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初中数学“方程与不等式”,一文讲清该怎么学
按照新课标的要求，方程内容已从小学移至初中。面对这一调整，家长和孩子不必焦虑，学得晚不代表学不好，踏实跟随教材节奏，每个孩子都能更上一层楼。不过，用好教材也需要方法，走马观花式的阅读远远不够。不等式与方程在初中代数中同属于一个知识板块，今天我就围绕这个主题，理清知识脉络、提出学习建议，希望能帮助各位同学在面对教材时，自学有章可循、复习有据可依。
一、从“数与式”到“方程与不等式”
我个人认为，学习任何知识，有两点工作必须要做好，一是要搞懂新内容的本质，二是要用发展的眼光，把新内容和我们已经学过的东西联系起来。
代数与几何是中考数学的两大主干内容，初中代数主要分为“数与式”“方程与不等式”“函数”三大主题，这里我先梳理一下相关概念。按照教材的定义，“方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数的值”，而一元一次方程就是“只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1”的方程，当然，其余方程，比如二元、三元、二次等，本质上只是增加未知数或提高次数，核心要义基本不变。那什么是不等式呢？按教材，不等式是“用符号‘＜’或‘＞’表示不等关系的式子”，“用‘≠’表示不等关系的式子也是不等式”。
我一直强调，要以发展的眼光看待教材的概念引入过程，此前我已分析过“数与式”的内容，那么，“数与式”和“方程与不等式”之间有什么联系呢？数可以表达量，借助运算可以表达量之间的和、差、倍、分、乘方与开方关系。进一步，用字母表示数，通过数与字母的运算建立代数式，就可以表达抽象量之间的这些关系。
而所谓方程与不等式，本质上就是用表示数量关系的符号连接起来的代数式，可以说是代数式的自然延伸，此时代数式中的字母，自然就成为方程与不等式定义中的未知数。这些符号包括“=”“<”“≤”“>”“≥”“≠”，其中，用“=”连接的是方程，其余则是不等式（教材未提到“≤”“≥”符号，但大家可以自行留意一下）。还需强调一下，二者所揭示的，正是数学中最基本的数量关系——相等关系与不等关系。
当然，教材还涉及方程组与不等式组。其实概念本身并不复杂：所谓“组”，就是把两个或两个以上的方程（或不等式）联立起来，表示这些条件需要同时满足。例如，二元一次方程组，就是由两个含有两个未知数、且含未知数的项的次数都是1的整式方程联立而成的。提出方程组或不等式组，目的很直接：求出满足所有条件的解或解集，进而解决实际问题。比如研究两个变量y与x的关系时，如果只知道y=2x，满足它的x、y有无穷多组，无法确定具体大小；只有再给出一个关系，如y=x+5，才能通过联立解出x与y的具体值。这正是“多个条件同时约束”的思想。当然，若想深究，这背后会涉及大学线性代数，此处不展开；但初中阶段先建立这种意识，这也是将来学习大学数学必要的基础。
二、教材安排简评
学好方程与不等式，一定要把这部分知识当作一个整体来看。也就是说，你最好在七年级就对整个主题有一个完善的认知，而不是等到九年级复习时才去拼凑零散的知识点。
长久以来，按照课程标准的要求，教材编写应“遵循螺旋上升原则，使学生对数学知识的理解不断深入”。说白了，就是同一内容需要经过几次循环，逐渐加深发展——同一内容在不同单元或阶段重复出现，前面的内容是后面的基础，后面的内容又是对前面的扩展和加深。因此，在初中阶段，方程与不等式的内容也是分散在不同学期里——在七上，你会学到一元一次方程，接着在七下学二元一次方程组和一元一次不等式（组），在八上，你会在“分式”这一章里会学到分式方程，在九上则会学到一元二次方程（方程与不等式和函数之间的联系，我会在关于初中函数的讨论中再说）。
但是，这几部分知识之间的联系其实非常紧密，教材的安排自然有它的道理，而我们要学会的，就是把这些内容作为一个整体来把握。为什么先学这个，再学那个？最主要的，背后有一条清晰的线索：方程与不等式，主要是按照未知数的个数和式子的次数，从小到大来研究的。具体说来，一元一次方程是整个主题的开篇，它既是你后续学习其余方程、不等式和函数的基础，也是对你之前学过的数与式（七上前四章）的延续和巩固，所以安排在七上第五章。二元一次方程组是在你初步感受了方程模型，积累了一些用方程解决实际问题的经验之后展开的，它是一元一次方程的继续和发展，不需要引入复杂的通用求解办法，就能解决现实问题，所以安排在七下。初中阶段的不等式，未知数只有一个，次数也是一次，因此和一元一次方程（组）的解法非常相似，所以教材把不等式紧跟在一元一次方程组之后，方便你类比学习。八上“分式”一章里安排了分式方程，这是很自然的，同时，初中只要求掌握能化为一元一次方程的分式，所以各位也不需要在学完一元二次方程后才能学分式。解一元二次方程以整式的乘法、开方运算等为基础，且求根公式中含有二次根式，由于二次根式安排在八年级下册，且教材篇幅已满，所以你们学习这块知识，也就只能在九上了。
总的来说，当你按顺序学习时，不妨多留意一下前后内容的关联，把方程与不等式的学习当作一个整体。整个初中方程与不等式的学习，基本遵循一条“一元一次方程→多元一次方程组→一元一次不等式→分式方程→一元二次方程”的螺旋上升脉络，理解这个过程，你就不会觉得知识点是零散的，而是能看清它们是怎样逐层生长和彼此呼应的。
三、模型思想与化归策略
我一直和同学们强调：大学毕业后，你所学过的数学知识，除了一些基本的东西，其余内容你可能都会忘记，只有你在学习数学过程中所训练出来的数学思维、所感悟到的基本思想，才能陪伴你走完一生。所以，学完教材之后，一定要及时复盘最近的收获，并反思这部分知识所蕴含的数学学科逻辑。在方程与不等式的学习中，模型思想与化归策略特别重要；当然，除这两条之外还有类比等思维，限于篇幅不在此展开。
先说模型思想。方程和不等式都是重要的数学模型，而建立数学模型解决实际问题的一般过程是：先分析实际问题，找到背后蕴含的数量关系，进而抽象出数学模型；当然，对于模型，有时还要作出合理的假设；接着，我们求解数学模型，得出数学结论；最后，我们用数学结论解释并解决实际问题，这时我们还需要结合问题的实际意义，检验模型解的合理性；当然，如果我们发现模型不合理，可能也需要重新设定模型，然后再走一遍前面的流程。
因此，用方程和不等式解决实际问题，用一些教材来说，我们同样要遵循“分析等量关系或不等关系—列出方程或不等式—求解—结合问题意义获得答案”的过程，也就是建立模型、求解模型、验证反思的数学建模过程。以七上第五章开篇的登山问题为例（七上P110），教材的处理堪称建模的示范。设两队行进时间为x小时，根据“路程=速度×时间”模型，将两队距大本营的路程分别表示为（1.2x+1）km和（0.8x+3）km；追上时两队处于同一位置，故得到方程1.2x+1=0.8x+3，解出x=5，即为答案。至于验证的必要性，大伙可以看看后面的题目（七上P137）。
再说化归策略。什么是化归？多数老师会将其定义为“把面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题”的思想方法。但我个人更愿意把它称作一种策略，因为我觉得“思想”或“思想方法”这些词语，在当前存在被滥用的趋势。可以说，化归也是一种解题策略——化未知为已知本就是解决问题的底层方法（策略），对此也可参考我写的《初中数学的学科逻辑》一文。
可以说，化归策略，即这种“把不会的化为会的”的思路，是整个方程与不等式研究过程中的核心方法。一元一次方程是最简单的方程，一般地，求解任何一个代数方程（组）时，最终都要化归为一元一次方程来解——求解二元一次方程组得靠消元法，把“二元”化归为“一元”，代入法与加减法只是消元法的不同方式；求解一元二次方程得靠降次法，把二次方程化为一次方程的形式（配方法）；求解一元一次不等式，则依据不等式的性质，类比解方程的步骤；求解初中阶段的分式方程，则主要通过去分母的办法，将其转化为一元一次方程。
结语