专题5.4 三角函数的图象与性质（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）】.................................................................................................1
【题型2 三角函数的图象识别与交点问题】.........................................................................................................3
【题型3 三角函数图象变换问题】..........................................................................................................................6
【题型4 由部分图象求函数的解析式】..................................................................................................................8
【题型5 三角函数的单调性问题】........................................................................................................................11
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】...........................................................................14
【题型7 三角函数的零点问题】............................................................................................................................16
【题型8 三角函数与三角恒等变换的综合应用】...............................................................................................18
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）】
1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数f (x)=2cos(
π
6 −2 x)，则函数f (x)在[−π
12 ,π
2 ]上的值域为
（ ）
A．[−√3,1]
B．[−√3,2]
C．[−1,2]
D．[−2,2]
【答案】B
【解题思路】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域.
【解答过程】因为x∈[−π
12 ,π
2 ]，所以π
6 −2 x∈[−5π
6 ,π
3 ]，则cos(
π
6 −2 x)∈[−√3
2 ,1]，
1
所以f (x)=2cos(
π
6 −2 x)∈[−√3,2].
故选：B.
2．（2025·山西·模拟预测）设函数f (x)=sin2 x在区间[
π
6 , 7π
12 ]的最小值和最大值分别为m和M，则
M −m=（ ）
A．2
B．3
2
C．2−√3
2
D．1+√3
2
【答案】B
【解题思路】由正弦函数的性质，即可得到结果.
【解答过程】若x∈[
π
6 , 7π
12 ]，则2 x∈[
π
3 , 7π
6 ]，
由正弦函数的性质可知，
当2 x = 7
6 π时，函数取得最小值，即m=−1
2，
当2 x =π
2 时，函数取得最大值，即M =1，
所以M −m= 3
2.
故选：B.
3．（24-25 高一上·全国·课后作业）函数f (x)=−cos(x +π
6 ), x∈[−π
3 , 2π
3 ]的值域为（ ）
A．[−1
2 , 1
2]
B．[−√3
2 , 1
2]
C．[−1, √3
2 ]
D．[−1
2 ,1]
【答案】C
【解题思路】首先求x +π
6 的范围，再根据余弦函数的性质求值域.
【解答过程】因为x∈[−π
3 , 2π
3 ]，所以x +π
6 ∈[−π
6 , 5π
6 ]，则cos(x + π
6)∈[−√3
2 ,1]，
故f (x)的值域为[−1, √3
2 ]．
故选：C.
2
4．（2025·河南·二模）若函数f (x)=sin ωx (ω>0)在区间(π,2π)内没有最小值，则ω的取值范围为
（ ）
A．(0, 1
2]∪[
3
2 , 5
3]
B．(0, 2
3]∪[
4
3 ,2] C．(0, 1
4]∪[
1
2 , 3
4]
D．
(0, 3
4]∪[
3
2 , 7
4]
【答案】D
【解题思路】由题设y =sin t在(ωπ,2ωπ)上没有最小值，结合正弦函数图象的性质列不等式求参数范
围.
【解答过程】由x∈(π,2π)，则t =ωx ∈(ωπ,2ωπ)且ω>0，
所以y =sint在(ωπ,2ωπ)上没有最小值，
若0<ωπ<2ωπ≤3π
2 ，可得0<ω≤3
4 ，
若3π
2 +2k π≤ωπ<2ωπ≤7π
2 +2k π且k ∈N，可得3
2 +2k ≤ω≤7
4 +k，k ∈N，
所以3
2 ≤ω≤7
4 ，
综上，ω∈(0, 3
4]∪[
3
2 , 7
4].
故选：D.
【题型2 三角函数的图象识别与交点问题】
5．（2025·江苏扬州·三模）当x∈[0,2π]时，曲线y =sin 2 x与y =2sin(2 x−π
4 )的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解题思路】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【解答过程】作y =sin2 x图像，列表：
2 x
0
π
2
π
3π
2
2π 5π
2
3π
7π
2
4π
x
0
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
3π
2
7π
4
2π
sin2 x 0
1
0
−1
0
1
0
−1
0
3
作y =2sin(2 x−π
4 )图像，列表：
2 x−π
4
−π
4
0
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
7π
2
15π
4
x
0
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
9π
8
11π
8
13π
8
15π
8
2π
2sin(2 x−π
4 −√2
0
2
0
−2
0
2
0
−2
−√2
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在[0,2π]上有4 个交点.
故选：B.
6．（2025·天津和平·三模）函数f (x)=−x +(e
x+e
−x)sin x在区间[−3.2,3.2]的图象大致为（ ）
A．
B．
4
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解.
【解答过程】由于f (−x)= x +(e
−x+e
x)sin(−x)=−[−x +(e
x+e
−x)sin x]=−f (x)，
故f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD,
又∵sin3.2<0,∴f (3.2)=−3.2+(e
3.2+e
−3.2)sin3.2<0，故排除B，
故选：A.
7．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线y =2cos(2 x +π
2 )与直线y = x−1的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解题思路】作出y =2cos(2 x +π
2 )与y = x−1的大致图象，由图象即可判断交点个数.
【解答过程】2cos[2×(−3π
4 )+π
2 ]=−2>−3π
4 −1，2cos(2×3π
4 +π
2 )=2>3π
4 −1，
2cos(2×7π
4 +π
2 )=2<7π
4 −1，
作出y =2cos(2 x +π
2 )与y = x−1的大致图象，易知共有3 个交点.
故选：A.
8．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数f (x)= 5 xcos x
e|x|
+sin x的大致图象为（ ）
5
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C，再由当x∈(0,π
2 )时，f (x)>0排除A，B，即可求解.
【解答过程】由题意，函数f (x)= 5 xcos x
e|x|
+sin x的定义域为(−∞,+∞)，关于原点对称，
且f (−x)= 5(−x)cos(−x)
e|−x|
+sin(−x)= −5 xcos x
e|x|
−sin x =−f (x)所以函数f (x)是奇函数，其图象关于
原点中心对称，排除C；
又由当x∈(0,π
2 )时，f (x)>0排除A，B;
故选：D．
【题型3 三角函数图象变换问题】
9．（2025·广东广州·模拟预测）将函数f (x)=sin(4 x +π
3 )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍
（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π
6 个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）
A．y =sin(2 x +π
3 )
B．y =cos2 x
C．y =sin(2 x + 2π
3 ) D．
y =−sin 8 x
【答案】C
【解题思路】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解.
【解答过程】函数f (x)=sin(4 x +π
3 )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
6
得到图象对应的函数解析式为y =sin(
1
2 ×4 x +π
3 )=sin(2 x +π
3 )，
再将所得图象向左平移π
6 个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为
y =sin[2(x +π
6 )+π
3 ]=sin(2 x +2π
3 ).
故选：C．
10．（2025·河北石家庄·三模）将函数f (x)=sin(2 x +π
3 )+3的图象向右平移π
12个单位长度，得到函数
g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是（ ）
A．(−π
12 ,3)
B．(−π
12 ,0)
C．(
π
6 ,3)
D．(
π
6 ,0)
【答案】A
【解题思路】根据乳香的平移变换可得函数g(x)的解析式，利用整体代换法即可求解函数g(x)图象的对称
中心.
【解答过程】由题知g(x)= f(x−π
12)=sin[2(x−π
12)+π
3 ]+3=sin(2 x +π
6 )+3.
令2 x +π
6 =k π,k ∈Z，解得x =−π
12 + k π
2 ,k ∈Z，∴函数g(x)图象的对称中心
(−π
12 + k π
2 ,3),k ∈Z.
∴当k =0时，(−π
12 ,3)为函数g(x)图象的一个对称中心.
故选：A.
11．（2025·湖南永州·模拟预测）2025 年“九·三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由
简谐振动表示为f (x)=cos(2 x +π
6 ).将函数f (x)的图象上所有点向右平移π
6 个单位长度，可得到函数
g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)=cos2 x
B．g(x)=cos(2 x +π
3 )
C．g(x)=cos(2 x−π
6 )
D．g(x)=−sin 2 x
7
【答案】C
【解题思路】根据函数的平移求解即可.
【解答过程】由题意，可得g(x)=cos[2(x−π
6 )+π
6 ]=cos(2 x−π
6 ).
故选：C.
12．（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数f (x)=sin(
π
2 x +φ)(|φ|≤π
4 )，将y = f (x)图象上所有的点向左平
移2
3个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．y = f (x)在(0,1)上为增函数
B．φ =π
8
C．y = f (x)在(−1,2)上有两个零点
D．y = f (x)在(−1,2)上有无数个零点
【答案】C
【解题思路】通过平移后的对称性确定φ =π
6 ，进而得到f (x)=sin(
π
2 x +π
6 )，再结合选项逐个判断即
可.
【解答过程】f (x)=sin(
π
2 x +φ)向左平移2
3个单位长度可得：g(x)=sin(
π
2 x +π
3 +φ)，
因为得到的曲线关于y轴对称，
所以π
3 +φ=π
2 +k π，(k ∈Z)，又|φ|≤π
4 ，
所以取k =0，可得φ=π
6 ，B 错，
所以f (x)=sin(
π
2 x +π
6 )，
对于A：因为f(
2
3)=sin(
π
2 × 2
3 +π
6 )=sinπ
2 =1，
所以f (x)的图象关于x = 2
3对称，所以f (x)在(0,1)上不单调，A 错误；
对于C，由π
2 x +π
6 =k π得函数f (x)的零点为x =2k −1
3 ,k ∈Z，
8
令−1<2k −1
3 <2，解得−1
3 <k < 7
6，
所以k =0,1，即f (x)在(−1,2)上有两个零点，C 正确；D 错误，
故选：C.
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
13．（2025·山西·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，A，B
分别是相邻的最高点与最低点，直线AB 的方程为y =−2 x +10，则f (x)=（ ）
A．3cos(
π x
4 +π
4 )
B．3cos(
π x
3 + 5π
6 )
C．−3cosπ x
2
D．3cos(
π x
3 + 7π
6 )
【答案】B
【解题思路】由题意可得A ,B的坐标，即可得到函数周期，从而可得ω，再将点A的坐标代入，即可得到
φ.
【解答过程】因为A是最高点，所以y A =3，将y =3代入直线方程y =−2 x +10，可得x = 7
2，
所以A(
7
2 ,3)，
因为B是最低点，所以yB=−3，将y =−3代入直线方程y =−2 x +10，可得x = 13
2 ，
所以B(
13
2 ,−3)，
则T =2(
13
2 −7
2)=2×3=6，则ω= 2π
T
= 2π
6 =π
3 ，
所以f (x)=3cos(
π
3 x +φ)，
将A(
7
2 ,3)代入f (x)=3cos(
π
3 x +φ)，可得3=3cos(
π
3 × 7
2 +φ)，
9
即cos(
7
6 π+φ)=1，所以7
6 π+φ=2k π,k ∈Z，解得φ=−7
6 π+2k π,k ∈Z，
又0<φ<2π，当k =1时，φ= 5
6 π，
所以f (x)=3cos(
π x
3 + 5π
6 ).
故选：B.
14．（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,|φ|<π)来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f ( x)的图象关于点(
π
6
,0)成中心对称
B．函数f ( x)的解析式可以为f ( x)=2cos(2 x−2π
3 )
C．函数f ( x)在[0,π]上的值域为[0,2]
D．若把f ( x)图象上所有点向右平移π
12 个单位，则所得函数是y =2sin(2 x +π
12)
【答案】B
【解题思路】利用图像求出函数f (x)的解析式，对于A 代入解析式即可判断，对于B 利用诱导公式即可判
断，对于C 利用x∈[0,π]，得2 x−π
6 ∈[−π
6 , 11π
6 ]，即可求得f (x)的值域，进而即可判断，对于
D 利用图象的变换即可判断.
【解答过程】由图可知A =2, 3T
4 = 3
4 ⋅2π
ω = 3π
2ω =13π
12
−π
3
=3π
4
，所以T =π,ω=2，
且2×π
3
+φ=π
2
+2k π,k ∈Z，所以φ=−π
6
+2k π,k ∈Z，
又因为|φ|<π，所以只能k =0,φ=−π
6
，所以f ( x)=2sin(2 x−π
6 )，
对于A， f(
π
6 )=2sin(
π
3 −π
6 )=2sinπ
6
=1≠0，故A 错误；
10
对于B．f ( x)=2sin(2 x−π
6 )=2cos[
π
2 −(2 x−π
6 )]=2cos(
2π
3
−2 x)=2cos(2 x−2π
3 )，故B 正
确；
对于C， 0≤x ≤π⇒−π
6 ≤2 x−π
6 ≤11π
6
⇒−1≤sin(2 x−π
6 )≤1⇒f (x)∈[−2,2]，故C 错误；
对于D，若把f ( x)图象上所有点右平移π
12 个单位，则所得函数是
y =2sin[2⋅(x−π
12)−π
6 ]=2sin(2 x−5π
12 )，故D 错误．
故选：B.
15．（2025·陕西咸阳·二模）已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)（A >0，ω>0）的部分图象如图所示，则
f(
2025π
2 )=（ ）
A．1
B．−1
C．√3
D．−√3
【答案】D
【解题思路】根据图象，依次求出A ,ω,φ，得到函数的解析式，代值计算即可.
【解答过程】由图易知A =2，函数的最小正周期T满足：3T
4 = 13π
12 −π
3 = 3π
4 ，得到T =π，
又ω>0，所以2π
ω =π，解得ω=2，
又函数图象经过点( 13 π
12 ,2)，则有2× 13π
12 +φ =π
2 +2k π,k ∈Z，解得φ=−5π
3 +2k π,k ∈Z，
所以f (x)=2sin(2 x−5π
3 )，则f(
2025π
2 )=2sin(2025π−5π
3 )=−√3，
故选：D.
16．（2025·四川自贡·三模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，
11
下列说法正确的是（ ）
A．函数y = f (x)的图象关于直线x =−π
6 对称
B．函数y = f (x)的图象关于点(−5π
12 ,0)对称
C．函数y = f (x)在[−2π
3 ,−π
6 ]上单调递减
D．当x∈[0,π
4 ]时，f (x)∈[1,2]
【答案】D
【解题思路】根据函数图象，求出函数f ( x)的解析式，代入检验法可判断AB；根据正弦函数的单调性可
判断C，根据三角函数的值域可判断D.
【解答过程】由图知A =2，T
4 =π
3 −π
12 =π
4 ，
所以T = 2π
|ω| =π，解得ω=2，
f ( x)过点(
π
12 ,2)，所以2sin(2×π
12 +φ)=2，
即sin(π
6 +φ)=1，又|φ|<π
2 ，所以φ=π
3 ，
所以f ( x)=2sin(2 x +π
3 )，
对于A：f (−π
6 )=2sin(−π
3 +π
3 )=0，
所以函数y = f (x)的图象关于点(−π
6 ,0)对称，故A错误；
对于B：f (−5π
12 )=2sin(−5π
6 +π
3 )=−2，
12
所以函数y = f (x)的图象关于直线x =−5π
12 对称，故B错误；
对于C：π
2 +2k π≤2 x +π
3 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，
π
6 +2k π≤2 x ≤7π
6 +2k π,k ∈Z，
所以π
12 + k π≤x ≤7π
12 + k π,k ∈Z，
取k =−1，得−11π
12 ≤x ≤−5π
12 ，
函数y = f (x)在[−2π
3 ,−5π
12 ]上单调递减，故C错误；
对于D：x∈[0,π
4 ]，所以2 x∈[0,π
2 ]，所以2 x +π
3 ∈[
π
3 ,5π
6 ]，
所以sin(2 x +π
3 )∈[
1
2 ,1]，所以f ( x)∈[1,2]，故D正确.
故选：D.
【题型5 三角函数的单调性问题】
17．（2025·内蒙古包头·二模）已知f (x)=sin(ωx +π
6 )(ω>0)在[−π
6 ,π
4 ]上单调递增，则ω的取值范
围是（ ）
A．(0, 2
3]
B．(0, 4
3]
C．[
2
3 , 4
3]
D．[
4
3 ,2]
【答案】B
【解题思路】先根据题意求出0<ω≤12
5 ，再根据−π
6 ≤x ≤π
4 求出
−π
6 ω+π
6 ≤ωx +π
6 ≤π
4 ω+π
6 ，再根据ω的范围约束出−π
6 ω+π
6 和π
4 ω+π
6 范围，最后结合正弦
函数图象即可求出ω的范围.
【解答过程】由题意可知π
4 −(−π
6 )≤π
ω ，则0<ω≤12
5 ，
因−π
6 ≤x ≤π
4 ，则−π
6 ω+π
6 ≤ωx +π
6 ≤π
4 ω+π
6 ，
则−7π
30 ≤−π
6 ω+π
6 <π
6 ，π
6 <π
4 ω+π
6 ≤23π
30 ，
13
因f (x)在[−π
6 ,π
4 ]上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得π
6 <π
4 ω+π
6 ≤π
2 ，解得0<ω≤4
3 ，
故ω的取值范围是(0, 4
3].
故选：B.
18．（2025·山东·三模）已知函数f ( x)=sin
2 x−cos
2 x，则（ ）
A．f ( x)在(−π
2 ,π
6 )上单调递减
B．f ( x)在(−π
4 ,π
12 )上单调递减
C．f ( x)在(0,π
3 )上单调递增
D．f ( x)在(π
4 , 7π
12 )上单调递减
【答案】C
【解题思路】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐项分析判断.
【解答过程】依题意，函数f ( x)=−cos2 x，
对于A，因为f (0)=−cos0=−1，f (π
12 )=−cosπ
6 =−√3
2 ，则f (0)<f (π
12 )，
所以f ( x)在(−π
2 ,π
6 )上不是单调递减函数，A 错误；
对于B，因为f (0)=−cos0=−1，f (π
24 )=−cosπ
12 >−1，则f (0)<f (π
24 )，
所以f ( x)在(−π
4 ,π
12 )上不是单调递减函数，B 错误；
对于C，当x∈(0,π
3 )时，2 x∈(0,2π
3 )，余弦函数y =cos x在(0,2π
3 )上单调递减，
因此f ( x)在(0,π
3 )上单调递增，C 正确；
对于D，因为f (π
3 )=−cos2π
3 = 1
2，f (π
2 )=−cosπ=1，则f (π
3 )<f (π
2 )，
14
所以f ( x)在(π
4 , 7π
12 )上不是单调递减函数，D 错误.
故选：C.
19．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)=2cos(ωx + 10π
3 )(ω>0)在区间(
2π
3 , 5π
3 )内单调递增，
则ω的最大值为（ ）
A．2
5
B．2
C．3
5
D．5
3
【答案】A
【解题思路】根据余弦函数单调性计算求解参数即可得出最大值.
【解答过程】由题f (x)=−2cos(ωx +π
3 )，
因为f (x)在区间(
2π
3 , 5π
3 )内单调递增，
所以y =2cos(ωx +π
3 )(ω>0)在区间(
2π
3 , 5π
3 )内单调递减，
所以¿，k ∈Z，
解得3k −1
2 ≤ω≤6
5 k + 2
5，k ∈Z，
又ω>0，所以只有当k =0时，不等式有解，解集为¿，
所以ω的最大值为2
5.
故选:A.
20．（2025·全国·模拟预测）将函数y =sin (2 x +φ)(0<φ<π)的图象向左平移π
6 个单位长度，得到函数
y = f (x)的图象，直线x =π
4 为y = f (x)的图象的一条对称轴，则函数f (x)的一个单调递增区间是（ ）
A．(−π
4 ,π
4 )
B．(−π
3 ,π
3 )
C．(0,π
2 )
D．(
π
3 , 3π
4 )
【答案】D
【解题思路】先求出f (x)，再利用对称轴求出φ = 2π
3 ，令π
2 +2mπ≤2 x ≤3π
2 +2mπ,m∈Z求出
f (x)的单调递增区间，再赋值即可.
15
【解答过程】由题意可得，f (x)=sin[2(x +π
6 )+φ]=sin(2 x +π
3 +φ)，
因为f (x)的图象关于直线x =π
4 对称，
所以f(
π
4 )=sin(
π
2 +π
3 +φ)=cos(
π
3 +φ)=±1，
则π
3 +φ =k π,k ∈Z，即φ =−π
3 + k π,k ∈Z，
又0<φ<π，所以φ= 2π
3 ，则f (x)=sin(2 x +π
3 + 2π
3 )=−sin 2 x，
令π
2 +2mπ≤2 x ≤3π
2 +2mπ,m∈Z，则π
4 +mπ≤x ≤3π
4 +mπ,m∈Z，
则f (x)的单调递增区间为[
π
4 +mπ,3π
4 +mπ],m∈Z，
当m=0时，f (x)的一个单调递增区间是[
π
4 ,3π
4 ]，故D 选项正确；
当m=−1时，f (x)的一个单调递增区间是[−3π
4 ,−π
4 ]，
由于−1和0之间无其他整数，故A，B，C 选项错误.
故选：D．
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
21．（2025·湖南·模拟预测）已知函数f ( x)=sin(ωx −π
3 )(ω>0)的最小正周期为T，且π
2 <T < 3π
2 ，
函数y = f(x + π
6)为奇函数，则f(
π
4 )=（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．√3
2 −1
D．3
2
【答案】B
【解题思路】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可.
【解答过程】由π
2 <T < 3π
2 ⇒π
2 < 2π
ω < 3π
2 ⇒ 4
3 <ω<4，
因为函数y = f(x + π
6)= sin(ωx +πω
6
−π
3 )为奇函数，
16
所以有πω
6
−π
3 =k π⇒ω=2+6k(k ∈Z )，则ω=2，
所以f(
π
4 )=sin(2×π
4 −π
3 )=sinπ
6 = 1
2，
故选：B.
22．（2025·广东佛山·三模）将函数f (x)= 4 cos(2 x +π
3 )的图象向右平移π
3 个单位长度，得到函数g(x)
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x =π
12对称
C．g(x)在[−π
6 ，π
3 ]上的值域为[−2，4] D．g(x)在[0，π
2 ]上单调递增
【答案】C
【解题思路】首先根据平移规律求函数g(x)的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断
BCD.
【解答过程】由题意知g(x)= 4cos(2 x−π
3 ),g(x)不是奇函数，故A 错误．
g(
π
12)= 4cos(−π
6 )=2√3≠± 4 , g(x)不关于直线x =π
12对称，故B 错误．
由x∈[−π
6 ,π
3 ]，得2 x−π
3 ∈[−2π
3 ,π
3 ]，则4cos(2 x−π
3 )∈[−2,4]，故C 正确．
当x∈[0,π
2 ]时，2 x−π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 ]，而y =cos x在[−π
3 , 2π
3 ]上不单调，
所以g(x)在[0,π
2 ]上不单调，故D 错误．
故选：C.
23．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数f ( x)=sin(2ωx−π
6 )+b(ω>0)的最小正周期为T，且
2π
3 <T < 3π
2 ，函数y = f ( x +π
12 )+1为奇函数，则f (π
4 )=（ ）
A．1
2
B．√3
2 −1
C．√3
2 +1
D．3
2
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用周期可得2
3 <ω< 3
2，再利用奇函数的性质求出b,ω，进而求出函数值.
17
【解答过程】依题意，f ( x +π
12 )+1=sin[2ωx +π
6 (ω−1)]+b+1，由y = f ( x +π
12 )+1为奇函数，
得b+1=0，且π
6 (ω−1)=k π,k ∈N，解得b=−1,ω=6k +1(k ∈N)，
由2π
3 <T < 3π
2 ，得2π
3 < 2π
2ω < 3π
2 ，解得2
3 <ω< 3
2，因此ω=1，f ( x)=sin(2 x−π
6 )−1，
所以f (π
4 )=sinπ
3 −1= √3
2 −1.
故选：B.
24．（2025·天津·模拟预测）已知函数f ( x)=2sin(ωx −π
6 )(ω>0)和
g( x)=3cos(2 x +φ)+1(|φ|<π
2 )的图象的对称轴完全相同，令h( x)=sin(ωx −φ)，则下列结论错误
的是（ ）
A．h(x)的一个周期为−2π
B．h(x)的图象关于直线x = 5π
12 对称
C．h( x +π)的一个零点为x =π
6
D．h(x)在(
π
2 ,π)单调递减
【答案】D
【解题思路】根据已知及正余弦函数的对称性得到ω=2、φ=π
3 ，进而有h( x)=sin(2 x−π
3 )，再由正
弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案.
【解答过程】令ωx −π
6 =π
2 + k π,k ∈Z，则x =2π
3ω + k π
ω ,k ∈Z为f ( x)的对称轴方程，
令2 x +φ =mπ,m∈Z，则x = mπ
2
−φ
2 ,m∈Z为g( x)的对称轴方程，
由f ( x)与g( x)的对称轴完全相同，则ω=2，即对称轴为x =π
3 + k π
2 = mπ
2
−φ
2 ,k ,m∈Z，
所以(m−k )π
2
=π
3 + φ
2 ,k ,m∈Z且|φ|<π
2 ，则φ =π
3 ，
所以h( x)=sin(2 x−π
3 )，其最小正周期T =π，故−2π也是一个周期，A 对；
h( 5π
12 )=sin( 5π
6 −π
3 )=1，故h(x)的图象关于直线x = 5π
12 对称，B 对；
18
h( x +π)=sin(2 x +2π−π
3 )=sin(2 x−π
3 )，当x =π
6 有sin(2×π
6 −π
3 )=0，
所以h( x +π)的一个零点为x =π
6 ，C 对；
x∈(
π
2 ,π)，则2 x−π
3 ∈(2π
3 ,5π
3 )，显然h( x)=sin(2 x−π
3 )在给定区间内不单调，D 错.
故选：D.
【题型7 三角函数的零点问题】
25．（2025·浙江·三模）若函数f (x)=2cos(ωx +φ)（ω>0，0<φ<π
2 ）的最小正周期为π，其图象的一
条对称轴的方程为x =π
3 ，则函数f (x)在[−π,π]上的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】根据余弦型函数的周期及对称轴的求法求出ω,φ的值，再根据零点的定义及取值范围求出零
点的值从而确定零点的个数.
【解答过程】由题2π
ω =π，得ω=2，
又2×π
3 +φ=k π，k ∈Z，得φ =k π−2π
3 ，k ∈Z，
因为0<φ<π
2 ，所以φ=π
3 ，
令f (x)=0得2 x +π
3 =k π+π
2 ，k ∈Z，即x = k π
2 +π
12，k ∈Z，
当k =−2，−1，0，1 时，x =−11π
12 ，−5π
12 ，π
12，7π
12 ∈[−π,π]，
得f (x)在[−π,π]上有4 个零点．
故选：D.
26．（2025·青海西宁·模拟预测）设函数f ( x)=sin(ωx −π
6 )(ω>0)，若f ( x)在(0,π
2 )上有且只有2 个
零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(
7
3 ,3)
B．(
7
3 ,3]
C．(
7
3 , 13
3 )
D．(
7
3 , 13
3 ]
【答案】D
19
【解题思路】由x的取值范围，求出ωx −π
6 的范围，再根据正弦函数的图象性质解不等式即得.
【解答过程】因f (x)=sin(ωx −π
6 )(ω>0)，
由x∈(0,π
2 )，可得ωx −π
6 ∈(−π
6 ,π
2 ω−π
6 )，
因为f (x)在(0,π
2 )上有且只有2个零点，
由正弦函数的图象可知，需使π <π
2 ω−π
6 ≤2π，解得7
3 <ω≤13
3 .
故选：D.
27．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数f (x)=2sin(2 x +π
6 )+1，则函数f (x)在x∈(0,a)上恰有1 个
零点，则实数a的取值范围为
.
【答案】(
π
2 ,5π
6 ]
【解题思路】由题可得2 x +π
6 ∈(
π
6 ,2a+π
6 )，利用整体法结合三角函数的图象与性质即可求解.
【解答过程】因x∈(0,a)，则2 x +π
6 ∈(
π
6 ,2a+π
6 )，
若函数f (x)在x∈(0,a)上恰有1 个零点，则7π
6 <2a+π
6 ≤11π
6
⇒a∈(
π
2 ,5π
6 ]
故答案为：(
π
2 ,5π
6 ].
28．（2025·山西晋城·二模）已知函数f (x)=2cosωx −1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有4 个零点，则ω
的取值范围是
．
【答案】[
11
6 , 13
6 )
【解题思路】利用整体代换可得ωx ∈[0,2ωπ]，再利用数形结合将零点个数转化为函数图象交点个数，
解不等式可得结果.
【解答过程】令f (x)=2cosωx −1=0，得cosωx = 1
2．
又x∈[0,2π]，则ωx∈[0,2ωπ]．
令t =ωx∈[0,2ωπ]，因为函数f (x)在区间[0,2π]上有且仅有4 个零点，
20
所以y =cost的图象与直线y = 1
2在[0,2ωπ]上有且仅有4 个交点，
如下图所示：
由图可知11π
3
≤2ωπ< 13π
3
，解得11
6 ≤ω< 13
6 ，
即ω的取值范围是[
11
6 , 13
6 )．
故答案为：[
11
6 , 13
6 ).
【题型8 三角函数与三角恒等变换的综合应用】
29．（2025·天津·二模）已知函数f ( x)= 4 sin x cos x−4√3sin(x + π
4)sin(x−π
4)，x∈R，则下列描述
正确的是（ ）
A．f ( x)的最小正周期是π
2
B．f ( x)在(−5 π
12 ,0)上单调递增
C．x = π
3 是y = f ( x)的一条对称轴
D．f ( x)的最大值是4√3
【答案】B
【解题思路】运用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简f ( x)，逐一判断四个选项即可得到正确答案.
【解答过程】f ( x)= 4 sin x cos x−4√3sin(x + π
4)sin(x−π
4)
=2sin2 x−4√3× 1
2 (sin x +cos x)(sin x−cos x)
=2sin 2 x−2√3(sin
2 x−cos
2 x) =2sin 2 x +2√3cos2 x = 4 sin(2 x + π
3)，
对于A，f ( x)的最小正周期是2π
2 = π，故A 错误；
对于B，当x∈(−5 π
12 ,0)时，2 x + π
3 ∈(−π
2 , π
3)，
故f ( x)在(−5 π
12 ,0)上单调递增，故B 正确；
21
对于C，f(
π
3)= 4 sin(2× π
3 + π
3)=0，故C 错误；
对于D，f ( x)的最大值是4，故D 错误．
故选：B．
30．（2025·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=√3，
√3cos B+ 1
2 b=c．则b
c 的取值范围为（ ）
A．( 1
2 , 2)
B．( 1
2 ,+∞)
C．(0,2)
D．(√3,+∞)
【答案】A
【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A的值，结合角A的取值范围可得出角A的
值；再由△ABC为锐角三角形求出角C的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出b
c 的取值范围，
【解答过程】因为a=√3，√3cos B+ 1
2 b=c，则acos B+ 1
2 b=c，
由正弦定理得sin A cos B+ 1
2 sin B =sinC =sin ( A + B)，
sin A cos B+ 1
2 sin B =sin A cos B+cos A sin B，所以，cos A sin B = 1
2 sin B，
因为A、B∈(0,π
2 )，则sin B>0，
所以，cos A = 1
2，即A =π
3
．
在锐角△ABC中，由¿，可得π
6 <C <π
2 ，
则b
c = sin B
sinC =
sin(C +π
3 )
sinC
=
1
2 sinC + √3
2 cosC
sinC
= 1
2 +
√3
2tanC
，
又tanC > 1
√3，则0<
1
tanC <√3，
所以，b
c 的取值范围为(
1
2 ,2)，
故选：A.
31．（2025·四川攀枝花·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y = A sinωt，
22
我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f (x)=|sin x|+√3|cos x|
，则下列结论不正确的是（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在区间[0, π
2]上单调递增
D．f (x)的最小值为1
【答案】C
【解题思路】根据偶函数的定义判断A，根据周期函数的定义可判断B，利用辅助角公式结合正弦函数的
性质可判断C，由C 中函数的单调性结合函数的奇偶性、周期性可求f (x)的最小值，从而可判断D 的正误.
【解答过程】对于A，f (x)的定义域为R，它关于原点对称，
而∀x∈R，f (x)=|sin(−x)|+√3|cos(−x)|=|sin x|+√3|cos x|= f (x)，
所以f (x)是偶函数，故A 正确；
对于B，因为f (x +π)=|sin(x +π)|+√3|cos(x +π)|=|sin x|+√3|cos x|= f (x)，
故π为f (x)的一个周期，设T为f (x)的最小正周期，则0<T ≤π，
则f (x +T )=|sin(x +T )|+√3|cos(x +T )|= f (x)=|sin x|+√3|cos x|，
令x =0，则|sinT|+√3|cosT|=√3，即sinT +√3|cosT|=√3，
所以3cos
2T =(√3−sinT )
2，化简得4 sin
2T −2√3sinT =0，
故sinT =0或sinT = √3
2 .
令x = π
2 ，则|cosT|+√3|sinT|=1，若sinT = √3
2 ，则|cosT|+√3× √3
2 =1，
故|cosT|=−1
2，矛盾，故sinT =0，
而0<T ≤π，故T =π，故f (x)的最小正周期为π，故B 正确；
对于C，当x∈[0,π
2 ]时，f (x)=sin x +√3cos x =2sin(x +π
3 )，
此时x +π
3 ∈[
π
3 , 5π
6 ]，而y =sin t在[
π
3 ,π
2 ]为增函数，在[
π
2 ,5π
6 ]为减函数，
所以f (x)在区间[0,π
6 ]上单调递增，在[
π
6 ,π
2 ]上单调递减，故C 错误；
对于D，因为f (x)为偶函数且最小正周期为π，
23
故f (x)在[0,π
2 ]上的最小值即为f (x)在R上的最小值.
由C 分析中的f (x)的单调性可得f (x)在[0,π
2 ]上的最小值为min{f (0),f(
π
2 )}，
而f (0)=√3,f(
π
2 )=1，故f (x)在[0,π
2 ]上的最小值为1，
所以f (x)的最小值为1，故D 正确
故选：C.
32．（2025·天津北辰·三模）记max {a,b}为a,b中的较大值，则关于函数
f (x)= max{sin x +√3cos x ,sin x−√3cos x}有如下四个命题：
①f (x)的最小正周期为2π；
②f (x)的图象关于直线x = 3π
2 对称；
③f (x)的值域为[−2,2]；
④f (x)在区间(
π
6 ,π
4 )上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解题思路】利用辅助角公式化简函数，画出函数f (x)的图象，利用图象判断各个命题.
【解答过程】设g(x)=sin x +√3cos x =2sin( x +π
3 )，h(x)=sin x−√3cos x =2sin( x−π
3 )，
则f (x)=max {g(x),h(x)}=¿，
函数f (x)的图象如下所示：
对于①，由图知，函数f (x)的最小正周期为2π，①正确；
对于②，由图知，x = 3π
2 为函数f (x)的对称轴，②正确；
24
对于③，f (3π
2 )=−1,f (π
6 )=2，由图知，函数f (x)的值域为[−1,2]，③错误；
对于④，由图知，函数f (x)在区间(π
6 ,π
2 )上单调递减，④错误.
所以真命题的个数为2 个.
故选：B.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2026·辽宁大连·一模）函数f (x)=cos(2 x−π
3 )−1图象的一个对称中心是（ ）
A．(
π
6 ,0)
B．(
π
6 ,−1)
C．(
5π
12 ,0)
D．(
5π
12 ,−1)
【答案】D
【解题思路】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可.
【解答过程】已知f (x)=cos(2 x−π
3 )−1，余弦函数y =cos x的对称中心为(
π
2 +k π,0)，k ∈Z，
令2 x−π
3 = π
2 +k π，k ∈Z，解得x = k π
2 + 5 π
12 ，
则函数f (x)=cos(2 x−π
3 )−1的对称中心为(
k π
2 + 5 π
12 ,−1)，排除AC选项，
k =0时，k π
2 + 5 π
12 = 5 π
12 ，对应选项D，
对于B选项，当x = π
6 时，f ( π
6 )=cos (2⋅π
6 −π
3 )−1=0≠−1，
故点( π
6 ,−1)不在函数图象上，不是对称中心，B错误
故选：D.
2．（2026·陕西西安·三模）若函数f (x)=sin x +cos(2 x +φ)(0<φ<π)是奇函数，则f(
π
6 )=（ ）
A．0
B．−1
2
C．1+√3
2
D．1−√3
2
25
【答案】D
【解题思路】根据奇函数得出φ =π
2 ，再代入结合特殊角三角函数值求解.
【解答过程】因为f (x)=sin x +cos(2 x +φ)(0<φ<π)是奇函数，
故f (0)=cosφ =0，φ =π
2 ，检验符合，所以f(
π
6 )=sinπ
6 +cos 5π
6 = 1−√3
2
.
故选：D.
3．（2026·新疆·模拟预测）若点(
π
3 ,0)是函数y =cos(2 x +φ)(φ>0)的图象的一个对称中心，则φ的最小
值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
6
【答案】D
【解题思路】利用余弦型函数的对称性进行求解即可.
【解答过程】因为点(
π
3 ,0)是函数y =cos(2 x +φ)(φ>0)的图象的一个对称中心，
所以2×π
3 +φ=k π+π
2
(k ∈Z)⇒φ=k π−π
6
(k ∈Z)，
因为φ>0，所以由φ =k π−π
6 >0⇒k > 1
6
(k ∈Z)，
所以当k =1时，φ有最小值5π
6 .
故选：D.
4．（2026·重庆九龙坡·一模）将函数f (x)=sin ωx (ω>0)的图象平移得到g(x)=sin(ωx +π
3 )的图象，且
直线x =π
4 为曲线y = g(x)在y 轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（ ）
A．向左平移π
3 个单位
B．向右平移π
3 个单位
C．向左平移π
2 个单位
D．向右平移π
2 个单位
【答案】C
【解题思路】根据题意结合函数对称性可得π
4 ω+π
3 =π
2 ，解得ω= 2
3，进而图象变换逐项分析判断即
26
可.
【解答过程】若x∈[0,π
4 ]，则ωx +π
3 ∈[
π
3 ,π
4 ω+π
3 ]，
因为直线x =π
4 为曲线y = g(x)在y 轴右侧的首条对称轴，
则π
4 ω+π
3 =π
2 ，解得ω= 2
3，得f (x)=sin 2
3 x，g(x)=sin(
2
3 x +π
3 )，
A：将函数f (x)的图象向左平移π
3 个单位，得y =sin 2
3(x +π
3 )=sin(
2
3 x + 2π
9 )，不合题意，故A 错
误；
B：将函数f (x)的图象向右平移π
3 个单位，得y =sin 2
3(x−π
3 )=sin(
2
3 x−2π
9 )，不合题意，故B 错
误；
C：将函数f (x)的图象向左平移π
2 个单位，得y =sin 2
3(x +π
2 )=sin(
2
3 x +π
3 )，符合题意，故C 正确；
D：将函数f (x)的图象向右平移π
2 个单位，得y =sin 2
3(x−π
2 )=sin(
2
3 x−π
3 )，不合题意，故D 错
误；
故选：C.
5．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)=sin(2 x +φ)+√3cos(2 x +φ)为奇函数，则y =|f (x)|
在[−π
6 , 5π
24 ]上的最大值为（ ）
A．√3
2
B．√3
C．√3+1
D．√6+√2
2
【答案】D
【解题思路】首先化简函数的解析式，然后根据f (x)是奇函数求出φ的值，然后根据正弦函数的性质和x的
范围确定y的最大值.
【解答过程】因为f (x)=sin (2 x +φ)+√3cos(2 x +φ)，
所以f (x)=2[
1
2 sin (2 x +φ)+ √3
2 cos(2 x +φ)]=2sin(2 x +φ+π
3 ).
因为f (x)为奇函数，所以φ =−π
3 +k π,k ∈Z.
27
所以f (x)=2sin (2 x +k π),k ∈Z.
当x∈[−π
6 , 5π
24 ]时，2 x +k π∈[−π
3 +k π, 5π
12 +k π],k ∈Z，
所以|sin (2 x +k π)|∈[0,sin 5π
12 ]，
所以f (x)的最大值为2sin 5π
12 =2sin(
π
4 +π
6 )=2× √2
2 × √3
2 +2× √2
2 × 1
2 = √6+√2
2
.
故选：D.
6．（2026·湖北荆州·一模）将函数y =2sin(2 x−π
6 )的图象向左平移π
4 个单位长度，得到函数f (x)的图
象，则函数f (x)的一个单调增区间为（ ）
A．[−5π
12 ,π
12]
B．[−5π
6 ,π
6 ]
C．[−7π
24 , 5π
24 ]
D．[
π
12 , 7π
12 ]
【答案】A
【解题思路】根据三角函数图象的平移变换，可求出f (x)的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单
调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案.
【解答过程】由题意知将函数y =2sin(2 x−π
6 )的图象向左平移π
4 个单位长度，得到函数f (x)的图象，
故f (x)=2sin[2(x +π
4 )−π
6 ]=2sin(2 x +π
3 )，
令2k π−π
2 ≤2 x +π
3 ≤2k π+π
2 ,k ∈Z，即k π−5π
12 ≤x ≤k π+π
12 ,k ∈Z，
即函数f (x)的单调递增区间为[k π−5π
12 ,k π+π
12],k ∈Z，
当k =0时，f (x)的单调递增区间为[−5π
12 ,π
12]，A 正确；
对于B，当x∈[−5π
6 ,π
6 ]时，2 x +π
3 ∈[−4π
3 ,2π
3 ]，
由于y =sin x在[−4π
3 ,2π
3 ]上不单调，故[−5π
6 ,π
6 ]不是f (x)的单调增区间，B 错误；
对于C，x∈[−7π
24 , 5π
24 ]时，2 x +π
3 ∈[−π
4 ,3π
4 ]，
28
由于y =sin x在[−π
4 ,3π
4 ]上不单调，故[−7π
24 , 5π
24 ]不是f (x)的单调增区间，C 错误；
对于D，x∈[
π
12 , 7π
12 ]时，2 x +π
3 ∈[
π
2 ,3π
2 ]，
由于y =sin x在[
π
2 ,3π
2 ]上单调递减，故[
π
12 , 7π
12 ]是f (x)的一个单调减区间，D 错误；
故选：A.
7．（2026·云南大理·二模）若函数f ( x)=√3sin ωx −cosωx(ω>0)满足f ( x +π)= f (−x)，且在
(0,π
3 )有唯一零点，则ω的最大值为（ ）
A．10
3
B．3
C．2
D．4
3
【答案】A
【解题思路】利用辅助角公式化简函数f ( x)，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解.
【解答过程】函数f (x)=√3sin ωx −cosωx =2sin(ωx −π
6 )，
由f ( x +π)= f (−x)得，x =π
2 是函数f ( x)图象的一条对称轴，
则ωπ
2
−π
6 =π
2 +k π，k ∈Z，解得ω= 4
3 +2k，k ∈Z；
当x∈(0,π
3 )时，ωx−π
6 ∈ (−π
6 , ωπ
3
−π
6 )，
由函数f ( x)在(0,π
3 )有唯一零点，得0< ωπ
3
−π
6 ≤π，解得1
2 <ω≤7
2，
所以当k =1时，ω取得最大值10
3 ．
故选：A.
8．（2025·北京海淀·一模）已知函数y =√3sin(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A ,B ,C , D四点在
同一个圆上，则ω=（ ）
29
A．1
B．1
2
C．π
D．π
2
【答案】D
【解题思路】根据对称性可知E为圆心，根据|AE|=|BE|即可求解.
【解答过程】连接BC交x轴于E,
由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A , D和B ,C均关于点E对称，
故E为圆心，故|AE|=|BE|，
|AE|= 1
2 T = 1
2 ⋅2π
ω =π
ω ,|BE|=√(
1
4 T)
2
+(√3)
2=√(
π
2ω)
2
+3,
故√(
π
2ω)
2
+3=π
ω ，解得ω=π
2 ，
故选：D.
二、填空题
9．（2026·广东茂名·一模）函数y =sin(2 x−π
6 )在(0,π)上的单调递增区间是
．
【答案】(0,π
3 ],[
5π
6 ,π)
【解题思路】先求出函数的单调递增区间，然后根据所给条件进一步求出函数在(0,π)上的单调递增区间
即可.
【解答过程】由2k π−π
2 ≤2 x−π
6 ≤2k π+π
2 ,k ∈Z，
得k π−π
6 ≤x ≤k π+π
3 ,k ∈Z，
当k =0时，在(0,π)上的单调递增区间为(0,π
3 ]，
当k =1时，在(0,π)上的单调递增区间为[
5π
6 ,π)，
30
故答案为：(0,π
3 ],[
5π
6 ,π)．
10．（2026·广西·模拟预测）已知函数f (x)= tan(ωx + 2026π
3 )（ω>0），若曲线y = f (x)关于点
(
π
3 ,0)中心对称，则ω的最小值为
.
【答案】1
2
【解题思路】由正切函数性质列式计算可得ω= 3k
2 −2026,k ∈Z，由ω>0，k ∈Z，计算可得
kmin=1351，代入计算可得ωmin= 1
2.
【解答过程】由正切函数性质可知，函数y = tan x的对称中心为(
k π
2 ,0),k ∈Z，
因为曲线y = f (x)关于点(
π
3 ,0)中心对称，
所以ω×π
3 + 2026π
3
= k π
2 ,k ∈Z，即ω= 3k
2 −2026,k ∈Z
因为ω>0，所以3k
2 −2026>0，解得k > 4052
3
，
因为k ∈Z，所以kmin=1351，故ωmin= 1
2.
故答案为：1
2.
11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=3sin(2 x +φ)(|φ|<π
2 )的图象向右平移π
6 个单位长度
后，得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ为
．
【答案】−π
6
【解题思路】利用给定的图象变换求出g( x)的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得．
【解答过程】依题意，g( x )= f(x−π
6 )=3sin(2 x−π
3 +φ)，
由g( x)是偶函数，得−π
3 +φ =k π+π
2 ,k ∈Z，φ=k π+ 5π
6 ,k ∈Z，
31
而|φ|<π
2 ，则k =−1,φ =−π
6 ．
故答案为：−π
6 ．
12．（2026·广东佛山·一模）若函数f (x)=sinωx (ω>0)在区间[π,3π]上至少有2 个零点，则ω的最小
值是
.
【答案】2
3
【解题思路】根据正弦函数性质列不等式求解即可.
【解答过程】函数f (x)=sinωx零点满足ωx =k π，k ∈Z，即x = k π
ω ，k ∈Z，
因为ω>0且x∈[π,3π]，所以k为正整数，
因为函数f (x)=sinωx (ω>0)在区间[π,3π]上至少有2 个零点，
所以π≤k π
ω ≤3π即ω≤k ≤3ω至少有两个正整数解，
为保证区间[ω,3ω]至少包含两个正整数，该区间须至少能覆盖一对连续的正整数k和k +1，
所以¿，即k +1
3
≤ω≤k，为使该不等式有解，须满足k ≥k +1
3
，
得k ≥1
2，又k ∈Z
∗，所以k min=1，当k =1时，所以2
3 ≤ω≤1，即ω的最小值为2
3.
故答案为：2
3.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2026·四川泸州·二模）已知函数f (x)=sin(π x +π
3 )，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为1
B．f(x + 2
3)是偶函数
C．f (x)的图象关于直线x = 2
3对称
D．f (x)在区间(−1
2 ,0)上单调递增
【答案】D
【解题思路】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得
32
f(x + 2
3)=−sinπ x，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：
以π x +π
3
为整体，结合正弦函数单调性分析判断.
【解答过程】因为函数f (x)=sin(π x +π
3 )，
对于选项A：f (x)的最小正周期为T = 2π
π
=2，故A 错误；
对于选项B：f(x + 2
3)=sin[π(x + 2
3)+π
3 ]=sin (π x +π)=−sinπ x为奇函数，故B 错误；
对于选项C：因为f(
2
3)=sin(
2π
3 +π
3 )=sinπ=0，不为最值，
所以f (x)的图象不关于直线x = 2
3对称，故C 错误；
对于选项D：因为x∈(−1
2 ,0)，则π x +π
3 ∈(−π
6 ,π
3 )，
且正弦函数在(−π
6 ,π
3 )内单调递增，所以f (x)在区间(−1
2 ,0)上单调递增，故D 正确.
故选：D.
2．（2026·重庆·一模）已知函数f (x)= x +sin (x +φ)，且对任意的x ≤π
2 ，都存在φ∈R，使得f (x)≤a恒
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[
π
2 −1,+ ∞)
B．[
π
2 ,+∞)
C．[
π−1
2
,+∞)
D．[
π+1
2
,+∞)
【答案】A
【解题思路】利用导数求出f (x)max，记g(φ)= f (x)max，然后求出g(φ)min即可得解.
【解答过程】因为f
′ (x)=1+cos(x +φ)≥0，所以f (x)在(−∞,π
2 ]上单调递增，
所以f (x)≤π
2 +sin(
π
2 +φ)=π
2 +cosφ，记g(φ)=π
2 +cosφ，
因为函数f (x)，且对任意的x ≤π
2 ，都存在φ∈R，使得f (x)≤a恒成立，
33
所以g(φ)min≤a，又g(φ)min=π
2 −1，所以a≥π
2 −1.
故选：A.
3．（2026·陕西延安·一模）已知函数f (x)=2sin(x +π
6 )cos x，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)在(0,π
2 )上单调递增
C．f (x)的图像关于点(
π
3 ,0)中心对称
D．f (x)图像向右平移π
6 个单位长度后的函数为偶函数
【答案】A
【解题思路】化简得f ( x)=sin(2 x +π
6 )+ 1
2，求出函数的周期即可判断A；由x∈(0,π
2 )，可得
2 x +π
6 ∈(
π
6 ,7π
6 )，结合正弦函数的性质可判断B；结合图像的平移及对称中心的定义可判断C；求
出平移后的解析式，结合偶函数的定义判断D．
【解答过程】对于A，因为f (x)=2sin(x +π
6 )cos x
=2( √3
2 sin x + 1
2 cos x)cos x
=√3sin x cos x +cos
2 x
= √3
2 sin 2 x + 1
2 cos2 x + 1
2
=sin(2 x +π
6 )+ 1
2，
所以函数的最小正周期为T = 2π
2 =π，故A 正确；
对于B，当x∈(0,π
2 )时，2 x +π
6 ∈(
π
6 ,7π
6 )，
由正弦函数的性质可知y =sin x在(
π
6 ,7π
6 )上先增后减，故B 错误；
对于C，因为 y = f (x)是将函数y =sin(2 x +π
6 )的图象向上平移1
2个单位得到的，
34
所以函数f ( x)对称中心的纵坐标为1
2，故C 错误；
对于D，设f (x)图像向右平移π
6 个单位长度后所得函数为的解析式为g( x) ，
则g( x)= f ( x−π
6 )=sin[2( x−π
6 )+π
6 ]+ 1
2 =sin(2 x−π
6 )+ 1
2，
又因为g(−x)=sin(−2 x−π
6 )+ 1
2 =−sin(2 x +π
6 )+ 1
2 ≠g( x)，
所以g( x)不是偶函数，故D 错误．
故选：A．
4．（2026·山东·一模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，关于该
函数有下列说法：
①值域是[−2,2]；②最小正周期是4π；
③φ的值是2π
3 ；④单调增区间是[4 k π−7π
3 ,4 k π+π
3 ](k ∈Z)．
其中，正确说法的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】由图像可得A =2，进而得出值域判断①，根据1
4 T =1，求出最小正周期判断②；结合最小
正周期得到ω=1
2，再代入特殊值求出φ=π
3 判断③，整体法求解函数的单调递增区间判断④.
【解答过程】由图可知，函数最大值为A =2，所以f (x)=2sin(ωx +φ)的值域为[−2,2]，所以①正确；
由图可知，1
4 T = 4π
3 −π
3 =π，所以T = 4π，所以②正确；
因为T = 4π，所以ω= 1
2；由图可知，一条对称轴为x =π
3
，
35
所以π
3 × 1
2 +φ=k π+π
2 ，因为|φ|<π，所以φ =π
3 ，③错误；
令1
2 x +π
3 ∈[2k π−π
2 ，2k π+π
2 ]，k ∈Z，
所以递增区间为[4 k π−5π
3 ，4 k π+π
3 ]，k ∈Z，④错误；
故选：B.
5．（2026·四川攀枝花·一模）已知函数f ( x)=√3sin 2 x−2sin
2 x +1，则下列说法中正确的是（ ）
A．y = f ( x)的最小正周期为2π
B．y = f ( x)在区间[0,π
2 ]上单调递增
C．y = f ( x)的图象向左平移π
6 个单位长度后关于y 轴对称
D．若y = f ( x)在区间(0,m)(m>0)上恰有一个零点，则实数m 的取值范围是(
5π
12
, 11π
12 )
【答案】C
【解题思路】利用三角恒等变换将已知函数化为y = A sin (ωx +φ)的形式，再结合该函数的性质逐项分析
判断即可.
【解答过程】f ( x)=√3sin 2 x −2sin
2 x +1=√3sin 2 x +cos2 x
=2(
√3
2 sin 2 x + 1
2 cos2 x)=2sin(2 x +π
6 ).
选项A：最小正周期T = 2π
2 =π，故A 错误；
选项B：求f (x)=2sin(2 x +π
6 )的单调递增区间：
令−π
2 +2k π≤2 x +π
6 ≤π
2 +2k π，k ∈Z，解得−π
3 +k π≤x ≤π
6 + k π，k ∈Z，
所以区间[0,π
2 ]包含[0,π
6 ]（递增）和[
π
6
,π
2 ]（递减），故B 错误；
选项C：y = f ( x)的图象向左平移π
6 个单位长度后得到：
36
y =2sin(2(x +π
6 )+π
6 )=2sin(2 x +π
2 )=2cos2 x，
y =2cos2 x为偶函数，图象关于y轴对称，故C 正确；
选项D：令f (x)=0，即2sin(2 x +π
6 )=0，
则2 x +π
6 =k π，k ∈Z，即x =−π
12 + k π
2 ，k ∈Z，
当k =1时，x =5π
12 ；当k =2时，x =11π
12 ；
若在区间(0,m)上恰有一个零点，则5π
12 <m≤11π
12 ，
所以实数m的取值范围为5π
12 <m≤11π
12 ，故D 错误.
故选：C.
二、解答题
6．（2026·安徽淮南·一模）已知函数f (x)=sin(x +π
6 )+sin(x−π
6 )+cos x +a的最大值为1，a为常
数．
(1)求函数f (x)在[0,π]上的单调递增区间；
(2)求使f (x)≤0成立的x的取值集合．
【答案】(1)[0,π
3 ]
(2)¿
【解题思路】（1）利用三角恒等变换先化简得f (x)=2sin(x +π
6 )+a，利用最大值为1 求出a，进而求
f (x)在[0,π]的单调增区间即可求解；
（2）由f (x)≤0得sin(x +π
6 )≤1
2，利用三角函数的性质解不等式即可求解.
【解答过程】（1）函数f (x)=sin(x +π
6 )+sin(x−π
6 )+cos x +a
=sin x cos π
6 +cos x sinπ
6 +sin x cosπ
6 −cos x sinπ
6 +cos x +a
=√3sin x +cos x +a=2sin(x +π
6 )+a，
37
因为sin(x +π
6 )的最大值为1，
所以2×1+a=1，解得a=−1，所以f (x)=2sin(x +π
6 )−1．
令2k π−π
2 ≤x +π
6 ≤2k π+π
2 , (k ∈Z)，
解得：2k π−2π
3 ≤x ≤2k π+ π
3
(k ∈Z)，
又因为x∈[0,π]，则取交集0≤x ≤π
3 ，所以f (x)在[0,π]的单调递增区间为[0,π
3 ]；
（2）因为f (x)≤0，即2sin(x +π
6 )−1≤0，可得：sin(x +π
6 )≤1
2．
所以2k π−7π
6 ≤x +π
6 ≤2k π+π
6 , (k ∈Z)．
解得：2k π−4π
3 ≤x ≤2k π.(k ∈Z)
综上：f (x)≤0成立的x的取值集合是¿．
7．（2026·江苏南通·一模）已知函数f (x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )，且f (0)=1．
(1)若ω=1，f (x0)= 6
5，求f(2 x0+ 2
3 π)的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知，使得ω存在，并求ω的取值范围．
①函数f (x)在区间(0,π)上只有最大值，没有最小值；
②函数f (x)在区间(0,π
2 )上恰有4 个零点：
③函数f (x)在区间(−π
4 ,π
4 )上单调递增．
【答案】(1)f(2 x0+ 2
3 π)= 14
25
(2)答案见解析
【解题思路】（1）由f (0)=1求出φ =π
6 ，令x0+π
6 =t，则f(2 x0+ 2
3 π)=2sin(2t +π
2 )，利用诱导公
式及二倍角公式求解；
（2）设f (x)的周期为T，分别由①②③判断相应T范围，判断选①和③；由①③分别求ω范围，取其交集.
【解答过程】（1）因为f (0)=2sinφ =1，所以sinφ = 1
2，
38
因为|φ|<π
2 ，所以φ =π
6 ．
当ω=1时，f (x)=2sin(x +π
6 )，
因为f (x0)=2sin(x0+π
6 )= 6
5，所以sin(x0+π
6 )= 3
5．
令x0+π
6 =t，则sint = 3
5，
所以sin(2 x0+ 5
6 π)=sin[2(t −π
6 )+ 5
6 π] =sin(2t +π
2 )=cos2t =1−2sin
2t = 7
25，
所以f(2 x0+ 2
3 π)=2sin(2 x0+ 5
6 π)= 14
25 ．
（2）对于①：因为x∈(0,π )，所以ωx + π
6 ∈(
π
6 ,πω+ π
6)，则π
2 <πω+ π
6 ≤3 π
2 ，解得1
3 <ω≤4
3 ；
对于②：因为x∈(0, π
2)，所以ωx + π
6 ∈(
π
6 , π
2 ω+ π
6)，则4 π < π
2 ω+ π
6 ≤5 π，解得23
3 <ω≤29
3 ；
对于③：因为x∈(−π
4 , π
4)，所以ωx + π
6 ∈(−π
4 ω+ π
6 , π
4 ω+ π
6)，则¿，解得0<ω≤4
3 ；
因为②与①、③的交集都为空，所以选①和③．
由¿，得1
3 <ω≤4
3 ，
即ω的取值范围是1
3 <ω≤4
3 ．
8．（2026·陕西渭南·一模）已知函数f (x)=cos
4 x +2sin xcos x−sin
4 x.
(1)求f (x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√19，b=5，f(
A
2 +π
12)=1，求
△ABC的面积.
【答案】(1)最小正周期为π；单调递增区间为[kπ −3π
8
,kπ + π
8 ]，k ∈Z.
(2)15√3
4
【解题思路】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单
调递增区间.
（2）先求出角A，再用余弦定理求出边长c，最后用三角形面积公式求出面积即可.
39
【解答过程】（1）f ( x)=cos
4 x +2sin x cos x−sin
4 x =(cos
2 x +sin
2 x)(cos
2 x−sin
2 x)+2sin x cos x，
=cos2 x +sin 2 x =√2( √2
2 sin 2 x + √2
2 cos2 x)=√2sin(2 x + π
4 )，
所以f ( x)的最小正周期T = 2π
2 = π，
令2kπ −π
2 ≤2 x + π
4 ≤2kπ + π
2 ，k ∈Z，解得kπ −3π
8
≤x ≤kπ + π
8 ，k ∈Z，
所以f ( x)的最小正周期为π，单调递增区间为[kπ −3π
8
,kπ + π
8 ]，k ∈Z.
（2）已知f ( A
2 + π
12 )=1，则√2sin(2( A
2 + π
12 )+ π
4 )=1，
即√2sin( A + π
6 + π
4 )=√2sin( A +5π
12 )=1⇒sin( A +5π
12 )= √2
2 ；
因为三角形是锐角三角形，所以0<∠A < π
2 ，则5 π
12 < A + 5 π
12 < 11π
12 ，
在这个区间内A + 5 π
12 = 3 π
4 ，解得A = 3 π
4 −5 π
12 = π
3 ，
依据余弦定理a
2=b
2+c
2−2bc cos A，可得(√19)
2=5
2+c
2−2×5c×cos π
3 ，
即19=25+c
2−5c⇒(c−2)(c−3)=0，解得c =2或c =3；
当c =2时，cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
= √19
2+2
2−5
2
2×√19×2 =−
1
2√19 <0，
此时∠B为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去c =2这种情况；
当c =3时，cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
= √19
2+3
2−5
2
2×√19×3 =1
2√19 >0，
此时∠B为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
=
35
10√19 >0，
C
∠
也为锐角，故△ABC 为锐角三角形，符合题干条件;
根据三角形面积公式S = 1
2 bc sin A，可得S = 1
2 ×5×3sin π
3 = 15√3
4
，
所以△ABC的面积为15√3
4
.
40
41
