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九年级数学【有关切线的辅助线作法】专题练习

发布时间：2026-09-21 20:34:38 最近访问：2026-09-21 20:34:38

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期末专练 | 九年级数学上册

【有关切线的辅助线作法】

【一】如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，

(1)求证：OD∥BE；

证明：如图，连接OE.

∵AM，DC是⊙O的切线，

∴OA⊥AM，OE⊥CD.

又OA＝OE，OD＝OD，

∴△OAD≌△OED(HL)，

∴∠AOD＝∠DOE.

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.

∵∠AOE＝∠OBE＋∠OEB＝2∠OBE＝2∠AOD，

∴∠AOD＝∠OBE，

∴OD∥BE.

(2)如果OD＝6 cm，OC＝8 cm，求CD的长．

解：由(1)得∠AOD＝∠DOE.

∵CD，BC是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，OB⊥BC.

∵OB＝OE，OC＝OC，

∴△OEC≌△OBC，

∴∠EOC＝∠BOC，

∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，

∴CD＝＝＝10(cm)．

【二】如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO，AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.

(1)求∠APB的大小；

解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB.

∴∠OAP＝∠OBP＝90°.

∵∠C＝60°，

∴∠AOB＝2∠C＝120°.

在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.

(2)若PO＝20 cm求△AOB的面积．

解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，

∴PA＝PB.

∵OA＝OB，PO＝PO，

∴△PAO≌△PBO，

∴∠APO＝∠BPO＝1/2∠APB＝30°，

∴PO⊥AB，

∴∠DAO＝∠APO＝30°，

∴OA＝1/2×OP＝1/2×20＝10 (cm)．

在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10 cm，

∴AD＝2×OA＝2×10＝5(cm)，

OD＝1/2×OA＝1/2×10＝5 (cm)，

∴AB＝2AD＝10cm，

∴S_△AOB＝1/2·AB·OD＝1/2×10×5＝25 (cm²)．

【三】如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB＝8 cm.求圆O的直径．

解：作出示意图如答图，连接OE，OA，OB，

∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，

∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝1/2∠BAC.

∵∠CAD＝60°，

∴∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝1/2×120°＝60°，

∴∠BOA＝30°，

∴OA＝2AB＝16 cm.

由勾股定理得OB＝＝＝8(cm)，即⊙O的半径是8cm，

∴⊙O的直径是16cm.

【四】如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.

(1)求∠P的大小；

解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，

∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°.

∵∠BAC＝30°，

∴∠CAP＝90°－∠BAC＝60°.

又∵PA，PC切⊙O于点A，C，∴PA＝PC，

∴△PAC为等边三角形，

∴∠P＝60°.

(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．

解：如图，连接BC，则∠ACB＝90°.

在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，

∴BC＝2AB＝2×2＝1，

∴AC＝＝＝，

∴PA＝AC＝.

【五】如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长地是多少？

解：∵AP，BP是⊙O的切线，

∴∠PAC＝90°，PA＝PB.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°，

∴∠PAB＝90°－30°＝60°，

∴△PAB是等边三角形．

在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，

∴BC＝1/2AC＝1/2×2＝1，

∴AB＝＝＝，

∴△PAB的周长为3.

【六】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4.

(1)求△ABC的面积；

解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，

∴△ABC的面积为：1/2×3×4＝6；

(2)求⊙O的半径；

解：连接OE，OD，

∵⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，

∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC，

又∵∠C＝90°，OD＝OE，

∴四边形ECDO为正方形，

∴设OE＝OD＝CE＝CD＝x，

∴BE＝3－x，DA＝4－x；

∴FB＝3－x，AF＝4－x，

∴3－x＋4－x＝5，解得x＝1.

(3)求AF的长．

解：∵CD＝1，

∴AF＝AD＝4－1＝3.

【七】如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC，BC，求证：AC＝BC.

证明：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，

∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.

又∵PC＝PC，

∴△APC≌△BPC.

∴AC＝BC.

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