八上习题18.5:玉米增产与两组登山,怎样列分式方程?

教材原题｜习题18.5 拓广探索

7. 改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量a t，原来产m t玉米的一块土地，现在的总产量增加了20 t。原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少？

8. 两个小组同时开始攀登一座450 m高的山，第一组的平均登高速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15 min到达顶峰。两个小组的平均登高速度各是多少？如果山高为h m，第一组的平均登高速度是第二组的a倍，并比第二组早t min到达顶峰，那么两个小组的平均登高速度各是多少？

同学们，这两道题表面上一个讲玉米，一个讲登山，其实都在问：数量发生变化时，有什么保持不变？第7题是同一块土地，面积不变；第8题是到达同一山顶，登高的高度相同。抓住这个关系，方程就有了依据。

先猜一猜：速度是1.2倍，时间也是1.2倍吗？

登高相同的高度，速度越快，用时越少。因此，不能把第一组的时间也写成第二组的一点二倍。先把这种直觉记下来，列完方程再检查：较慢一组的时间减去较快一组的时间，才是正的十五分钟。

01 · 把“同一块地”写成面积相等

第7题分析：总产量除以单产，得到土地面积

“平均每公顷的产量”简称单产，单位是吨每公顷。设原来的单产为x，那么现在的单产就是x＋a；原来的总产量为m，现在为m＋20。分别用总产量除以单产，就能表示同一块地的面积。

这块地不会因为改良品种而改变面积，因此两次算出的面积相等。注意，总产量增加二十吨，不是每公顷增加二十吨；后者题目已经用a表示。按实际意义，m＞0，a＞0，x＞0。

第7题解答｜用面积相等列分式方程

解：设原来平均每公顷玉米产量为x t，则现在为（x＋a）t。 根据土地面积不变，得 m/x＝（m＋20）/（x＋a）。 两边乘x（x＋a），得 m（x＋a）＝（m＋20）x， mx＋ma＝mx＋20x， 所以x＝ma/20。 现在的单产为x＋a＝a（m＋20）/20。

检验：m、a均为正，所以所得x与x＋a都大于零，原方程的分母不为零，且两边同为20/a。因此解符合题意。答：原来和现在平均每公顷的产量分别为ma/20 t、a（m＋20）/20 t。

换个角度检查：先求土地面积

每公顷增加a吨，总共增加二十吨，所以这块土地面积为20/a公顷。再用原来的总产量m除以这个面积，得到ma/20；用现在的总产量m＋20除以面积，得到a（m＋20）/20。

这条算术思路也能独立解决问题。把它与方程法对照，你会发现，两种方法始终围绕同一块地的面积。列分式方程不是为了让计算变难，而是把数量关系表达得更清楚。

02 · 慢组用时减快组用时，得到提前量

第8题分析：“早到”就是两组用时之差

这里的平均登高速度，是上升高度除以所用时间，按米每分钟计算，不是沿山路行走的速度。设第二组速度为x，则第一组为1.2x；两组时间分别为450/x与450/（1.2x）。

第一组早到十五分钟，所以第二组用时－第一组用时＝15。题目说两组同时开始，才可以直接把到达时间的差转成用时的差。

第8题数值解答｜第二组5米/分，第一组6米/分

解：设第二组平均登高速度为x m/min，x＞0。 由题意，得 450/x－450/（1.2x）＝15。 即450/x－375/x＝15， 75/x＝15，解得x＝5。 第一组平均登高速度为1.2×5＝6（m/min）。

检验：x＝5使原分母不为零；第二组用时为450÷5＝90分钟，第一组用时为450÷6＝75分钟，恰好早十五分钟。答：第一组平均登高速度为六米每分钟，第二组为五米每分钟。

第8题字母解答｜先列关系，再整理公式

设第二组平均登高速度为v m/min，则第一组为av m/min。由题意，h＞0，t＞0，a＞1。 列方程得h/v－h/（av）＝t。 两边乘av，得ah－h＝atv， 所以v＝h（a－1）/（at）。 第一组速度为av＝h（a－1）/t。

检验：所得速度均为正，分母不为零；第二组用时为at/（a－1），第一组用时为t/（a－1），两者之差正好为t。再代入h＝450、a＝1.2、t＝15，仍得到第二组五米每分钟、第一组六米每分钟。

失分提醒：字母的含义和范围不能混淆

第7题的a是每公顷增加的产量，第8题的a是速度的倍数，它们只是用了同一个字母，意义不同。第8题中第一组更快且提前到达，必须有a＞1；若a＝1，两组速度相同，就不可能同时出发却提前到达。

名师方法｜找不变量，列等量关系，最后检验

应用题不要一看到数字就运算。先找不变的面积或高度，再用基本公式表示相关量，最后把“不变”“增加”“提前”翻译成等式。解分式方程之后，还要同时检查分母是否为零、结果是否符合实际意义。

当堂检测

若山高六百米，第一组速度是第二组的一点五倍，并早二十分钟到达，两组平均登高速度各是多少？

想好再看：第二组为十米每分钟，第一组为十五米每分钟。两组用时分别为六十分钟和四十分钟，时间差正好是二十分钟。先代入公式计算，再用原来的时间关系检验一次。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十八章《分式》第169页，习题18.5“拓广探索”第7、8题。