“3.1.2 表示函数的方法”-湘教版高中数学必修一教材分析

一、教材编排的逻辑定位

1.1 在全章中的位置

“表示函数的方法”是湘教版（2019）必修第一册第三章“函数的概念与性质”的第二节（3.1.2），紧承 3.1.1“对函数概念的再认识”。在此之前，学生已经：

• 在 3.1.1 中完成了函数概念的认知升级——从初中的“变量说”转向高中的“对应说”，明确了函数的三要素（定义域、对应关系、值域）；
• 初步掌握了用集合语言精确表述函数的方法。

如果说 3.1.1 解决了“函数是什么”的问题，那么 3.1.2 要回答的核心问题是：如何把一个函数的对应关系和定义域清楚地交代出来？ 这是从“概念理解”到“表达运用”的认知跃升。

1.2 在全章中的战略地位

本节内容承担着三重功能：

第一，表达工具的系统化。 初中已经零散接触过解析式、图象、表格，但尚未系统总结三种表示方法的特征、优缺点和适用情境。本节将这些经验提升为方法论。

第二，后续学习的基础。 函数的单调性、奇偶性、最值等性质的研究，都依赖于函数的表示。只有能够熟练地用解析式、图象、表格表示函数，才能进一步研究函数的性质。

第三，数学建模的支撑。 实际问题中的函数关系往往需要通过解析式、图象或表格来呈现，本节为后续的数学建模提供了表达工具。

1.3 与 3.1.1 的逻辑衔接

3.1.1 给出了函数的抽象定义，但未具体说明如何“交代清楚”一个函数。3.1.2 则从操作层面回答了这一问题：

• 3.1.1：“函数是定义域、对应关系、值域三要素构成的整体。”
• 3.1.2：“解析法、图象法、列表法分别是交代对应关系的三种方式。”

这种从“理论定义”到“操作表达”的递进，体现了教材在知识建构上的层次性。

二、三种表示方法的系统分析

教材开篇即指出：

“把一个函数的对应关系和定义域交代清楚的办法，就是表示函数的方法。在初中，我们已经知道表示函数的三种主要方法：解析法、列表法和图象法。”

这一表述明确了三种方法的功能定位——它们都是“交代对应关系和定义域”的工具。

2.1 解析法：精确性与运算性的统一

2.1.1 定义与特征

教材对解析法的定义为：

“把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到一个式子，用这个式子来表示两个变量之间函数关系的方法，叫作解析法。这个式子通常叫作解析式（也叫作函数表达式或函数关系式）。”

解析法的核心特征在于：用数学运算符号精确刻画对应关系。

2.1.2 优势分析

教材指出：

“用解析式表示函数简明洁了，便于计算函数值和推导函数的性质，是最基本最常用的函数表示方法之一。”

解析法的优势可以概括为三点：

第一，精确性。 解析式给出的是精确的对应规则，不含糊、无歧义。例如  精确地规定了“面积等于边长的平方”。

第二，可运算性。 解析式便于代入计算函数值，也便于进行代数变形和推导性质。例4中通过解析式  直接计算 、、 就是明证。

第三，可推导性。 解析式是后续研究函数单调性、奇偶性、最值等性质的基础工具。没有解析式，很多性质的推导将难以进行。

2.1.3 例4的建模分析

例4以“水库大坝横断面面积”为背景：

“为方便下游农田的灌溉，某山区需要修建一座水库大坝。已知坝高随山坡势起伏在 10 m 到 50 m 之间变化。坝体的横断面为梯形，上底  为 30 m，下底  与坝高 （单位：m）之间满足关系式：。为估计修建大坝的上方量，需要将横断面面积表示为坝高的函数 ，试写出该函数的解析式及其定义域，并求出坝高为 15 m，20 m，30 m 时大坝横断面的面积。”

建模过程：

梯形面积公式：。代入 ，，：

定义域由实际问题确定：。

计算：，，。

教学价值：

第一，从实际问题中抽象出函数解析式。 学生需要根据几何关系（梯形面积）和代数关系（）建立函数模型，这是数学建模素养的具体训练。

第二，定义域的实际约束。 解析式本身  的定义域是全体实数，但实际问题中坝高只能在  之间变化。这体现了实际定义域与自然定义域的区别。

第三，解析式的应用价值。 求出解析式后，可以方便地计算任意坝高对应的面积。教材指出：“只要找到了函数的解析式，求函数值、画图象、列表都能迎刃而解。”这是解析法“最基本最常用”的原因所在。

2.2 图象法：直观性与整体性的统一

2.2.1 定义与特征

教材对图象法的定义为：

“用图象表示两个变量之间函数关系的方法，叫作图象法。”

图象法的核心特征在于：用几何图形直观展示函数的变化规律。

2.2.2 优势分析

教材指出：

“用图象法表示函数，便于直观地研究函数的性质。”

图象法的优势可以概括为两点：

第一，直观性。 图象将抽象的函数关系转化为可见的曲线，使函数的变化趋势、极值、零点等特征一目了然。例如图3.1-1中的温度曲线，可以直接读出任意时刻的温度。

第二，整体性。 图象展示了函数在定义域上的整体行为，便于把握函数的全局特征。

2.2.3 作图步骤

教材给出了作函数图象的三个步骤：

“列表——先找出一些有代表性的自变量 ，并计算出与这些自变量相对应的函数值 ，用表格的形式表示出来； 描点——从表中得到一系列的点 ，在坐标平面上描出这些点； 连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来。”

这三个步骤（列表、描点、连线）是作函数图象的基本方法。教材还特别提醒：

“需要注意的是，要使作出的图象更精确，常常需要描出大量的点。”

2.2.4 自然定义域与实际定义域

教材在图象法部分特别强调了定义域的问题：

“需要注意的是，如果我们讨论的函数由一个解析式表示，并且不考虑它的实际意义，那么这个函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，也称为自然定义域。在实际问题中，函数的定义域还受到实际意义的制约，通常将自然定义域收缩到某个子集作为函数的定义域。”

这一区分具有重要的教学价值：

• 自然定义域：由解析式本身决定的定义域，如  的自然定义域为 ；
• 实际定义域：由实际问题的意义决定的定义域，如例4中 。

教学中应引导学生养成“先看是否有实际背景，再确定定义域”的习惯。

2.3 列表法：具体性与局限性的统一

2.3.1 定义与特征

教材对列表法的定义为：

“用列表来表示两个变量之间函数关系的方法，叫作列表法。”

列表法的核心特征在于：用表格直接列出部分自变量与函数值的对应关系。

2.3.2 优势分析

教材指出：

“用列表法表示函数关系，优点是具体易用，不懂数学运算的人也能查表做事。”

列表法的优势在于：

第一，具体性。 表格中直接列出了具体的数值对应，不需要任何计算即可查阅。例如商品价格表中，件数与金额的对应关系一目了然。

第二，易用性。 对于不擅长数学运算的人来说，查表是最便捷的获取函数值的方式。

2.3.3 局限性分析

教材同时指出了列表法的不足：

“缺点是不够全面。例如，如果还想知道该水库在最大水深为 22 m 时的存水量，那么能得到的只是‘大约多少多少’了，因为无法从表格中查出。另外，从表格中也很难以看出函数的数学性质。”

列表法的局限性可以概括为两点：

第一，不全面。 表格只能列出部分离散点，无法覆盖定义域中的全部自变量。对于未列出的自变量，只能通过近似估计获取函数值。

第二，难以揭示数学性质。 表格无法展示函数的连续性、单调性、极值等整体性质。

2.3.4 数学用表的历史地位

教材指出：

“不过，因为列表法有着简单明了的优点，对一些特定的自变量值，相应的函数值可以直接从表格中查到。因此，人们也常将某些用解析式表示的函数编成表格，如平方表、平方根表以及将要学习的对数表、三角函数表等数学用表，都可以看作是用列表法表示函数。”

这一论述将列表法从“原始方法”提升为“至今仍有广泛应用的方法”。在计算机出现之前，数学用表是科学研究和工程计算不可或缺的工具。即使在今天，许多领域的数表（如保险业寿命表、税率表等）仍然广泛存在。

三、三种表示方法的比较与选择

3.1 三种方法的对比

3.2 方法选择的原则

教材指出：

“函数的三种表示方法，各有长处和不足，在对具体问题的研究中需要有针对性地选择适当的表示方法，有时需要将多种方法综合运用。”

这一论述强调了“具体问题具体分析”的方法论原则。教学中应引导学生根据问题的特点和需要，灵活选择最合适的表示方法。例如：

• 研究函数的单调性时，解析法和图象法结合使用；
• 呈现实验数据时，列表法最为直接；
• 展示函数的变化趋势时，图象法最为直观。

3.3 其他表示方法简介

教材还简要介绍了其他表示方法：

标尺法： “汽车司机要知道发动机里有多少汽油，用把带刻度的尺子放进去量一量便知。因为油量是油深的函数，这个函数关系体现在尺子刻度上，这种表示函数的方法称为标尺法。”

程序法： “如今，科学研究中用到的大量函数，现在常用算法或程序来表示，而不是用列表法来表示。”

描述法： “函数还可以用描述法来表示。例如，当  为有理数时，让 ，否则让 ，这就定义了函数 ，它叫作狄利克雷函数。”

这些补充内容拓宽了学生的视野，让学生认识到函数表示方法的多样性。

四、练习设计分析

本节练习共3题，覆盖了三种表示方法的应用。

4.1 练习1（解析法建模）

“学校要印刷一批资料，现要求纵向矩形纸面上、下各留 4 cm 空白，左、右各留 3 cm 空白，中间排版部分要求面积为 。写出纸张面积  与中间排版部分宽度  之间的函数解析式 ，确定其定义域，再计算出 ，， 的值。”

分析：

设中间排版部分宽度为 ，则排版部分高度为 。

纸张宽度为 （左右各3），纸张高度为 （上下各4）。

纸张面积：

定义域：（实际意义）。

计算：；；。

教学价值：本题是解析法建模的典型训练，涉及分式运算和实际定义域的确定。

4.2 练习2（图象法应用）

“利用课本中关于水库存水量的列表作出水深确定存水量的函数图象，并根据图象估计出水深为 7 m 和 18 m 时的存水量。”

教学价值：本题训练学生从表格数据绘制图象，并从图象中读取近似值。这是图象法“直观估计”功能的典型应用。

4.3 练习3（图象与性质综合）

“画出函数  的图象，并根据图象回答下列问题： (1) 比较 ，， 的大小； (2) 若 ，比较  与  的大小； (3) 求函数  的值域。”

教学价值：本题将图象法与函数性质的研究结合起来，为后续学习函数的单调性和最值做铺垫。第(2)问涉及单调性的初步感知，第(3)问涉及值域的图象求法。

五、教学重难点与实施建议

5.1 教学重点

• 解析法、图象法、列表法的定义与特征
• 三种表示方法的优缺点及适用情境
• 解析式的建立与定义域的确定
• 函数图象的作图步骤（列表、描点、连线）

5.2 教学难点

• 自然定义域与实际定义域的区别：学生容易忽略实际问题的背景约束。
• 解析法建模：从实际问题中抽象出函数关系式，需要较强的分析能力。
• 三种方法的选择：根据问题特点灵活选择最合适的表示方法。

5.3 五个须强化的概念辨析

第一，解析式与函数的区别。 解析式只是表示函数的一种方式，同一个函数可以用不同的解析式表示（如  与 ），不同的解析式也可能表示同一个函数。

第二，自然定义域与实际定义域。 自然定义域由解析式本身决定，实际定义域由问题背景决定。例4中  的自然定义域为 ，但实际定义域为 。

第三，图象法的“近似性”。 图象法虽然直观，但从图象中读取的函数值往往是近似的。教材练习2中“估计”一词正体现了这一特点。

第四，列表法的“离散性”。 列表法只能表示有限个对应关系，不能覆盖连续区间上的所有点。教学中应通过水库存水量的例子说明这一点。

第五，三种方法的综合运用。 教材指出“有时需要将多种方法综合运用”。例如，先用解析式表示函数，再通过列表描点画出图象，最后从图象中观察性质。这是函数研究的基本流程。

5.4 与核心素养的关联

本节重点培育的核心素养包括：

• 数学抽象：从实际问题中抽象出函数解析式，从具体数据中抽象出函数关系。
• 直观想象：通过图象直观理解函数的变化规律。
• 数学建模：将实际问题转化为函数模型（例4、练习1）。
• 数学运算：解析式的化简、函数值的计算。

六、与前后内容的贯穿联系

特别值得关注的是：本节为后续研究函数的性质奠定了基础。函数的单调性需要借助图象直观发现，再用解析式严格证明；函数的最值需要结合图象和解析式求解。只有熟练掌握三种表示方法，才能顺利开展后续的性质研究。

同时，本节也为后续学习具体函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）提供了表达工具。这些具体函数的研究，都离不开解析式、图象和表格的相互配合。

湘教版“表示函数的方法”一节，完成了从函数概念到函数表达的认知拓展，是高中数学函数学习的重要基础。

本节的知识体系形成了完整的结构：

• 解析法：精确、可运算，是最基本的表示方法。
• 图象法：直观、整体，便于研究函数性质。
• 列表法：具体、易用，适用于数据记录和查表。
• 方法选择：根据问题特点灵活选择，有时需要综合运用。

从更深层次的教学目标来看，本节是高中数学中“数学表达”素养的集中训练课。学生需要学会根据不同的情境和需要，选择最合适的函数表示方法，并能够在三种方法之间灵活转换。这种“多元表达”的能力，不仅是函数学习的基础，也是整个数学学习的重要素养。

本节还体现了“从实际问题到数学模型”的建模思想。例4的水库大坝问题和练习1的纸张面积问题，都是通过建立函数解析式来解决实际问题的典型范例。这种“用数学眼光观察世界”的意识，正是数学核心素养的重要体现。

最终，学生应当形成这样的认识：函数可以用多种方式表示，每种方式都有其独特的价值和局限。解析法精确，图象法直观，列表法具体。在实际问题中，需要根据具体需要选择最合适的表示方法，并能够灵活地在不同表示方法之间转换。 这种对函数表示方法的全面理解，将为学生后续深入学习函数的性质和应用奠定坚实的基础。