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2027 年一轮复习第一章 集合与常用逻辑用语
高三数学测试卷
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2026·湖南株洲·模拟预测）若实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】已知实数
，
满足
，则
，故A 正确，B 错误；
，
，故
，即
，故C，D 错误．
2．（25-26 高三上·四川南充·期中）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】将不等式
移项得
，通分得
，即
，
等价于
，解得
，故C 正确.
3．（25-26 高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】C
【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得.
【详解】由
，则
、
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为.
4．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
5．（2026 高三·全国·专题练习）设
，下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
，
，即
；
，得
，即
，故A 正确；
对于B，
，由均值不等式得
，即
，
，故B 正确；
对于C、D ，
，由均值不等式得
，
；
，即
，故C 错误，D 正确.
6．（25-26 高三上·浙江衢州·期中）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
7．（2026 高三·全国·专题练习）关于
的一元二次方程
的两个实数根互为相反数，则
的
值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．2 或0
【答案】B
【分析】通过韦达定理求解，并验证即可解题.
【详解】设一元二次方程
的两个实数根为
，
由题意
，
解得
或
，
当
时，方程为
无解，舍去，
当
时，方程为
，两根为
符合题意.
故则
的值为0.
8．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图
为一个串联电路图，电源电压为
，定值电阻
的阻值为
，滑动变阻器
的阻值范围是
到
，已知纯电
阻电路下图的一个功率公式为
，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则
的功率的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】由题知，总电阻
，
电路电流
，
所以滑动变阻器功率为
，
因为
，当且仅当
即
时，等号成立，
此时
满足
到
的范围，
所以此时
最大，且为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·河南·三模）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】BD
【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断
与
的大小关系；
对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断
与
的大小关系；
对于选项C，可通过作差法比较
与
的大小；
对于选项D，可根据不等式的性质求出
的取值范围．
【详解】选项A，已知
，因为
，当
时，
，不满足
，所以
，则
．
不等式
两边同时除以
，不等号方向不变，可得
．
当
时，满足
，但此时
，所以选项A 错误．
选项B，已知
，因为
和
都有意义，所以
．
不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得
，即
。
因为函数
在
上单调递增，所以由
可得
，选项B 正确。
选项C，
，
因为
，所以
，
，则
，
所以
，即
，选项C 错误．
选项D，已知
，不等式两边同时乘以
，不等号方向改变，可得
，
又因为
，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变，
可得
，即
，选项D 正确．
10．（25-26 高三上·福建漳州·月考）下列说法正确的是（ ）
A．若实数
，
，满足
，则
；
B．若
，则函数
的最小值为
；
C．不等式
的解集为
；
D．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
．
【答案】AC
【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对
讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D．
【详解】若实数
，
，满足
，可得
，则
，故A 正确；
若
，设
，函数
即
，
由对勾函数的性质可知，函数
在
递增，
则函数
的最小值为
，故B 错误；
不等式
即为
，解得
，
即不等式的解集为
，故C 正确；
当
时，不等式
恒成立，
若
，则
恒成立；
若
，则
，解得
．
综上
的取值范围是
，故D 错误．
故选：AC
11．（25-26 高三·全国·一轮复习）（多选）下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
C．若
为负实数，则
D．若
为负实数，则
【答案】AD
【详解】由
，
，可得
，
，则由基本不等式可得，
，故A 正确；
当
时，
，
，不满足基本不等式中各项非负的条件，故B 错误；
若
0，则
，故C 错误；
当
时，
，由基本不等式可得，
，故D 正确．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（25-26 高三上·甘肃陇南·阶段检测）用不等号“＞”或“＜”填空．
①如果
，那么
______
；
②如果
，那么
______
；
③如果
，那么
______
．
【答案】
【分析】根据不等式的性质，利用作差法计算求解．
【详解】①
，
，
，
，即
；
②
，
，
，
，
，即
；
③
，
，
，
，即
，
故答案为：
．
13．（2026·河南开封·模拟预测）设
，则
的最小值为_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
故当
时，
的最小值为
.
14．（25-26 高三上·山东青岛·期中）若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则
的范
围是______；
【答案】
【分析】分类讨论求解不等式，结合解集中恰有两个整数可得答案.
【详解】当
时，显然不合题意；
当
时，原不等式可化为
，即
，所以
，
因为解集中恰有两个整数，所以
，即
；
当
时，原不等式可化为
，即
，
所以若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
或
，不合题意；若
时，则
，不合题意.
综上可得，
；
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（25-26 高三·全国·一轮复习）（1）设
，
为实数，比较
与
的值的大小．
（2）已知
，
，
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法比较大小.
（2）利用不等式的性质比较大小.
【详解】（1）因为
，
所以
.
（2）证明：因为
，
，所以
，
所以
，又
，所以
.
16．（2026 高三·全国·专题练习）解不等式
．
【答案】当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；
当
时，解集为
；当
时，不等式的解集为
【分析】分
、
及
进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得.
【详解】原不等式可化为
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式可化为
，
则当
时，不等式可化为
，解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
则不等式的解集为
．
综上可得：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
．
17．（25-26 高三上·海南·月考）已知
，
，完成下列问题：
(1)若
，求
取得最小值时m，n 的值；
(2)若
，求
的最小值．
【答案】(1)
，
；
(2)6.
【分析】（1）由条件得
，再代入所求式子用基本不等式可解得；
（2）由条件用基本不等式构造一个关于
的一元二次不等式，解不等式可得.
【详解】（1）由
，可得
且
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
故当
取得最小值时，
，
．
（2）由
，得
，
即
，解得
或
.
因
，
，故
舍去，所以
.
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为6．
再由
，解得
，
.
故
，
时
的最小值为6．
18．（2026 高三上·山东潍坊·专题练习）（1）已知
．若
是
的
充分不必要条件，求实数
的取值范围．
（2）已知函数
．若对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）解一元二次不等式求解
和
的解集，再根据
是
的充分不必要条件，转化成集合间的关系，建
立不等式关系，即可求实数
的取值范围．；
（2）参变分离可得
对任意的
恒成立，利用基本不等式求出
，即可得
解.
【详解】（1）对命题
：
，解得
，其解集为
；
对命题
：
即
，解得
，
其解集为
；
因为
是
的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
；
（2）因为对任意的
恒成立，
所以
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
因为
，所以
，
所以
对任意的
恒成立，
所以
，
，且
，
因为
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
，
所以a 的取值范围为
.
19．（25-26 高三上·贵州毕节·阶段检测）威宁草海国家级自然保护区是世界十大观鸟基地，被誉为“贵州旅游皇
冠上的一块蓝宝石”；有“高原明珠”、“鸟类王国”等美誉，推广旅游文化的传统工艺种类繁多，文化内涵丰
富.其中有一家声名远扬的传统手工艺制作工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂.该厂近期
接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为9 万元.每生产x 万件，额外投入成本
万元，且
这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为12 元.但由于市
场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20 万件，问题：
(1)当工厂生产2 万件时，求工厂的利润（利润
销售收入
总成本）；
(2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润.
【答案】(1)5 万元
(2)应生产12 万件，最大利润41 万元.
【分析】（1）将
，代入
求解；
（2）根据利润为
，分
和
，分别求得最大值，再取最大的求解.
【详解】（1）设利润为
万元，
当工厂生产2 万件时，
，
则工厂利润为：
万元；
（2）当
时，
，
当
时，
；
当
时，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
，
综上：要使工厂利润最大，应生产12 万件，最大利润41 万元.
