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高考真题精讲系列 003 | 12年前经典导数结合三角函数高考真题，被名校翻出来改编！

今天小派这篇百题选自今天刚考的重庆巴蜀中学2027届高三9月适应性月考（二）第19题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“27届模拟卷”获取）。该题是一道不错的导数结合三角函数的压轴题，但是并非原创题，而是改编自12年前辽宁高考文理科导数压轴。因此，小派将该篇详细讲一下这三道题目，并将该篇收录到《高考真题精讲系列》中

• 一、巴蜀月考（二）导数三角函数
• 二、2014 辽宁卷理科T 21
• 二、2014 辽宁卷文科T 21

一、巴蜀月考（二）导数三角函数

【重庆巴蜀中学27届高三上9月月考（二）T19】（关注：Hi数学派）已知函数 （）， （1） 当  时，求  在区间  上的最大值；（2） 当  时，，求  的取值范围；（3） 当  时，是否存在 ， ，使得 ，若存在，试比较  与  的大小关系；若不存在，请说明理由。

解析：

（1）（关注：Hi数学派）当  时，

求导得 

当  时，，，

从而  恒成立，即  在  上单调递减

故 

（2） 由题意， 在  恒成立

设 ，则 ，需满足 

。

① 若 

设 

 对  成立

则  在  单调递减，，从而 ，符合题意

② 若 

此时 ，故 ，即  在  单调递减

又 ，

由零点存在定理，，使 

当  时，， 单调递增

则当  时，，与  矛盾

综上， 的取值范围为 

（3）（关注：Hi数学派）存在，且 。理由如下：

先分析 ：

当  时，，

由 （2） 中  的讨论可知， 使得 

 在  上单调递增，在  上单调递减

又 ，

故存在唯一的 ，使得 

再分析 ：

对于 ，设 

则 

令

由于 ，故

（关注：Hi数学派）求导整理得

因为 ，故  的符号与  相同

结合前面对  的分析

当  时，， 单调递增；

当  时，， 单调递减

又  时，；且 

故在区间  内存在唯一的 ，使得 ，即 

此时 ，即 

结论得证

二、2014 辽宁卷理科T 21

【2014 辽宁卷理科T 21】（关注：Hi数学派）已知函数 ，。证明：（1） 存在唯一 ，使得 ；（2） 存在唯一 ，使得 ，且对 （1） 中的 ，有 

证明：

（1） 对  求导

当  时，明显有 ，，，从而  恒成立

故  在  上单调递减

又因为 ，

根据零点存在性定理，存在唯一的 ，使得 

得证。

（2）（关注：Hi数学派）当  时，

令

则

作变量代换，令 。因为 ，故 

构造新函数

（关注：Hi数学派）对其求导并化简

由于 ，分母恒大于 ，故  的符号与  相同

结合 （1） 的结论可知

当  时，， 单调递增；

当  时，， 单调递减。

又 ，且  在  单增，故 

而 

因此，存在唯一的 ，使得 

将  代回，存在唯一的 ，使得 ，即 

由  得到 ，即 

得证。

二、2014 辽宁卷文科T 21

【2014 辽宁卷文科T 21】（关注：Hi数学派）已知函数 ，。证明：（1） 存在唯一 ，使得 ；（2） 存在唯一 ，使得 ，且对 （1） 中的 ，有 。

证明：

（1） 对  求导

当  时，，

此时 ，从而  恒成立

所以  在  上单调递增

又 ，（因 ）

由零点存在性定理，存在唯一 ，使得 

得证。

（2）（关注：Hi数学派）当  时，，有

代入  得

作变量代换，令 。因为 ，所以 

构造函数 ，则

（关注：Hi数学派）对  求导并化简

由于 ，分母 

由 （1） 知  在  单增且 

当  时，， 单调递减；

当  时，， 单调递增。

又 ，

因为  在  单增，所以 

在区间  上， 且 

故存在唯一的 ，使得 

令 ，则 ，且 

由 ，即 ，移项得 

（关注：Hi数学派）得证。