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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题16 三角函数与解三角形第三缉
1．【2017 年山西预赛】若三个角x、y , z构成等差数列,其公差为π
3
,则tan x⋅tan y +tan y.
tan z +tan z⋅tan x =
.
【答案】-3
【解析】提示:tan x =tan( y - π
3)=tan y - ❑√3
1+ ❑√3⋅tan y ,tan z =tan( y + π
3)=tan y + ❑√3
1- ❑√3⋅tan y
，
所以tan x tan z = tan
2 y -3
1-3 tan
2 y
，tan y ⋅(tan x + tan z)= tan
2 y - ❑√3 tan y
1+ ❑√3 tan y
+ tan
2 y + ❑√3 tan y
1- ❑√3 tan y
=
8 tan
2 y
1-3 tan
2 y
，
相加得tan x⋅tan y + tan y ⋅tan z + tan z⋅tan x =-3.
2．【2017 年辽宁预赛】设f (x)是定义在R上的函数,满足f (x)+cos
2 x|≤3
4 ,|f (x)-sin
2 x∣≤1
4 ,则函数
f (x)的解析式为
.
【答案】f (x)=sin
2 x - 1
4
【解析】提示：由已知及1=sin
2 x +cos
2 x ≤|f (x)+cos
2 x|+|f (x)-sin
2 x|≤3
4 + 1
4 =1得
|f (x)+cos
2 x|= 3
4 ,|f (x)-sin
2 x|= 1
4 .
从而f (x)=sin
2 x - 1
4
.
3．【2017 年吉林预赛】已知锐角三角形ABC中,sin( A + B)= 3
5 ,sin( A - B)= 1
5 , AB =3,则△ABC的面积
为
.
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【答案】3(❑√6+2)
2
【解析】由{
sin( A + B)= 3
5
sin( A - B)= 1
5
得{
sin A cos B+cos A sin B = 3
5
sin A cos B -cos A sin B = 1
5
，
即{
sin A cos B = 2
5
cos A sin B = 1
5
，故tan A =2tan B.
又因为tan( A + B)=sin( A + B)
cos( A + B) =
3
5
- 4
5
=- 3
4
，
且tan( A + B)=tan A +tan B
1-tan A tan B =
3tan B
1-2tan
2B
所以tan B =
❑√6+2
2
.
设AB边上的高为h,则3= AB =
h
tan A +
h
tan B =
3h
2tan B
，即h=2tan B,
故S = 1
2 AB⋅h= 1
2 ⋅3⋅2tan B =3tan B = 3(2+ ❑√6)
2
.
4．【2017 年山东预赛】函数f (x)=sin x -1
❑√3-2cos x -2sin x
(0≤x ≤2π )的值域为
.
【答案】[-1,0]
【解析】提示:令1-sin x =a,1-cos x =b,则y = f (x)=-a
❑√a
2+b
2 (0≤a≤1,0≤b≤1),
且(a-1)
2+(b-1)
2=1,所以点P(a,b)在圆(x -1)
2+( y -1)
2=1上.
如图所示,设直线OP的倾斜角为θ,则0≤θ≤π
2
,所以y =-cosθ∈[-1,0].
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5．【2017 年山东预赛】在一个边长为a的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以90
∘旋转喷
水,每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为a,则草坪上能同时被四
个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为
.
【答案】π
3 +1- ❑√3
【解析】提示：如图,即求凸四边形EFGH的面积占正方形ABCD的面积的比例.
过E作EK ⊥CD,以B点为原点,BC为x轴,BA为y轴建立坐标系,
则^
AC所在圆的方程为x
2+ y
2=a
2,~
BD 所在圆的方程为(x -a)
2+ y
2=a
2,
联立方程得x = 1
2 a,y =
❑√3
2 a,即E(
a
2 ,
❑√3
2 a)
,则EK = 1
2 a, KC =
❑√3
2 a.
同理可得G(
a
2 ,a-
❑√3
2 a), F(a-
❑√3
2 a, a
2), H(
❑√3
2 a, a
2)
.所以∠DCE =∠BCF =∠ECF = π
6
,
因此S弓形EF= 1
2 a
2⋅π
6 - 1
2 ⋅a
2⋅sin π
6 =(
π
12 - 1
4)a
2.
所以则草坪上能同时被四个喷水装置覆盖的区域占整个草坪的比例为π
3 +1- ❑√3.
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6 ．【2017 年福建预赛】在△ABC中, 内角A ,B、C所对的边分别是a,b,c, 且
sinC cos A
2 =(2-cosC)sin A
2 cos A = 3
5 ,a= 4,则△ABC的面积为
.
【答案】6
【解析】提示：由sinC cos A
2 =(2-cosC)sin A
2
,知2sinC cos
2 A
2 =2(2-cosC)sin A
2 cos A
2
，
所以sinC (1+cos A)=(2-cosC)sin A sinC +sinC cos A =2sin A -cosC sin A，
故sinC +sinC cos A +cosC sin A =2sin A sinC +sin(C + A )=2sin A.
所以sinC +sin B =2sin A,即c +b=2a.
又cos A = 3
5 ,a= 4所以4
2=b
2+c
2-2bccos A,
即4
2=b
2+(8-b)
2-2b(8-b)× 3
5 ,解得b=3或b=5.
所以{
b=3,
c =5.或{
b=5,
c =3
所以S△ABC = 1
2 bcsin A = 1
2 ×3×5× 4
5 =6.
7．【2017 年江西预赛】若sin x +cos x =
❑√2
2
,则sin
3 x +cos
3 x =
.
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【答案】5 ❑√2
8
【解析】提示:sin xcos x = (sin x +cos x)
2-1
2
=- 1
4
,
sin
3 x +cos
3 x =(sin x +cos x)
3-3sin xcos x (sin x +cos x)=
❑√2
4 + 3 ❑√2
8
= 5 ❑√2
8
8．【2017 年贵州预赛】已知△ABC中,A = π
3 , AB
AC = 5
8
,内切圆半径r =2❑√3,则这个三角形的面积为
.
【答案】40 ❑√3
【解析】提示:由AB
AC = 5
8
,设AB =5 x , AC =8 x,又由A = π
3
及余弦定理得BC =7 x.
因为△ABC的内切圆半径r =2❑√3,
根据三角形面积公式,得1
2 ⋅8 x⋅5 xsin π
3 = 1
2
(5 x +8 x +7 x)r ⇒x =2,
故S△ABC = 40 ❑√3.
9．【2017 年安徽预赛】设圆内接四边形ABCD的边长分别为AB =3,BC = 4 ,CD =5,DA =6,则四边形
ABCD的面积是
.
【答案】6 ❑√10
【解析】提示：由余弦定理,A C
2= A B
2+ BC
2-2 AB⋅BC ⋅cosB =C D
2+ D A
2-2CD⋅DA ⋅cos D .
再由A ,B、C 、D四点共圆,∠B+∠D = π.
因此，cosB = 3
2+ 4
2-5
2-6
2
2(3×4 +5×6) =- 3
7 ,
四边形ABCD的面积S = 1
2 AB⋅BC ⋅sin B+ 1
2 CD⋅DA ⋅sin D = 1
2
(3×4+5×6)
❑√40
7
=6 ❑√10.
10
．
【
2017
年
安
徽
预
赛
】
设
θ∈[0,2π ],
若
对
任
意
x∈[0,1]恒
有
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2 x
2sinθ - 4 x (1- x)cosθ+3(1- x)
2>0,则θ的取值范围是
.
【答案】(
π
6 ,π)
【解析】提示:sinθ = f (1)>0.
设x∈(0,1)满足2 x
2sinθ =3(1- x)
2,则f (x)=2 x (1- x)(❑√6sinθ -2cosθ)>0.
另一方面,由sinθ>0且❑√6sinθ -2cosθ>0,可得对于x∈[0,1]都有f (x)>0.
注意到g(θ)= ❑√6sinθ -2cosθ在[0, π
2]
上单调递增,g(
π
6)=0.
故θ的取值范围是(
π
6 ,π)
.
11．【2017 年广东预赛】设m、n均为正整数,则∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m +∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =
.
【答案】1 或0
【解析】提示：因为cos 2kπ
m +isin 2kπ
m ,k =0,1,⋯,m-1,cos 2kπ
n +isin 2kπ
n ,k =0,1,⋯,n-1,分
别是多项式x
m-1与x
n-1的根,
因此当m>1,n>1时由根与系数的关系可得
∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m +i∑
k =0
m-1
sin 2kπ
m =0∑
k =0
n-1
cos 2kπ
n +i∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =0，
所以∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m =0,∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =0，
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故∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m +∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =0，
而当m=1时,∑
k =0
m-1
cos 2kπ
m +∑
k =0
n-1
sin 2kπ
n =1.
12．【2017 年广东预赛】已知α , β ,γ是一个三角形的三个内角,如果cosα +cos β +cosγ取得最大值,则
sinα +sin β +sin γ =
.
【答案】3 ❑√3
2
【解析】提示:若α , β ,γ中至少有两个不等,不妨设α ≠β,
则
cosα +cos β +cosγ =2cos α + β
2
cos α - β
2
-cos(α + β)<2cos α + β
2
-2cos
2 α + β
2
+1=- 1
2(2cos α + β
2
-1)
2
+ 3
2 ≤3
2
因此当且仅当α = β = γ = π
3
时,cosα +cos β +cosγ取得最大值,
故sinα +sin β +sin γ = 3 ❑√3
2
.
13．【2017 年广西预赛】函数y =sin xcos x
1+sin x +cos x
的最大值是
.
【答案】
❑√2-1
2
【解析】提示:设t =sin x +cos x = ❑√2sin(x + π
4).
因为-1≤sin(x + π
4)≤1,所以- ❑√2≤t ≤❑√2.
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因为t
2=1+2sin x cos x ,sin x cos x = t
2-1
2
，y = t
2-1
2
× 1
1+t = t -1
2
，
所以最大值是
❑√2-1
2
.
14．【2017 年浙江预赛】设x , y ∈R,且sin
2 x -cos
2 x +cos
2 xcos
2 y -sin
2 xsin
2 y
sin(x + y)
=1,则x - y =
.
【答案】2kπ + π
2
【
解
析
】
提
示
：
由
于
sin
2 x -cos
2 x +cos
2 xcos
2 y -sin
2 xsin
2 y =sin(x + y)sin(x - y)且sin(x + y)≠0,所以sin(x - y)=1.
故x - y =2kπ + π
2 ,k ∈Z+.
15．【2017 年湖南预赛】设0≤x ≤π,且3sin x
2 = ❑√1+sin x - ❑√1-sin x,则tan x =
.
【答案】0
【解析】
提示：已知等式可化为9sin
2 x
2 =2-2
❑√1-sin
2 x，即9sin
2 x
2 =2-2|cos x|.
若0⩽x⩽π
2
，则9sin
2 x
2 =2-2cos x = 4 sin
2 x
2
，
所以sin x
2 =0，即x =0，tan x =0.
若π
2 < x ≤π,则9sin
2 x
2 =2+2cos x = 4cos
2 x
2 ,
所以tan x
2 = 2
3 <1(不合要求,舍去),故tan x =0.
16．【2017 年江苏预赛】若sin xsin2 xsin3 x +cos xcos2 xcos3 x =1,则x =
.
【答案】kπ ,k ∈Z
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【解析】提示:因为
1=|sin xsin2 xsin3 x +cos xcos2 xcos3 x|≤|sin xsin2 xsin3 x|+|cos xcos2 xcos3 x|≤|sin xsin2 x|+|cos
所以|cos x|=1,或|cos3 x|=1.
若|cos3 x|=1,则sin3 x =0,从而|cos x|=1.
由|cos x|=1,得x =kπ ,k ∈Z.
经检验可知,x =kπ ,k ∈Z满足原方程.
17．【2017 年新疆预赛】函数f (x)=(sin x -1)(cos x -1)(x∈R)的值域为
.
【答案】[0, 3+2❑√2
2 ]
【解析】提示:由f (x)=(sin x -1)(cos x -1)=sin xcos x -(sin x +cos x)+1.
令t =sin x +cos x∈[- ❑√2,❑√2],则sin xcos x = t
2-1
2
,
故f (x)= t
2-1
2
-t +1= 1
2
(t -1)
2∈[0, 3+2❑√2
2 ]
.
18．【2017 年新疆预赛】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB =1,BC =3,CD = DA =2,则四边形
ABCD的面积为
.
【答案】2❑√3
【解析】提示：连结BD,则四边形ABCD的面积
S = S△ABD+ S△CBD= 1
2 AB⋅AD sin A + 1
2 CB⋅CD sinC =sin A +3sinC，
由A +C = π,可得C = π - A,故S = 4sin A.
由余弦定理得,B D
2= A B
2+ A D
2-2 AB⋅ADcos A =5- 4cos A ;
B D
2=C B
2+C D
2-2CB⋅CD cosC =13-12cosC =13+12cos A，
10 / 19
因此5- 4 cos A =13+12cos A，即cos A =- 1
2
，
由于0< A <π，故A = 2π
3 .
因此,四边形ABCD的面积为S = 4sin A =2❑√3.
19．【2017 年新疆预赛】在Rt △ABC中,∠C =60
∘.以C为圆心,BC为半径的圆交AC于D点,连结BD .弧
^
BD与弦BD将△ABC分为三部分(如图).则三部分面积之比S1:S2:S3=
.
【答案】(
❑√3- π
3):(
π
3 -
❑√3
2 ):
❑√3
2
【解析】
提示:设BC = x,则
{
S1= 1
2 AB⋅BC - 1
2 BC ⋅´BD = 1
2 x
2(tan π
3 - π
3 )= 1
2 (❑√3- π
3 )x
2
S2= 1
2 BC ⋅´BD - 1
2 BC ⋅CD sin π
3 = 1
2 ( π
3 -
❑√3
2 )x
2
S3= 1
2 BC ⋅CD sin π
3 = 1
2 ⋅
❑√3
2 x
2
，
从而S1:S2:S3=(❑√3- π
3 ):( π
3 -
❑√3
2 ):
❑√3
2
.
20．【2017 年新疆预赛】已知在△ABC中,tan A ,(1+ ❑√2)tan B ,tanC成等差数列.则∠B的最小值为
.
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【答案】π
4
【解析】提示:由于tan A、(1+ ❑√2)tan B ,tanC成等差数列,所以2(1+ ❑√2)tan B =tan A +tanC ①
又A + B+C = π .从而有
tan B =tan(π -( A +C))=-tan A +tanC
1-tan A tanC ⇒tan A tan BtanC =tan A +tan B+tanC . ②
将①代入②,得到tan A tanC =1+2(1+ ❑√2)=3+2❑√2=(1+ ❑√2)
2.
从而tan A、tanC >0.
再由均值不等式得：2(1+ ❑√2)tan B =tan A +tanC ≥2❑√tan A tanC =2(1+ ❑√2).
从而tan B≥1.由于0<B<π,故其最小值为π
4
.
21．【2017 年内蒙古预赛】锐角三角形的内角A ,B满足tan A -
1
sin2 A =tan B且cos
2 B
2 =
❑√6
3
,则
sin2 A =
.
【答案】2❑√6-3
3
【解析】提示：因为tan A -
1
sin2 A =tan B,所以2sin
2 A -1
sin2 A
=sin B
cosB ,
所以cos2 A cosB+sin2 A sin B =0,故cos(2 A - B)=0.
所以2 A - B = π
2 ,2 A = π
2 + B.所以sin2 A =cosB.
又cos
2 B
2 =
❑√6
3
,所以sin2 A =2cos
2 B
2 -1= 2❑√6-3
3
.
22．【2016 年福建预赛】若函数f ( x )=3cos(wx +π
6 )
❑
-sin(wx -π
3 )(ω>0) 的最小正周期为π，则
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f(x)在区间[0，π
2 ]上的最大值为________.
【答案】2❑√3
【解析】
注意到，f ( x)=3cos(wx +π
6 )-sin(wx -π
3 ) =3cos(wx +π
6 )-sin(wx +π
6 -π
2 )
=3cos(wx +π
6 )+cos(wx +π
6 ) = 4 cos(wx +π
6 )，
且f(x)的最小正周期为π.
则ω=2，f ( x)= 4cos(2 x +π
6 ).
又x∈[0，π
2 ]时，π
6 π≤2 x +π
6 ≤7π
6
.
故当2x+π
6
=，即x=0 时，f(x)在区间[0，π
2 ]上取最大值2❑√3.
23．【2016 年山东预赛】若实数x 满足arcsin x>arccos x，则关系式f (x)=
❑√2 x
2- x +3+2
❑√x
2- x的取值范
围是 ________.
【答案】{3}
【解析】
若-1≤x ≤0，则
arcsin x∈[- π
2 ,0],arccos x∈[
π
2 ,π]
.
此时，arcsin x<arccos x，不符合条件.
故0< x ≤1，此时，
arcsin x∈(0, π
2],arccos x∈[0, π
2)
.
而y =sin x在区间[0, π
2]
上为增函数，由条件得
sin (arcsin x)>sin (arccos x)
⇒x>
❑√1- x
2⇒|x|>
❑√2
2
.
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又0< x ≤1⇒
❑√2
2 < x ≤1.
由¿
⇒x∈(+∞,0]∪[1,+∞).
因此，x∈{1}.
从而，关系式f (x)的取值为{3}.
24．【2016 年山东预赛】arcsin
1
❑√10 +arcsin
1
❑√26 +arcsin
1
❑√50 +arcsin
1
❑√65 = ________.
【答案】π
4
【解析】
显然，arcsin
1
❑√10 < π
4 ,arcsin
1
❑√26 < π
4 ，
arcsin
1
❑√50 < π
4 ,arcsin
1
❑√65 < π
4 .
故arcsin
1
❑√10 +arcsin
1
❑√26 +arcsin
1
❑√50 +arcsin
1
❑√65
<π.
令z1=3+i, z2=5+i, z3=7+i, z4=8+i.
则arg z1=arcsin
1
❑√10 ,arg z2=arcsin
1
❑√26
，
arg z3=arcsin
1
❑√50 ,arg z4=arcsin
1
❑√65
，且
arg z1 z2 z3 z4
=arcsin
1
❑√10 +arcsin
1
❑√26 +arcsin
1
❑√50 +arcsin
1
❑√65
=arg650(1+i)= π
4
.
故arcsin
1
❑√10 +arcsin
1
❑√26 +arcsin
1
❑√50 +arcsin
1
❑√65 = π
4 .
25．【2016 年安徽预赛】设sin x +cos x = 1
2
.则sin
3 x +cos
3 x =________.
【答案】11
16
【解析】
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由sin x +cos x = 1
2 ⇒1+2sin x⋅cos x = 1
4 ⇒sin x⋅cos x =- 3
8 ⇒sin
3 x +cos
3 x
=(sin x +cos x)(sin
2 x -sin x ⋅cos x +cos
2 x)
= 1
2(1+ 3
8)= 11
16
.
26．【2016 年新疆预赛】设直角三角形的三边依次为a、b、c (c 为斜边),周长为6.则c的最小值为______.
【答案】6(❑√2-1)
【解析】
设直角三角形中边a 所对的角为a.则π <a< π
2
，
故a=csinα ,b=ccosα，
又a+b+c =6，
⇒c (sina+cosa+1)=6，
⇒c[
❑√2sin(a+ π
4)+1]=6，
⇒c =
6
❑√2sin(a+ π
4)+1，
因为sin(a+ π
4)在a= π
4
时取得最大值1,所以,当a= π
4
时,c 取得最小值6(❑√2-1).
27．【2016 年新疆预赛】计算cos2016° =______.
【答案】-
❑√5+1
4
【解析】
注意到, cos2016° =-cos36°
由
sin36° =cos54°⇒2sin18°⋅cos18° =cos36°⋅cos18° -sin36°⋅sin18° =cos36°⋅cos18° -2sin
218°⋅cos18
⇒2sin18° =cos36° -2sin
218° =1- 4 sin
218°，
⇒sin18° =
❑√5+1
4
，
15 / 19
⇒cos36° =1-2sin
218° =
❑√5+1
4
，
⇒cos2016° =-
❑√5+1
4
.
28．【2016 年新疆预赛】在△ABC中,∠A 、∠B、∠C的对边分别为a、b、c .若cos B
cosC =-
b
2a+c
.则
∠B =______.
【答案】2π
3
【解析】
由余弦定理得cosB = a
2+c
2-b
2
2ac
,cosC = a
2+b
2-c
2
2ab
，
将上两式代入条件得：
a
2+c
2-b
2
2ac
⋅
2ab
a
2+b
2-c
2 =-
b
2a-c ⇒a
2+c
2-b
2=-ac.
则cos B = a
2+c
2-b
2
2ac
=-ac
2ac =- 1
2
，
⇒∠B = 2π
3
(或120°).
29．【2016 年天津预赛】已知△ABC的周长为20,内切圆的半径为❑√3,BC =7.则tanA的值为______.
【答案】❑√3
【解析】
设AB = x , AC = y
由已知得
x + y =13,S△ABC =10 ❑√3.
由三角形面积公式及余弦定理得
1
2 xysinA =10 ❑√3,
x
2+ y
2-2 xycosA = 49.
由x + y =13,得x
2+ y
2=169-2 xy
代人式②得：xy (1+cosA)=60.
16 / 19
③得
sin A
1+cos A =
❑√3
3 ⇒tan A
2 =
❑√3
3 ⇒tan A =
2tan A
2
1- tan
2 A
2
= ❑√3.
30．【2016 年山西预赛】若函数y =3sin x - 4 cos x在x0处取得最大值，则tanx0的值为__________.
【答案】- 3
4
【解析】
设cosθ = 3
5 ，sinθ = 4
5 （θ为锐角）.
故tanθ = 4
3
.
故y =5(
3
5 sin x0- 4
5 cos x0)
=5sin(x0-θ)≤5.
当x0-θ =2k π+π
2
时，上式等号成立，此时，
tan x0= tan(2k π+π
2 +θ)= tan(
π
2 +θ)
=-cotθ =- 3
4 .
31．【2016 年全国】设函数f (x)=sin
4 kx
10 +cos
4 kx
10 (k ∈Z+).若对任意实数a，均有{f (x)¿，则k 的最小
值为________.
【答案】16
【解析】
由条件知f (x)=(sin
2 kx
10 +cos
2 kx
10)-2sin
2 kx
10 ⋅cos
2 kx
10
=1- 1
2 sin
2 kx
5 = 1
4 cos
2 2kx
5 + 3
4
，
当且仅当x = 5mπ
k
(m∈Z)时，f (x)取到最大值.
17 / 19
根据条件，知任意一个长为1 的开区间(a,a+1)至少包含一个最大值点.从而，5 π
k <1⇒k >5 π.
反之，当k >5 π时，任意一个开区间(a,a+1)均包含f (x)的一个完整周期，此时，{f (x)¿.
综上，k 的最小值为[5 π ]+1=16，其中，[x]表示不超过实数x 的最大整数.
32 ．【2016 年上海预赛】给定正实数a 、b(a> b) ，两点(❑√a
2- b
2，0)、(-
❑√a
2- b
2，0)到直线
xcosθ
a
+ ysinθ
b
=1的距离乘积为_____。
【答案】b
2
【解析】
直线方程可写成bcosθ·x +asinθ·y -ab=0
则
d1d2=|b
❑√a
2-b
2cosθ -ab|
b
2co s
2θ+a
2sin
2θ
=|a
2b
2-b
2(a
2-b
2)co s
2θ|
b
2co s
2θ+a
2sin
2θ
=|a
2b
2(1-co s
2θ)+b
4co s
2θ|
b
2co s
2θ+a
2sin
2θ
=b
2
33．【2016 年浙江预赛】若关于x、y的方程组¿有实数解，则正实数m的取值范围是__________。
【答案】[1,2]
【解析】
两式平方，消去x得sin
22 y = 4
3 (1-m
2)∈[0,1]⇒1≤m
2≤2.反之，当1≤m
2≤2时，也存在(x0, y0)满足
方程.因此，正实数m∈[1,2].
34．【2016 年上海预赛】关于x 的方程arctan 2
x -arctan 2
- x =π
6
的解为__________．
【答案】log2
❑√3
【解析】
在已知方程两边同取正切得2
x -2
- x
1+2
x×2
- x =
❑√3
3 ⇒2
x -2
- x = 2❑√3
3
⇒(2
x)
2- 2❑√3
3
×2
x -1=0．
又2
x>0，故2
x = ❑√3⇒x = log2
❑√3．
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35．【2016 年上海预赛】已知函数f (x)=cosπ x ,g(x)=2
x a- 1
2
(a≠0)．若存在x1、x2∈[0,1]，使
f (x1)= g(x2)成立，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】[- 1
2 ,0)∪(0, 3
2]
【解析】
设F、G 分别为f (x)、g(x)定义在区间[0,1]上的值域．
则F =[-1,1]，g(x)=¿，
存在x1、x2∈[0,1]，使得f (x1)= g(x2)⇔F ∩G≠∅⇔¿，
故a 的取值范围是[- 1
2 ,0)∪(0, 3
2]
．
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