͳ 与ݔ轴的交点坐标为数,Ͳ ，则代数式数ʹ + 数+ ͳͳͻ 的值为（
）
A．118
B．119
C．120
D．121
4．函数ݕ= ݔʹ െ数+ ͳ ݔ+ 数（m 为常数）的图象与x 轴公共点的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
5．如图，抛物线ݕ=ܽ
(ݔെ݄
)ʹ +݇
与ݔ轴的一个交点是( െʹ,Ͳ)，顶点是(ͳ,͵)，下列说法中不正确的是
（
）
A．抛物线的对称轴是直线ݔ= ͳ
B．抛物线开口向下
C．抛物线与ݔ轴另一个交点是(ʹ,Ͳ)
D．当ݔ= ͳ 时，ݕ有最大值3
6．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=െܽ
ݔʹ െͶܽݔെͶܽ+ ͵（a 为常数，且ܽ
≠Ͳ）的图象与y 轴的交点
在x 轴下方，则该二次函数有（
）
A．最大值െ͵
B．最小值െ͵
C．最大值3
D．最小值3
7．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ为常数，且ܽ
≠Ͳ）经过点െͳ,Ͳ 、Ͳ,͸ ，其对称轴在ݕ轴右侧，
下列结论：①ܾܽܿ
< Ͳ；②ܽ
>െ͸；③ܾെܽ
=െ͸；④Ͷܽܿ
െܾ
ʹ < Ͳ．其中正确的有（
）
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②③④
8．若二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ʹܽ
≠Ͳ 的图象与ݔ轴没有交点，则ܽ
的取值范围为（
）
A．ܽ
> ʹ
B．ܽ
< ʹ
C．ܽ
>െʹ
D．ܽ
<െʹ
9．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 为常数，且ܽ
> Ͳ）的图象与x 轴的一个交点在( െͳ，Ͳ)和(Ͳ，Ͳ)
之间，且对称轴为直线ݔ= ʹ，则下列结论错误的是（
）
A．ܿ< Ͳ
B．ͷܽ+ܿ
> Ͳ
C．ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ
> Ͳ
D．当ݔ> Ͷ 时，y 的值随x 值的增大而增大
10．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图象分别经过点ܣ( െͳ,Ͳ)，点ܤ(Ͳ, െ͵)，且顶点在第四象限，下列
说法中，正确的是（
）
A．该函数图象开口向下
B．该函数图象与x 轴只有一个交点
C．a 的取值范围是Ͳ <ܽ
< ͵
D．当ݔ< Ͳ 时，y 随x 的增大而增大
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11．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ݔെ͸ 与ݔ轴交于ܣെ͵,Ͳ ,ܤ两点，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ
B．抛物线的顶点坐标为െ
ͳ
ʹ , െ͸
C．ܣ,ܤ两点之间的距离为5
D．当ݔ< Ͳ 时，ݕ的值随ݔ值的增大而减小
12．对于题目“一段抛物线ܮǣݕ=െݔݔെ͵ +ܿ
Ͳ ൑ݔ൑͵ 与直线݈ǣݕ= ݔ+ ʹ 有唯一公共点，若c 为整数，
确定所有c 的值，”甲的结果是ܿ
= ͷ，乙的结果是ܿ
= ͵ 或4，则（
）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
13．关于抛物线ݕ= ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ + 数െͳ(数是常数)，以下结论中错误的是()
A．抛物线的顶点在一条定直线上运动
B．若点ܣ数െʹ,ݕͳ ，ܤ数+ ͳ,ݕʹ 在抛物线上，则ݕͳ > ݕʹ
C．无论数为何值，抛物线的顶点到直线ݕ= ݔ的距离都等于Ͷ ʹ
D．若数= ʹ，݇
是抛物线与ݔ轴交点的横坐标，则݇
Ͷ݇
ͳ+݇͸െͳʹ݇Ͷ+Ͷ݇ʹ+ͳ͸的值为
ͳ
ʹͲͲ
14．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
> Ͳ 的对称轴是直线ݔ= ͳ，抛物线与ݔ轴交于点数,Ͳ ，݊,Ͳ ，其中Ͳ <݊
< ͳ．下列结论中错误的是（
）
A．ͳ < 数< ʹ
B．若关于ݔ的方程ܽ
ݔെ数
ݔെ݊
=െͳ 有实数根，则ܾʹ െͶܽܿ
൒Ͷܽ
C．ܾ+ ʹܿ> Ͳ
D．不等式ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
<െܿ数ݔ+ܿ
的解集是Ͳ < ݔ< 数
二、填空题
1．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ͳ 与x 轴没有交点，请写出一个符合条件的a 的值为________．
2．二次函数ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 与ݔ轴交于െܽ
,Ͳ ，则ܽ
的值为______．
3．若二次函数ݕ= ʹݔʹ + ݔെͳ 与x 轴的交点分别为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，则ݔͳ + ݔʹ =______．
4．已知二次函数ݕ= ݔʹ െͷݔ+݇
（݇
为常数）的图象与ݔ轴的两个交点为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，若ݔͳ = ͵，则ݔʹ
的值是__________
5．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的ݕ与ݔ的部分对应值如下表：
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ݔ
ڮ
െʹ
0
2
4
5
ڮ
ݕ
ڮ
7
െͷ
െͻ
െͷ
0
ڮ
则关于ݔ的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的解为_____．
6．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的对称轴是直线ݔ= ͳ，与ݔ轴交于ܣ、ܤ两点，若ܤ点坐标是െͶ,Ͳ ，
则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根是_____．
7．抛物线ݕ= ݔʹ + 数ݔ+ 数െʹ 与x 轴交于A，B 两点，且ܣܤ=
ͷ，则m 的值为_______．
8．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 为常数，ܽ
< Ͳ）经过ܣʹ,Ͳ ，ܤെͶ,Ͳ 两点，下列四个结论：
①一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的根为ݔͳ = ʹ，ݔʹ =െͶ；
②若点ܥെͷ,ݕͳ ，ܦπ,ݕʹ 在该抛物线上，则ݕͳ < ݕʹ；
③对于任意实数t，总有ܽ
ݐʹ +ܾݐ൑ܽ
െܾ；
④若一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ݌（p 为常数）有两实数根m，n，则数+݊
=െʹ．
其中正确的结论是_________．（填序号）
9．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 是常数，ܽ
> Ͳ）经过െʹ,Ͳ ，数,Ͳ 两点，且ʹ < 数< ͵．下列五个
结论：
①ܾ
< Ͳ；
②Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
> Ͳ；
③若抛物线经过点െͳ, െͳ ，则ܽ
>
ͳ
͵；
④关于x 的不等式ʹܽݔʹ + ʹܾݔ<ܿݔ的解集为െʹ < ݔ< Ͳ；
⑤点ܣݔͳ,ݕͳ ，ܤݔʹ,ݕʹ 在抛物线上，若ݔͳ + ݔʹ >
ͳ
͵，ݔͳ < ݔʹ，总有ݕͳ < ݕʹ，则ʹ < 数൑
㈱
͵．
其中正确的结论是__________（填写序号）．
10．抛物线ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的部分图象如图，对称轴为直线ݔ= െͳ，直线ݕʹ =݇
ݔ+ܿ
与抛物线都经过点
െ͵,Ͳ ．下列说法：①ܾܽ
> Ͳ；②Ͷܽ+ܿ
> Ͳ；③关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根为ݔͳ =െ͵，
ݔʹ = ͳ；④当ݔ= ͳ 时，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾ
െ݇
ݔ有最大值．其中正确的有_______．
11．如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线ݕ=െݔʹ + ͶݔͲ ൑ݔ൑Ͷ ，记为L，它与x 轴交于点O，M．第
1 次：将L 向右平移d（݀
> Ͳ）个单位长度，得到ܮͳ，与x 轴交于点Rͳ，ܯͳ；第2 次：将ܮͳ向右平移d 个
单位长度，得到ܮʹ，与x 轴交于点Rʹ，ܯʹ；……每次将前一段抛物线向右平移d 个单位长度，直至第n 次，
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得到ܮ݊，与x 轴交于点R݊，ܯ݊．已知ܯ݊
ͳͷ,Ͳ ，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n 的值是
________．
三、解答题
1．用描点法画函数ݕ=െݔʹ + ʹ 的图象，并完成下列问题：
(1)求曲线与x 轴、y 轴交点坐标；
(2)根据图象分析，y 随x 变化而变化的情况．
x
0
1
െͳ
2
െʹ
y
2
1
1
െʹ
െʹ
2．已知二次函数：ݕ= ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ െͳ
(1)求证：该二次函数的图象与ݔ轴总有两个不同的交点；
(2)若该二次函数的图象与ݔ轴交于ܣ、ܤ两点，与ݕ轴交于点ܥ，且ᇞܣܤܥ的面积为Ͷ，求数的值．
3．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式݄
=݀
െͲǤͲͳ݀ʹ
来估计．
(1)当球的水平距离达到60 米时，球上升的高度是多少？
(2)当球的高度第一次达到21 米时，球的水平距离是多少？
4．如图，二次函数ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且关于直线ݔ= ͳ 对
称，点A 的坐标为െͳ,Ͳ ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当ݕ< Ͳ 时，写出x 的取值范围．
5．如图1，一小球从地面R 点处抛出，到达最高处ܲ
点后，再重新落回地面至ܳ
点，球的抛出路线可以用
二次函数ݕ=െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ刻画．
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(1)求小球到达最高点ܲ
的坐标，以及小球落回地面点ܳ
的坐标；
(2)如图2，若点R 处有一斜坡，可以用一次函数ݕ=
ͳ
ʹ ݔ刻画．小球从R 点处抛出，其抛出路线不变，小球
落到斜坡上的ܣ点，求出点ܣ的坐标．
6．如图，二次函数ݕ= ݔʹ െ݇
െͳ ݔ+ Ͷ 的图象与ݕ轴交于点ܣ，与ݔ轴的正半轴交于点ܤ，且ᇞܣRܤ的
面积为6．
(1)直接写出ܣ、ܤ两点的坐标；
(2)求该二次函数的表达式．
7．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔെ݇
ʹ（k 为常数）．
(1)求证：无论k 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与x 轴的一个交点的横坐标为െͳ，求出k 的值及另一个交点的坐标．
8．已知抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ（b，c 为常数）过点ͳ, െͶ ．
(1)若该抛物线与y 轴交于点Ͳ, െ͵ ．
①求该抛物线的解析式及顶点坐标；
②已知ܣെ数+ ͵,ݕͳ ，ܤʹ,ݕʹ 在该抛物线上，当ݕͳ > ݕʹ时，求m 的取值范围；
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标的和为3，直线ݕ= ݔ+݊
在第四象限内有两个交点，请直接写出
n 的取值范围．
9．已知函数ݕ= ݔʹ െ数ݔ+ 数െʹ．
(1)求证：不论数为何实数，此二次函数的图象与ݔ轴都有两个不同的交点；
(2)若数= ʹ，求函数与ݔ轴的交点坐标．
10．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条
抛物线，已知跳板ܣܤ长为2 米，跳板距水面ܥܦ的高为3 米，训练时跳水曲线在离起跳点ܣ水平距离1 米
时达到距水面最大高度݄
米，现以ܥܦ为横轴，ܤܥ为纵轴建立直角坐标系．
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(1)画出平面直角坐标系，并求当݄
= Ͷ 时，这条抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点ܥ的距离；
(3)图中ܥܧ= ͷ 米，ܥܨ= ͸ 米，若跳水运动员在区域ܧܨ内（不含点ܧ，ܨ）入水时才能达到训练要求，直
接写出݄
的取值范围是__________．
11．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔെͳ
ݔെ͵ +ܽ
ʹ（ܽ
为常数，ܽ
≠Ͳ），顶点坐标为数,݊
．
(1)当݊
= Ͳ 时，ܽ
= ；
(2)当ܽ
< Ͳ 时，
①求证：二次函数的图像与ݔ轴总有两个公共点；
②若二次函数图像与ݔ轴的交点都在ݕ轴的右侧，则݊
的取值范围为．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ(ܽ
> Ͳ)与正比例函数ݕ=݇
ݔ的图象都经过点ܲ
ʹ, െ
ʹ ，点A 为二次函数图象上点O 与点P 之间的一点，过点A 作x 轴的垂线，交Rܲ
于点M，交x 轴于点N．
(1)若点P 为该二次函数图象的顶点．
①求二次函数的表达式；
②求线段ܣܯ长度的最大值．
(2)若该二次函数的图象与x 轴的另一个交点为ܤ数,Ͳ ，且数> ͷ，请直接写出a 的取值范围．
13．2025 赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速
安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球
迷数ݕ（人）随时间ݔ（分钟）变化的图象（图象ܣܤܥ段为抛物线，ܥܦ段与ݔ轴重合，ݔ= Ͳ 对应ͳͷǣͲͲ）．请
根据图象回答：
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(1)ͳͷǣ͵Ͳ 时，等待安检的球迷有多少人；
(2)当Ͳ ൑ݔ൑͵Ͳ 时，求等待人数y 与x 的函数关系式；
(3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？
14．已知抛物线ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܿ(ܾ> Ͳ)与x 轴交点的坐标分别为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，且ݔͳ < ݔʹ．
(1)若抛物线ݕͳ = ݔʹ െܾݔ+ܿ
െͳ(ܾ> Ͳ)与x 轴交点的坐标分别为ݔ͵,Ͳ ，ݔͶ,Ͳ ，且ݔ͵ < ݔͶ．试判断下列每
组数据的大小（填写<、=或>）：
①ݔͳ + ݔʹ________ݔ͵ + ݔͶ；②ݔͳ െݔ͵________ݔʹ െݔͶ；③ݔʹ + ݔ͵________ݔͳ + ݔͶ．
(2)若ݔͳ = ͳ，ʹ < ݔʹ < ͵，求b 的取值范围；
(3)当Ͳ ൑ݔ൑ͳ 时，ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܿ(ܾ> Ͳ)最大值与最小值的差为
ͻ
ͳ͸，求b 的值．
15．抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
经过点ܣെܾ,Ͳ ．
(1)求c 的值；
(2)已知B 是x 轴上方的抛物线上一点，ܤܪ٣ ݔ轴，垂足为H，且סRܤܪ= סܤܣR．
①求证：Rܪ൉ܣܪ为定值；
②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得ᇞܣRܤ，ᇞܣRܥ，ᇞܣRܦ的面积相等，求该抛物线
的函数表达式．
16．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点ܣ处的正上方，假设每次发出的乒乓球
的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点ܣ的水平距离为ݔ（米），与桌
面的高度为ݕ（米），运行时间为ݐ（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
ݐ（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
ݔ（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
ݕ（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
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(1)探究ݔ与ݐ，ݕ与ݔ之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出ݔ关于ݐ的函数解析式和ݕ关
于ݔ的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？
(3)球网高度为0.14 米，球桌长（ͳǤͶ ൈʹ）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状
相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛
物线顶点的横坐标．
17．某校数学小组开展以“10 米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动．
研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力．
建立方法：以水面所在直线为x 轴，跳台最前端点A 垂直水面的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标
系．
收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度ݕm 与水平距离ݔm 的对应值如下表：
水平距离
ݔm
0
1
1.1
1.2
1.5
…
高度ݕm
10
10
9.78
9.52
8.5
…
②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线ݕ=െʹݔʹ +ܾݔ+ܿ
的一部分．
③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为݇
m 且݇
൑ͳͳǤͷ．从达到最高点开始计时，他的重
心相对水面的高度݄
m 与时间ݐs 之间满足݄
=െͷݐʹ +݇．
建立模型
(1)求y 与x 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
应用模型
(2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为ͷǤͷm 所用的时间；
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(3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度ݕm 与水平距离ݔm 的关系为ݕ=݊
ݔʹ െ݊
ݔ+ ͳͲ(݊
< Ͳ)．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要ͳǤͷs 完成某个动作，求n 的取值范围．