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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题02 集合第二缉
1．【2018 年山西预赛】集合M = {1,2,⋯,2018}中，末尾数字为8 的元素之和是________.
【答案】204626
【解析】
若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0,1,2，…，201，共计划去202 个8，因此所求的和值为
S =10×(0+1+2+⋯+201)+8×202=204626.
2．【2018 年湖南预赛】设集合A ={x| x
2-3 x -10≤0},B ={x|m+1≤x ≤2m-1}，若A ∩B = B，则实
数m 的取值范围为__________.
【答案】m≤3
【解析】
由A ∩B = B知，B⊆A，而
A ={x| x
2-3 x -10≤0}={x|-2≤x ≤5}
.
当B =∅时，m+1>2m-1，即m<2，此时B⊆A成立.
当B≠∅时，m+1≤2m-1，即m≥2，由B⊆A，得¿
解得-3≤m≤3.又m≥2，故得2≤m≤3.
综上，有m≤3.
故答案为：m≤3
3．【2018 年福建预赛】将正偶数集合{2,4,6,⋯}从小到大按第n组有3n-2个数进行分组：
{2}，{4,6,8,10}，{12,14,16,18,20,22,24}，…，则2018 位于第______组．
【答案】27
【解析】
设2018 在第n组，由2018 为第1009 个正偶数，根据题意得∑
i=1
n-1
(3i-2)<1009≤∑
i=1
n
(3i-2)，即
3(n-1)
2-(n-1)
2
<1009≤3n
2-n
2
．解得正整数n=27．所以2018 位于第27 组．
4．【2018 年全国】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈ A}，C={x|2x∈A}，则B∩C 的元素个数为
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【答案】24
【解析】由条件知，B∩C ={2,4,6,⋯,198}∩{
1
2 ,1, 3
2 ,2,⋯, 99
2 }={2,4,6,⋯,48}.
故B∩C 的元素个数为24.
5．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设集合A={1，2，3，…，99}，
B ={2 x| x∈A },C ={x|2 x∈A }，则B∩C 的元素个数为
.
【答案】24
【解析】由条件知，
B∩C ={2,4,6,⋯,198}∩{
1
2 ,1, 3
2 ,2,⋯, 99
2 }={2,4,6,⋯,48}，
故B∩C 的元素个数为24.
6．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设集合A={2，0，1，8}，B={2a|a∈A}则A∪B 的所有元素之
和是
.
【答案】31
【解析】易知B={4，0，2，16}，故A∪B={0，1，2，4，8，16}.
A∪B 的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.
7．【2017 年山西预赛】设M ={1,2,⋯,2017}是前2017 个正整数构成的集合,若从M中去掉一个元素后,
M中剩下的元素之和恰为一个平方数,则去掉的元素是
.
【答案】1677
【解析】提示：1+2+⋯+2017= 2017×2018
2
=(❑√2017×-1009)
2>1426
2=2033476,
而2017×2018
2
-2033476=1677.
8 ．【2017 年山东预赛】集合M ={1,99,-1,0,25,-36,-91,19,-2,11}, 记M的所有非空子集为
M i,i=1,2,⋯,1023,每一个M i
中的所有元素之积为mi
,则∑
i=1
1023
mi=
.
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【答案】-1
【解析】提示:设集合M ={ai,i =1,2,⋯,n},则∑
i=1
2
n-1
mi=∏
i=1
n
(ai+1)-1，因此：
∑
i=1
1023
mi=(1+1)(99+1)(-1+1)(0+1)(25+1)(-36+1)(-91+1)(19+1)(-2+1)(11+1)-1=-1.
9．【2017 年福建预赛】已知集合A ={x∣log2(x -1)<1},B ={x|| x -a|<2}，若A ∩B≠⌀,则实数a的
取值范围为
.
【答案】(-1,5)
【解析】提示：由log2(x -1)<1,得0< x -1<2,1< x<3, A =(1,3)
由|x -a|<2,得-2< x -a<2,a-2< x<a+2,B =(a-2,a+2).
若A ∩B = ⌀,则a+2≤1或a-2≥3,a≤-1或a≥5.
所以A ∩B≠⌀时,a的取值范围为(-1,5).
10．【2017 年河南预赛】称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集,若集合A ={1,
2,3,⋯,2016,2017},则A的所有真子集中平凡集的个数为
.(允许用数的幂次表示)
【答案】2
2016-1
【解析】提示：对于集合{2,3,⋯,2016,2017},共有真子集2
2016-1个,设其中平凡集有m个(不含空集),其
他2
2016-1-m个,则A的所有真子集中平凡集包含：
①{2,3,⋯,2016,2017}的真子集中的平凡集,共m个;
②{1}∪M , M为{2,3,⋯,2016,2017}的真子集中的非平凡集,共2
2016-1-m个.
相加得A的所有真子集中平凡集的个数为2
2016-1个.
11．【2017 年湖北预赛】已知非空集合A ={x ∣m+1≤x ≤2m-1},B ={x ∣x
2-2 x - 15≤0},且A ⊆B,则
实数m的取值范围是
.
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【答案】[2,3]
【解析】提示:B ={x∣-3≤x ≤5},因为A ⊆B且A ≠⌀,所以-3≤m+1≤2m-1≤5,解得m的取值范围是
[2,3].
12．【2017 年四川预赛】设集合M ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
A ={( x , y , z)| x , y , z∈M , 且9|( x
3+ y
3+ z
3)}
.则集合A 中元素的个数是
.
【答案】243
【解析】
注意到,当x≡1(mod3)时,x
3≡1(mod 9);
当x≡2(mod3)时,x
3≡-1(mod 9);
当x≡0(mod3)时,x
3≡0(mod 9).
于是,对x∈Z,均有x
3≡0,1,-1(mod 9).
欲使91(x
3+ y
3+ z
3),则必有x、y 、均模3 余0,或x , y 、z模3 两两不同余.
故集合A中元素的个数为3
3+ A3
3×3×3×4 =243.
13．【2017 年广东预赛】已知S是正整数集合的无穷子集,满足对任意a,b,c∈S ,abc∈S,将S中的元素
按照由小到大的顺序排列成的数列记为{an},且已知a1=2,a2031=2
4061,则a2017=
.
【答案】2
4033
【解析】提示:由题意对任意a,b,c∈S ,abc∈S可知2×4
n-1=2
2n-1,(1≤n≤2031)都是数列{an}中的项，
所以a2017=2×4
2016=2
4033.
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14．【2017 年广西预赛】设a、b,c和d为复数.若集合S ={a,b,c ,d }具有性质“对任意x , y ∈S必有
xy ∈S,则当a=1,b
2=1,c
2=b时,b+c +d等于
.
【答案】-1
【解析】提示:因为S ={a,b,c ,d },由集合中元素的互异性可知当a=1 时,b=-1,c
2=-1,所以c =±i.
“对任意x , y ∈S必有xy ∈S”知-i∈S,即d =∓i.
所以b+c +d =(-1)+i+(-i)=-1.
15 ．【2017 年浙江预赛】已知两个命题, 命题p: 函数f (x)=loga x (x>0)单调递增; 命题q:函数
g(x)= x
2+ax +1>0(x∈R).若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围为
.
【答案】(-2,1]∪[2,+∞)
【解析】
提示:当且仅当a>1时,命题p成立;
当且仅当-2<a<2时,命题q成立.
若p∨q为真命题,p∧q为假命题,
则a∈(-2,1]∪[2,+∞)
16．【2016 年福建预赛】已知集合A ={x| x
2-3 x +2≤0}，B ={x|
1
x -3 <a}若A⊆B，则实数a 的取值
范围是________.
【答案】(- 1
2 ，+∞)
【解析】
易知，A={x|1≤x≤2}.
当x∈A 时，1
x -3 ∈[-1，- 1
2 ].
故a>- 1
2
.
从而，a 的取值范围是(- 1
2
，+∞).
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17 ．【2016 年新疆预赛】设集合I ={1,2,…,n}(n≥3). 若I的两个非空真子集A 、B满足
A ∩B =∅, A ∪B = I,则称A 、B 为I的一个划分.若对集合I的任一划分A 、B,均有A中或B中存在两个
数使得其和为平方数,则n 至少为______.
【答案】15
【解析】
当n=14时,取A = {1,2,4,6,9,11,13},B = {3,5,7,8,10,12,14}.
易知,A 、B中的任意两数之和均不为平方数.
从而,n=14不符合题意.
因而,n<14亦不合题意.
现考虑n=15.
用反证法.假设A 、B中的任意两数之和均不为平方数.
不妨设1∈A，
由1+3=2
2,1+8=3
2,1+15= 4
2⇒{3,8,15}⊆B;
由3+6=3
2,3+13= 4
2,15+10=5
2⇒{6,13,10}⊆A.
但6+10= 4
2,与A中任意两数之和均不为平方数的假定矛盾.
因此,n=15符合题意.从而,n 的最小值为15.
18．【2016 年吉林预赛】某次英语竞赛后，小明、小乐和小强分列前三名．老师猜测：“小明第一名，小
乐不是第一名，小强不是第三名．”结果老师只猜对了一个．由此推断：前三名依次是_______.
【答案】小乐、小强、小明
【解析】
若老师的猜测：小明第一名正确，则小乐不是第一名也正确，不合题意，据此可知第一名不是小明；
若老师的猜测：小乐不是第一名正确，结合第一名不是小明，则第一名是小强，这样小强不是第三名也是
正确的，不合题意，据此可知第一名不是小强；
据此可知第一名是小乐，且小强不是第三名是正确的，故第二名是小强，第三名是小明.
检验老师的说法：小明第一名，小乐不是第一名，小强不是第三名，只有小强不是第三名是正确的，满足
题意.
19．【2016 年吉林预赛】某次英语竞赛后，小明、小乐和小强分列前三名．老师猜测：“小明第一名，小
乐不是第一名，小强不是第三名．”结果老师只猜对了一个．由此推断：前三名依次是_______.
【答案】小乐、小强、小明
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【解析】
若老师的猜测：小明第一名正确，则小乐不是第一名也正确，不合题意，据此可知第一名不是小明；
若老师的猜测：小乐不是第一名正确，结合第一名不是小明，则第一名是小强，这样小强不是第三名也是
正确的，不合题意，据此可知第一名不是小强；
据此可知第一名是小乐，且小强不是第三名是正确的，故第二名是小强，第三名是小明.
检验老师的说法：小明第一名，小乐不是第一名，小强不是第三名，只有小强不是第三名是正确的，满足
题意.
20．【2016 年上海预赛】设S={1，2，···,11}，对S 的每个七元子集，将其中七个数从小到大排列，取出
中间的数。则所有取出的中间数的和等于__________。
【答案】1980
【解析】
S 的七元子集共有C11
7 个.对每一个七元子集
A ={a1,a2,⋅⋅⋅,a7}(1≤a1<a2<⋅⋅⋅<a7≤11) ，唯一对应另一个七元子集
B ={12-a1,12-a2,⋅⋅⋅,12-a11},
其中，11≥12-a1>12-a2>⋅⋅⋅>12-a11≥1
集合A 与B 的中间数分别为a4与12-a4,它们的和为12.
因此,所有中间数的和等于C11
7
2 ×12=1980
.
21．【2016 年新疆预赛】集合A是由{1,2,⋅⋅⋅,50}中的40 个元素组成的子集，S为集合A中的所有元素
之和，则S的取值个数为______.
【答案】401
【解析】
注意到，S的最小值为1+2+⋅⋅⋅+ 40=820，
S的最大值为11+12+⋅⋅⋅+50=1220.
设集合A中的元素k为使得k +1不是集合A中的元素的最小元素.
若S≤1219，则k ≠50，把k替换为k +1，得由40 个元素组成的子集B，其和为S+1.
从而，S的取值个数为1220-820+1= 401.
22．【2016 年新疆预赛】将集合¿中的数从小到大排列，则第60 个数为______（用数字作答）.
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【答案】2064
【解析】
易知，0≤x< y ≤n的(x , y)组合共有Cn+1
2
个.
注意到，C11
2 =55<60<66=C12
2 .
因此，第60 个数满足y =11，x = 4，即第60 个数为2
11+2
4=2064.
23．【2016 年四川预赛】对于任何集合S，用|S|表示集合S 中的元素个数，用n（S）表示集合S 的子集
个数.若A、B、C 为三个有限集，且满足（1）|A|=|B|=2016；（2）n|A|+n|B|+n|C|=n( A ∪B∪C).
则|A ∪B∪C|的最大值为_______.
【答案】2015
【解析】
由条件知2
2016+2
2016+2|C|=2|A ∪B∪C|，即1+2|C|-2017=2|A ∪B∪C|-2017
则|C|=2017，|A ∪B∪C|=2018.
显然，|A ∪B∪C|≤min{|A|,|B|}=2016.
若|A ∪B∪C|=2016，则A = B⊆C.
从而，|A ∪B∪C|=|C|=2017，矛盾.
于是，|A ∪B∪C|≤2015.
构造：A = {1,2,⋯,2015,2016}，
B = {1,2,⋯,2015,2017}，
C = {1,2,⋯,2015,2016,2018}符合条件.
从而|A ∪B∪C|的最大值为2015.
24 ．【2016
年辽宁预赛】记[x] 表示不超过实数
x
的最大整数. 设集合
A ={x | x
2-[x]=2},B = {x |-2< x <2}则A ∩B = ______.
【答案】{-1,3}
【解析】
若x∈B,则[x]∈{-2,-1,0,1,2}代入集合A 得x
2∈{0,1,2,3,4}⇒x∈{0,±1,± ❑√2,± ❑√3,±2}.
经检验,只有A∩B={-1,3}
25．【2016 年江苏预赛】已知集合A =¿．则实数a 的取值范围是__________．
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【答案】[2+ ❑√5,+∞)
【解析】
作图可知，若A ⊆B，则a>0，且点(2,1)到直线2 x + y -3-a=0的距离不小于1，
即|2-a|
❑√5 ≥1⇒a≥2+ ❑√5．故a∈[2+ ❑√5,+∞)．
26．【2016 年湖南预赛】当一个非空数集F满足条件“若a 、b∈F，则a+b、a-b、ab∈F，且当
b≠0时，a
b ∈F”时，称F为一个数域. 以下四个关于数域的命题：
①0 为任何数域的元素；
②若数域F有非零元素，则2016∈F；
③集合P ={x| x =3k ,k ∈Z }为数域；
④有理数集为数域.
其中，真命题的编号为______（写出所有真命题的编号）.
【答案】①②④.
【解析】
根据数域的定义判断，命题①、②、④均正确.
取a=3，b=6，则a、b∈P，但a
b = 1
2 ∉P，即命题③错误.
27．【2016 年湖北预赛】从五个正整数a、b、c、d、e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{44，45，
46，47}，则a+ b+c+d+e=_________.
【答案】57
【解析】
从五个正整数中任取四个求和，共有五种取法，应该得到五个和值．而集合{44，45，46，47}中只有四个
元素，则一定有两个和值相等．故
44+ 44 + 45+ 46+ 47≤4 (a+b+c +d +e)≤44 + 45+ 46+ 47+ 47
⇒226≤4 (a+b+c +d +e)≤229
又a、b、c、d 、e为整数，得
4 (a+b+c +d +e)=228⇒a+b+c +d +e =57.
28．【2016 年河南预赛】集合{1,2,⋯,2016}的元素和为奇数的非空子集的个数为_______。
【答案】2
2015
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【解析】
令f (x)=(1+ x)(1+ x
2)⋯(1+ x
2016).
则所求值即为f (x)的展开式中x的奇次项的系数和.
故元素和为奇数的非空子集的个数为1
2 (f (1)- f (-1))=2
2015.
29．【2015 年上海预赛】已知集合A ={(x , y)¿.则使得A ∩B≠∅的整数a 共有________个.
【答案】10
【解析】
设(x , y)∈A ∩B.则
x =n，y =-3n+2=a(a
2-n+1)(n∈Z+).
于是，(a-3)n=a
3+a-2. ①
若a=3，则式①中，
左边 = 0，
右边=27+3-2>0，矛盾.
从而，a≠3.
故n= a
3+a-2
a-3
= (a-1)(a
3+a+2)
a-3
=a
2+3a+10+ 28
a-3
.
因为a∈Z ,n∈Z+，所以，(a-3)¿.
故a=3=±1,±2,± 4 ,±7 ,±14 ,±28.
由n∈Z+，知a>3 或a<1.
综上，使A ∩B≠∅的整数a 共有10 个.
30．【2015 年新疆预赛】设集合A ={1,2,⋯,2014}.现对A 的任一非空子集X，令aX表示X 中最大数与最
小数之和.则所有这样的aX的算术平均值为________.
【答案】2015
【解析】
将集体A 的非空子集进行配对.对每个X ={x1, x2,⋯, xk }，不妨设x1< x2<⋯< xk.
令X ' ={2015- x ¿.
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则X ' ⊆A，且aX = x1+ xk ,aX ' = 4030-(x1+ xk).
若X ≠X，则aX +aX ' = 4030；
若X = X，则aX =2015.
综上，所有aX的算术平均值为2015.
31．【2015 年陕西预赛】已知集合A = {1,3,5,7,9}，B = {2,4,6,8,10}.若集合C =¿，则集合C中元素的个数
为______.
【答案】9
【解析】
因为a为奇数，b为偶数，所以，集合C中的元素均为奇数.
又a+b的最小值为3，最大值为19，且3 与19 之间的奇数均可以取到，
从而，集合C中的元素共有9 个.
32．【2015 年山西预赛】设集合M = {1,2,⋯,12}，三元集A = {a,b,c}满足A ⊂M，且a+b+c为平方.则
集合A 的个数为________.
【答案】26
【解析】
由6≤a+b+c≤33，知在此范围内的平方数有9、16、25，不设防a<b<c.
若a+b+c =9，则c 的取值只有6、5、4 这三种情形，
此时，A = {1,2,6},{1,3,5},{2,3,4};
若a+b+c =16，则7≤c≤12，可取：
A = {1,3,12},{1,4 ,11},{2,3,11}，{1,5,10},{2,4 ,10},{1,6,9}，
{2,5,9},{3,4 ,9},{1,7 ,8}，{2,6,8},{3,5,8},{3,6,7}，{4,5,7}；
若a+b+c =25，则10≤c≤12，
此时，A = {2,11,12},{3,10,12},{4,9,12}，{4,10,11},{5,8,12},{5,9,11}，
{6,7,12},{6,8,11},{6,9,10}，{7,8,10}.
共得26 个集合A.
33．【2015 年山东预赛】已知集合M = {1,2,…,99}.现随机选取M中九个元素构成子集,记该子集中的最小
数为ξ,则Eξ =______.
【答案】10
【解析】
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集合M 中以正整数k(1≤k ≤99)为最小数的九元子集共有C99-k
8
个.
故P(ξ =k )= C99-k
8
C99
9
，
⇒Eξ =∑
k =1
91 k C99-k
8
C99
9
= 1
C99
9 ∑
k =8
98
∑
h=8
k
C j
8= 1
C99
9 ∑
k =8
98
Ck +1
9
= C100
10
C99
9 =10.
34．【2015 年吉林预赛】非空集合A =¿.当(x , y)∈A时，函数z = y - x既存在最大值，又存在最小值，则
实数a的取值范围是______.
【答案】[2,+∞)
【解析】
当a>2时，函数图像与平面直角坐系所围成的区域为三角形，显然满足；
当a=2时，函数z = y - x分别在边界x - y -1=0和2 x -2 y +8=0上取得最小值和最大值.
35．【2015 年湖南预赛】记集合T = {0,1,⋅⋅⋅,6}，M =¿.将集合M中的元素按从大到小顺序排列，则第
2015 个数为__________.
【答案】386
2401
【解析】
将集合M中的每个数乘以7
4得M
' =¿.
则集合M
'中的最大数为(6666)7=(2400)10
.
在十进制数中，从2400 起从大到小顺序排列的第2015 个数为2400-2014 =386，
即为集合M
'中的元素按从大到小顺序排列的第2015 个数.
将此数再除以7
4得386
2401
，即为集合M中的元素按从大到小顺序排列第2015 个数.
36．【2015 年河南预赛】已知集合Αk =¿ 用nk
表示集合Ak
中所有元素之和，则∑
K =1
2015
nk
=________.
【答案】2
4031+1
3
-2
2015
【解析】
由二进制，知无论ai如何取值，集合Ak中的元素互不相同.
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考虑到ai
有0、1 两种取值，当ai
＝1 时，2
ai+i=2
i+1(i =0,1,⋯,k -2)出现2
k -2次，
则nk =2
k -1×2
k -1+2
k -2(2
k -1+2
k -2+⋯+2)=2
2k -1-2
k -1.
故∑
k =1
2015
nk =∑
k =1
2015
(2
2k -1-2
k -1)= 2
4031+1
3
-2
2015.
37．【2015 年甘肃预赛】设集合A ={x|2a+1≤x ≤3a+5}, B ={x|3≤x ≤33}, A ⊆A ∩B则a 的取值范
围是______.
【答案】(-∞,- 4)∪[1, 28
3 ]
【解析】
由A ⊆A ∩B,知A ⊆B.
当A =∅时,
2a+1>3a+5=a<- 4.
当A ≠∅时,a≥-4.
故¿.
综上,a∈(-∞,- 4)∪[1, 28
3 ]
.
38．【2015 年福建预赛】设集合A =¿，从集合A中随机抽取一个元素x，记ξ = x
2.则随机变量ξ的数学期望
Eξ =__________.
【答案】5
【解析】
由条件知A = {- 4 ,-3,-2,-1,0,1,2}，随机变量ξ的取值为0、1、4、9、16.
易得ξ的概率分布列为：
ξ
0
1
4
9
16
P
1
7
2
7
2
7
1
7
1
7
故Eξ =0× 1
7 +1× 1
7 + 4× 1
7 +9× 1
7 +16× 1
7 =5.
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