高中数学核心解题技巧120讲(第26讲)

                      第二十六讲多元与一元的转化与变换

在一个数学问题中有多个字母或未知数会给解题带来困难，解决问题的方法是想办法消去过多的字母，从而使问题变得简单.消元思想就是由一些元素间的已知等量关系，通过有限次的变换消去其中某些元素，从而得出其他一些元素之间的等量关系的解题思想.通常用代入、加减、乘除、代换等方法消元，三角换元法在多元向一元的转化与变换 中显示出其特有的功能.

例1 已知a>0,a≠1,  试求使方程loga(x—ak)=loga2(x²-a²) 有解的k 的取值范围.

解题策略：本例所给的方程内含有x、a 、k 三个变元，任意选取一个当作主元，均可解出正确结果，当然解题过程  并不简单.如果利用三角代换，可轻松实现从多元向一元的变换，则可简化解题过程。

例2 已知x²—xy+y²=1,     求x²-y²  的取值范围.

解题策略：在一个数学问题中有多个字母或未知数会给解题带来困难，解决问题的方法是想办法消去过多的字母，从而使问题变得简单.本例可采用三角换元的方法使多元化为一元(一个角),则解元就不困难了.

例3设x、y∈ R且3x²+2y²=6x,求x²+y²的取值范围.

解题策略：本例可用上例类似的解法，即三角换元法，也可以转化为二次函数求值域，不管是哪一种方法，多元变一元的解题途径是一致的.

解：解法一：由6x—3x²=2y²≥0得0 ≤x≤2,  设k=x²+y²,则y²=k—x² ,

代入已知等式得x²—6x+2k=0,          即

,其对称轴为x  =3.

解题策略：本例两小题都是圆上动点与圆外一定点连线的斜率问题.通过数形结合求解很方便，我们考虑换一个 角度思考，即如何把二元问题转化为一元问题。通过构造向量的方法能实现这一目标，别具一格.