1 / 11
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题04 集合第四缉
1．【2021 年吉林预赛】平面直例坐标系内有10 个不|同点P1(x1, y1), P2(x2, y2),⋯, P10(x10, y10) ，若
xi= x j 或yi= y j ,则称Pi 与P j 为一个“同标点对”(不考虑Pi 与P j 的次序).若10 个不同点满足：与每个
点构成“同标点对”的点均不超过m 个：无论何种棒况，都可以塔好将它们分成5 个点对，钱个点对都不
是“同标点对”.求m 的最大值.
2．【2021 年全国高中数学联赛A 卷二试】求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4，以及集合
A ⊆{1,2,⋯,n},若|A|>cn,则存在函数f : A →{1,-1},满足| ∑
a∈A
❑
f (a)⋅a|≤1.
3．【2021 年全国高中数学联赛B 卷二试】求最大的正整数n, 使得存在8 个整数x1, x2, x3, x4和
y1, y2, y3, y4,满足:{0,1,⋯,n}⊆{|xi- x j|∣1≤i< j≤4}∪{|yi- y j|∣1≤i< j≤4}.
2 / 11
4．【2020 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设集合A ={1,2,⋯,19}.是否存在集合A 的非空子集S1,S2,满
足
(1) S1∩S2=∅,S1∪S2= A；
(2) S1,S2都至少有4 个元素;
(3) S1的所有元素的和等于S2的所有元素的乘积?
证明你的结论.
5．【2020 年四川预赛】设m 是给定的正整数.证明:对于任意给定的正整数n(n⩾2) ,均存在集合
A ={a1,a2,⋯,an}⊆Z+
,使得对于任意的正整数k(1⩽k ⩽n) ,均有ak∣(m+ P( A )
ak
), 其中,P( A ) 表示
集合A 中的元素之积.
6．【2019 年全国】设V 是空间中2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E
为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908 个二元
3 / 11
子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
7．【2019 年浙江预赛】设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族:F ={A1, A2,⋯, Ai}.
如果F中的部分子集构成的集族S满足:对S中任意两个不相等的集合A ､B，A ⊂B ,B⊂A均不成立，则称
S为反链. 设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链. 证明存在S2到S1的单射f ，满足
∀A ∈S2,f ( A )⊂A或A ⊂f ( A )成立.
8．【2019 年北京预赛】已知集合M = {2,0,1,9},A是M的子集,且A中各元素之和为3的倍数,则满足条件的
子集A的个数是
(A)8.
(B)7.
(C)6.
(D)5.
9．【2019 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设V 是空间中2019 个点构成的集合，其中任意四点不共面某
些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件:若E 至少有n 个元素，则
E 一定含有908 个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空
集.
10．【2018 年福建预赛】设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M 的子集S 满足：对S 中任意3 个元素a，
b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S 的元素个数的最大值.
4 / 11
11．【2018 年湖南预赛】已知集合A =¿.
(1)若A ∪B = B，求实数m 的取值范围:
(2)若A ∩B≠ϕ，求实数m 的取值范围.
11．【2018 年广东预赛】已知正整数n 都可以唯一表示为n=a0+a1⋅9+a2⋅9
2+⋯+am⋅9
m ①的形
式，其中m 为非负整数，a j∈{0,1,⋯,8}（j =0，1,⋯,m-1），am∈{1,⋯,8}.试求①中的数列
a0,a1,a2,⋯,am严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和.
13．【2018 年山东预赛】证明对所有的正整数n≥4，存在一个集合S，满足如下条件：
（1）S由都小于2
n-1的n个正整数组成；
（2）对S的任意两个不同的非空子集A 、B，集合A中所有元素之和不等于集合B中所有元素之和．
5 / 11
14．【2018 年江西预赛】将前12 个正整数构成的集合M = {1,2,⋯,12}中的元素分成四个三元子集，使得
每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．
15．【2018 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设n、k、m 是正整数，满足k≥2，且n⩽m< 2k -1
k
n.设A 是
{1，2，…，m}的n 元子集.
证明:区间(0,
n
k -1)
中每个整数均可表示为a－a'，其中a，a'∈A.
15．【2018 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设集合A={1，2，…，n}，X、Y 均为A 的非空子集(允许
X=Y).X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为maxX、minY.求满足maxX>minY 的有序集合对(X，Y)的数目.
16．【2017 高中数学联赛B 卷（第02 试）】给定正整数m，证明:存在正整数k，使得可将正整数集N+分
拆为k 个互不相交的子集A1, A2,⋯, Ak，每个子集Ai中均不存在4 个数a、b、c、d(可以相同)，满足ab－
cd=m.
6 / 11
18．【2017 年河北预赛】已知集合A ={1,2,3,4 ,⋯,101},集合B⊆A,且集合B中的最小元素是偶数.
(1)若集合B中的最小元素是2,最大元素是13,求满足条件的集合B的个数;
(2)求所有满足条件的集合B中的最大元素之和.
19．【2017 年山西预赛】求所有的正整数n,使得集合M ={1,2,⋯,4 n}可以分拆成n个四元子集:
M =¿k =1¿n M k
,对于每个子集M k ={ak ,bk ,ck ,dk}(k =1,2,⋯,n)中的ak ,bk ,ck ,dk
四个元素而言,其中的
一个元素等于另外三个元素的算术平均.
20．【2017 年江西预赛】设P ={1
2,2
2,3
2,⋯}是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n能够表示为
集合P中若干个(至少一个)互异元素的代数和,则称数n具有P结构.
证明：每个自然数n都具有P结构.
21．【2016 年福建预赛】若将集合A={1，2，…，n}任意划分为63 个两两不相交的子集(它们非空且并集
为A)A1，A2，…，A63，则总存在两个正整数x、y 属于同一个子集A1(1≤i≤63)，且x>y，31x≤32y.求满足条件
的最小正整数n.
7 / 11
22．【2016 年山东预赛】已知集合A、B 均是由正整数组成的集合，且|A|=20,|B|=16.集合A 满足以下
条件：若a、b、m、n∈A，且a+b=m+n，则{a,b}={m,n}.定义A + B ={a+b¿.试确定|A + B|的最小值.
23．【2016 年新疆预赛】设A 是由n 个正整数构成的集合,且A 中所有元素之和小于2
n-1.证明:集合A 至
少有两个没有公共元素的非空子集,其元素之和相同.
24．【2016 年浙江预赛】设集合A =¿。用∑
x∈A
❑
1
x 表示集合A中所有元素的倒数之和。证明：∑
x∈A
❑
1
x <3。
25．【2016 年新疆预赛】设A为一个含有n个元素的集合，A1, A2,⋅⋅⋅, An为集合A的互不相同的n个子
集. 证明：在集合A中存在一个元素a，使得A1- {a}，A2- {a}，…，An- {a}仍为互不相同的集合，其中，
Ai- {a}=¿.
26．【2016 年湖北预赛】已知A =¿，且B⊂A．求实数a 的取值范围．
8 / 11
27．【
2015
年
全
国
】
设
a1、a2、a3、a4为
四
个
有
理
数
，
使
得
{aia j|1≤i< j≤4}={-24 ,-2,- 3
2 ,- 1
8 ,1,3}.求a1+a2+a3+a4的值.
28．【2015 年全国】设S ={A1, A2,⋅⋅⋅, An}(n≥2)，其中，A1, A2,⋅⋅⋅, An 为n个互不相同的有限集
合，满足对任意Ai、A j∈S，均有Ai∪A j∈S.若k = min
1≤i≤n| Ai|≥2（| X |表示有限集合X的元素个
数），证明：存在x∈¿i=1¿n Ai，使得x属于A1, A2,⋅⋅⋅, An中的至少n
k
个集合.
29．【2015 年安徽预赛】已知31 名学生参加了某次考试，考试共有10 道题，每名学生至少解出了6 道题.
证明：存在两名学生，他们解出的题目中至少有5 道相同.
30 ．【2015 年北京预赛】集合S1、S2为S = {2,3,⋅⋅⋅,2015}的一个等浓二分划（即
S1∪S2= S，S1∩S2=∅，且|S1|=|S2|=1007.记集合S1
中所有数的积为a，集合S2
中所有数的积为b，称
p=a+b 为S的等浓二分划的特征数.证明：
（1）集合S的等浓二分划的特征数一定为合数；
9 / 11
（2）若等浓二分划的特征数不为2 的倍数，则该特征数为2015
33的倍数.
注：有限集合M的元素个数简记为|M|.
31．【2015 年山西预赛】若集合M = {1,2,⋯,200}的子集A 中的每个元素均可表为两个自然数（允许相
同）的平方和，求集合A 中元素个数的最大值.
32．【2015 年江西预赛】从集合M = {1,2,⋯,36}中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和均不为
2015 的因数。求n的最小值。
33．【2015 年吉林预赛】已知A ⊆{1,2,⋅⋅⋅,2014}，设实数λ1、λ2、λ3、x1、x2、x3满足
（i）λ1、λ2、λ3∈{-1,0,1}且不全为0；
（ii）x1、x2、x3∈A；
（iii）若xi= x j
，则λi λ j≠-1(1≤i 、j≤3).
若所有形如x1 x2 x3和λ1 x1+ λ2 x2+ λ3 x3的数均不为2014 的倍数，则称集合A为“好集”.求好集A所含元
素个数的最大值.
10 / 11
34．【2015 年福建预赛】若对任意的正整数m，集合{m,m+1,m+2,⋅⋅⋅,m+99}的任意n(n≥3)元子集
中，总有三个元素两两互素.求n的最小值.
35．【2015 高中数学联赛（第02 试）】设S ={A1, A2,⋯, An}(n⩾2)，其中A1, A2,⋯, An
为n 个互不相
同的有限集合，满足对任意Ai, A j∈S，均有Ai∪A j∈S.若k =min1⩽i⩽n|Ai|⩾2(|X|表示有限集合X 的
元素个数)，证明：存在x∈¿i=1¿n Ai，使得x 属于A1, A2,⋯, An中的至少n
k
个集合.
11 / 11
