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考前回顾 01 集合、常用逻辑用语、不等式（知识清单+易错
分析+23 年高考真题+24 年最新模拟）
知识清单
1．集合
(1)集合间的关系与运算
A∪B＝A B A；A∩B＝B B A.
(2)子集、真子集个数计算公式
⇔ ⊆ ⇔ ⊆
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 n , 2 n － 1, 2 n －
1, 2 n － 2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是
抽象集合，用Venn图求解．
2．全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p： ∃ x ∈ M ，﹁ p(x )；
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p： ∀ x ∈ M ，﹁ p(x )．
(3)命题与其否定真假相反．
3．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：若p q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p q，且q p，则p是q的充分不必
⇏
要条件(或q是p的必要不充分条件)．
⇒ ⇒
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A B，则p是q的充分条件
(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q
⊆
的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
4．一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ的符号)；三解(解对应
的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二
次函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；(3)在有根的
条件下，要比较两根的大小．
5．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是.
6．分式不等式（1）
（2）
（3）
（4）
7．基本不等式
a+b
(1)基本不等式：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
基本不等式的变形：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立；
② ≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”
“等”的条件．
易错提醒
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lgx}——函数的定
义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集．
2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
3．空集是任何集合的子集．解题时勿漏∅的情况．
4．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来
思考，将问题转化为集合间的运算．
5．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分
a>0，a<0进行讨论．
6．求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把 ≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视
g(x)≠0.
7．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的
最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)的最值时应先转化为正数再求解．
易错分析易错点一 忽略集合中元素的互异性而致误
1. [湖南邵阳二中2023第五次月考]已知 ，若 ，则 的值为（
）
易错点二 忽视对空集的讨论而致错
2、若集合 . ，且 ，则实数 的值为（ ）
易错点三、忽视高次项系数
3、已知集合 ， ，若 ，则实数 的值构成的集合是（
）
A． B． C． D．
易错点四、忽视代表元素
4．设集合 ， ，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
易错点五、忽视判别式
6．已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
易错点六、混淆条件与结论致误
7．“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是( )A．－1<x<－ B．x>0
C．－1<x<0 D．x<0
易错点七、不对命题完全否定致误
8．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数
C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
9．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
易错点八、忽视不等式中的等号而致误
10. [江苏镇江一中等三校2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（ ）
易错点九、已知命题真假求参数范围中忽视判别式等号取舍致错
11．已知命题 ， ，若 是真命题，则实数 的取值范围是( )
易错点十、已知命题真假求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
12．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
易错点十一、已知条件类型求参数范围中忽视对高次项系数讨论致错
13．（多选题）已知p： ；q： .若p是q的必要不充分条件，则实数a的值是（）
14． “关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）
A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0
C．-4≤a<0 D．-4<a<0
易错点十二、忽视字母的取值范围而致错
15．(多选)对于任意实数 ， ， ， ，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 ； B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ； D．若 ， ，则 .
易错点十三、多次应用基本不等式致错
16.已知 ， ，且 ，求 的最小值.
易错点十四、忽视不等式中高次项的系数
17．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
18.解关于 的不等式 .易错点十五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
20. [广东广州2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（ ）
21.（忽略定值的条件） [黑龙江大庆实验中学2023 高一月考]已知 ，则 的最小值为（）
22．（没有考虑“一正”）求 的最大值.
易错点十六、忽视一元二次不等式中两根大小而致错
23．已知集合 ，集合 ，命题 ： ，
命题 ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.易错点十七、忽视分式不等式中的分母不能为零致错
24．不等式≤1的解集是________．
易错点十八、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
25.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
26. [安徽六安2023第五次质检]“ ”是“关于 的不等式 恒成立”的
（）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
27. [河南中原名校2022第二次联考]已知命题 ，若命题 是假命题，则实数
的取值范围为________ 。
易错点十九、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
28．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为( )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
易错点二十、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
29．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B.
C. D．
30．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．[1，＋∞) D．
易错点二十一、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
31． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
易错点二十二、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
32．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．高考真题
一．选择题（共14小题）
1．（2023•新高考Ⅰ）已知集合 ， ，0，1， ， ，则
A． ， ，0， B． ，1， C． D．
2．（2023•北京）已知集合 ， ．则
A． B． C． D．
3．（2023•甲卷）设集合 ， ， ， ， 为整数集，则
A． ， B． ， C． ， D．
4．（2023•天津）“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023•甲卷）设全集 ，2，3，4， ，集合 ， ， ， ，则
A． ，3， B． ，3， C． ，2，4， D． ，3，4，
6．（2023•乙卷）设集合 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．7．（2023•天津）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
8．（2023•北京）若 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023•乙卷）设全集 ，1，2，4，6， ，集合 ，4， ， ，1， ，则
A． ，2，4，6， B． ，1，4，6，
C． ，2，4，6， D．
10．（2023•新高考Ⅱ）设集合 ， ， ， ， ，若 ，则
A．2 B．1 C． D．
11．（2023•天津）已知集合 ，2，3，4， ， ， ， ，2， ，则
A． ，3， B． ， C． ，2， D． ，2，4，
12．（2023•全国）不等式 的解集为
A． B． C． D．
13．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D． ，2，
14．（2023•全国）集合 ， ，0，1， ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，0，二．填空题（共3小题）
15．（2023•上海）已知集合 ， ， ， ，且 ，则 ．
16．（2023•上海）已知正实数 、 满足 ，则 的最大值为 ．
17．（2023•北京）已知命题 ：若 ， 为第一象限角，且 ，则 ．能说明命题 为假
命题的一组 ， 的值可以是 ， ．
最新模拟
一．选择题（共18小题）
1．（2024•广州一模）已知集合 ，3， ， ， ，若 ，则
A．1 B． 或2 C．2 D．
2．（2024•宁波模拟）集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2024•当阳市校级模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
4．（2024•浙江模拟）已知全集 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（2024•嘉定区校级模拟）“ ”是“ ”的 条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要
6．（2024•五华区校级模拟）若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值范围为
A． ， B． C． ， D．7．（2024•漳州模拟）若 ， ， 为真命题，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
8．（2024•成都模拟）命题“ ， ”的否定形式是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．（2024•石家庄模拟）已知命题 ， ，则
A． 是假命题， ，
B． 是假命题， ，
C． 是真命题， ，
D． 是真命题， ，
10．（2024•四川模拟）已知集合 ，则集合 的子集有 个．
A．3 B．4 C．7 D．8
11．（2024•厦门模拟）已知集合 ， ，则
A． B． ， C． ， ， D． ， ，
12．（2024•湖北模拟）设集合 ， ，则
A． B． ， C． ， D．
13．（2024•中山市校级模拟）若命题“ ， “是假命题，则实数 的最小值为
A．1 B．2 C．4 D．814．（2024•成都模拟）如图，已知集合 ， ，则阴影部分表示的集合为
A． B． ， C． ， D．
15．（2024•河北模拟）已知集合 ， ， ，则
A． ，1，2， B． ，2， C． ，2， D．
16．（2024•成都模拟）已知向量 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，
当 时，称有序实数对 为点 的广义坐标．若点 ， 的广义坐标分别为 ， ， ，
，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2024•重庆模拟）已知命题 是定义域上的增函数，命题 ：函数 在 ，
上是增函数．若 为真命题，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
18．（2024•延庆区一模）已知函数 ，则不等式 的解集是
A． B．
C． D． ， ，
二．多选题（共1小题）19．（2024•湖北模拟）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充
要条件是函数 为奇函数．已知函数 ，则下列结论正确的有
A．函数 的值域为 ，
B．函数 的图象关于点 成中心对称图形
C．函数 的导函数 的图象关于直线 对称
D．若函数 满足 为奇函数，且其图象与函数 的图象有2024个交点，记为 ，
，2， ， ，则
三．填空题（共5小题）
20．（2024•宝鸡模拟）命题“任意 ”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
21．（2024•海南模拟）已知集合 ，2， ， ， ，若 ，则 ．
22．（2024•宁波模拟）已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 ．
23．（2024•延庆区一模）已知函数 给出下列四个结论：
①存在实数 ，使得函数 的最小值为0
②存在实数 ，使得函数 的最小值为
③存在实数 ，使得函数 恰有2个零点
④存在实数 ，使得函数 恰有4个零点其中所有正确结论的序号是 ．
24．（2024•重庆模拟）已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ； 的取值
范围为 ．
