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2026 年高考数学信心跃升卷 04（全国二卷通用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1． 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算及定义可得.
【详解】 ，其虚部为1.
2．（原创）已知集合A={x|−1<x≤3}，B={−2，−1，0，1， 2，3}，则
（ ）
A． B． C．{0,1,2,3} D．
【答案】C
【详解】由题可得：A∩B={0,1,2,3}
3．已知向量 ， 在 方向上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【详解】依题意， 在 方向上的投影向量为 ，则 ，而 ，所以
4．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．11
【答案】B
【分析】运用等差数列通项性质求解.
【详解】设等差数列 公差为d，那么 .
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据诱导公式计算可得结果.
【详解】因为 ，
所以由诱导公式得 ．故选：A
6．从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位
数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（ ）
A．84 B．120 C．504 D．720
【答案】A
【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序.
【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故 .故选：A.
7．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 上的两点 ， 满
足 ， （ 为原点），且以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积
为12，则 的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由已知条件和椭圆定义表示出 ， ，
，由勾股定理求得 与 的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案.
【详解】如图，由 ，得 ，
由 ，得 三点共线，连接 ，设 ，
则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
在 中，由勾股定理得 ，化简得 ，
所以 ，即 ，
因为以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以 ，
，即 ，得 ，所以 ，即 的方程为 .
8．已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】 ，则 ，
，即 ，
由 ， ，则 在 上单调递增，
由 ，得 ，
根据函数单调性可得 ，
， ， 在 上恒成立，
即 ， ，解得 .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘
制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）
（ ）
A． 的值为0.025
B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4
C．参加考核学生成绩在区间 的学生有104人D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5
【答案】ACD
【详解】对于A，由 ，得 ，A正确；
对于B，成绩在 的频率分别为 ，则成绩的中位数 ，
，解得 ，B错误；对于C，成绩在 的频率为 ，
由 ，得成绩在区间 的学生有104人，C正确；
对于D，成绩的平均数 ，D正确.
10．如图，棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
（ ）
A．直线 与底面 所成的角为
B．平面 与底面 夹角的余弦值为
C．直线 与直线 的距离为
D．直线 与平面 的距离为
【答案】BCD
【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，
平行线间距离及线面距离.
【详解】如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则 ， ， ， ， ， ，
A选项： ，平面 的法向量 ，
设直线 与底面 所成的角为 ，则
，
直线 与底面 所成的角不为 ，故A错误；
B选项： ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则
设平面 与底面 的夹角为 ，则 ，
平面 与底面 夹角的余弦值为 ，故B正确；
C选项， ，直线 与直线 的距离为： ，
故C正确；D选项， ， 平面 ， 平面 ，
又 ，平面 的法向量 ，
直线 与平面 的距离为： ，故D正确；故选：BCD.
11．设 为坐标原点，已知圆 ，双曲线 的焦距
为4， 的一条渐近线与圆 交于 两点，另一条渐近线与圆 交于 两点，若
，则（ ）
A． 的渐近线方程为
B． 的离心率为2
C．C的方程为
D．直线 经过 的右顶点
【答案】BCD
【分析】A选项，根据对称性可得 ，结合圆的半径，得到 为等边三角
形，故 的渐近线 的倾斜角 ，因此 的渐近线方程为 ，A错误；B选项，利用 求出离心率；C选项，根据焦距和离心率求出 ，求出
，得到双曲线方程；D选项，求出 坐标，得到直线 的方程为 ，所以直线
经过 的右顶点.
【详解】A选项，由双曲线的性质与圆的对称性得， ，又 ，故
，由圆 得圆心为 ，半径为 ，
故 ，故 为等边三角形，
故双曲线 的渐近线 的倾斜角为 ，则 ，
因此 的渐近线方程为 ，A错误；
B选项， 的离心率 ，B正确；
C选项，由 得， ，所以 ，所以 的方程为 ，C
正确；D选项，将 代入 ，解得 或0（舍去），
将 代入 得 ，将 代入 ，解得 或0（舍去），
将 代入 得 ，结合图象，不妨取 ，则直线 的方程为 ，又 的右顶点为 ，所以直线 经过 的右顶点，D正确；故选：BCD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中 的系数为_________．
【答案】60
【分析】根据二项式系数和求得 ，再根据二项展开式的通项公式求出 的系数.
【详解】因为 的展开式的二项式系数和为64，
所以 ，解得 ，
二项式 的展开式通项为 ，
令 ，解得 ，所以展开式中 的系数为 .
13．若直线 是圆 的一条对称轴，则 的最小值
是_____.
【答案】9
【分析】由题意得直线过圆心，可得 ，再使用1的代换，即可求得 的最小值.
【详解】易得圆心 ，半径 ，
由题意得直线 过圆心，则有 ，
故 ，当且仅当 即 时取等号，
故 的最小值是9，故答案为：9.
14．已知函数 ，若曲线 在点 处的切线与函数 的
图象无公共点，则实数 的取值范围为______．【答案】
【分析】先求曲线 在点 处的切线，把问题转化成 无解,再
设 ，求函数 的最小值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
且 ， ，
所以 在点 处的切线方程为： ，即 .
问题转化为方程 ，即 无解.
设 ， ，则 ，
由 ；由 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ，
所以 ，
所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量 .设 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)记三角形ABC的内角 所对的边分别是 ，已知 的面
积为 ，求 的长.【答案】(1) (2) .
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期；
（2）根据 ，求得 ，再根据 的面积为 ，求得 ，再利用余弦定
理即可得出答案.
【详解】（1）由题意，
，所以函数 的最小正周期 ；
（2）由 得 ，因为 ，所以 ，解得
，
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 .
16．（15分）已知三棱柱 中， ， ， ，
(1)求证：平面 平面(2)若 ，且 是 的中点，求平面 和平面 的夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到 ，结合 得到线面垂直，进而得
到 ，结合 得到线面垂直，从而证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的
余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值.
【详解】（1）在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，而 ，
则平行四边形 是菱形，连接 ，如图，则有 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，则 ，
由 ，得 ，又 ， 平面 ，
从而得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）在平面 内过 作 ，
由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
则 平面 ，
以 为原点，以射线 分别为 轴， 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因为 ， ，所以 为等边三角形，
又 是 的中点，则 ⊥ ，故 ，
由勾股定理得 ，又 ，
则 ， ， ， ， ，
则有 ， ．
设平面 的一个法向量 ，则有 ，解得： ，
令 得 ，而平面 的一个法向量 ，
依题意， ，
设平面 和平面 的夹角的夹角是 ，
则 ， ，
所以平面 和平面 的正弦值为
17．（15分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得
到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆
的离心率为 ，面积为 ，F为其右焦点， ．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，过P作直线PB交椭圆C于
另一点B，且 的面积为1，求直线PB的方程．
【答案】(1) (2) 或
【分析】（1）利用新定义及椭圆的性质计算即可；
（2）设直线方程利用韦达定理、弦长公式、点线距离公式计算解方程即可.
【详解】（1）设 ，由题意可知： ，解之得 ，
所以椭圆方程为： ；
（2）由上可知 ，则 ，易知直线 斜率不存在时不符合题意；
不妨设直线 方程为 ，则 ，
联立直线与椭圆方程 得 ，
则 ，且 ，
E到直线 的距离为 ，所以 ，
将 代入上式可得： ，
解之得 或 ，即直线PB的方程为 或 .18．（17分）为了即将到来的运动会短跑比赛，体育老师计划从高三（1）班的同学中通
过短跑预赛选出适合参加短跑比赛的学生加以训练，短跑预赛的规则是：设置某一个时间，
每位同学可以试跑三次，若三次均未成功，则不通过预赛；若有一次试跑成功，则无需再
跑，视为通过预赛．已知甲同学每次能试跑成功的概率是 ，且每次试跑相互独立，互不
影响．
(1)记甲同学的试跑的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)在甲同学通过预赛的条件下，求甲是第三次试跑成功的概率．
【答案】(1)
X 1 2 3
P
(2)
【分析】（1）分析X的所有可能取值，求出相应概率，列出X的分布列并求出数学期望；
（2）记“第i次试跑成功”分别为事件 ，“甲同学通过预赛”为事件B，计算相关概率，
并利用条件概率公式计算求解．
【详解】（1）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，
， ， ，
X的分布列为：
X 1 2 3
P
．（2）记“第i次试跑成功”分别为事件 ， ，“甲同学通过预赛”为事件B，
，
，
，
在甲同学通过预赛的条件下，甲是第三次试跑成功的概率为 ．
19．（17分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 的最小值；
(3)求证： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，无单调递减区间.
(2)0
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可.
（2）结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可.
（3）结合已知得到 ，再结合换元法证明不等式即可.
a
【详解】（1）由题意得函数
的定义域为(0,+∞),f′(x)=xex−
，
x
当 时， ，则 在 单调递增，
所以函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
e
（2）当 时，f (x)=(x−1)ex−elnx,f′(x)=xex− ，
x令 ，则 ，
所以 即 在 单调递增，
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，故 .
（3）由（2）知当 时， ，
1 1 k+1
即 ，当且仅当 时取等号，令 ，则 ek>ln ，
k k
所以 ,
即 .
