初中数学对三角形内角和的证明,为什么要做辅助线|求真编年史70

各位好，我是lolanto。

三角形的内角和是180度，是今天初中数学教材里的一个普通知识，而且教材里的证明方法也很多。

有一种证明方法很简单，只需要经过三角形的顶点画一条底边的平行线，底下的两个角，就能在这条新线旁各找到一个与它等大的角。

大约成书于公元前300年的《几何原本》中，也采用了类似的方法在三角形旁画了一条平行线。

到了公元五世纪，普罗克洛斯回顾这部书的来历，说欧几里得汇集了前人的成果，加以整理和完善，也为一些原先论证得比较粗略的结论补足了证明。

在普罗克洛斯的笔下，欧几里得接手的是已经有许多成果的几何学。把这些成果收入同一部书，会碰到许多问题。

比如，三角形的内角和与平行线的角关系，如果要证明内角和要靠平行线的角关系，读者翻到三角形那一页时，就应当已经知道哪些角相等。

翻到《原本》第一卷第三十二题，又见到一个三角形。书中把它的一条边从顶点向外延长，再过这个顶点作一条与对边平行的线。

那条辅助线和现代教材里的用法相近。在古书里，单是画出它，就可以翻回去找到一道题。

再往前翻一题，问的正是怎样过直线外的一点作出平行线。那道题先作出一对相等的角，由此确定两条线平行。

到了第三十二题，只要指定从哪个点出发、与哪条边平行，就可以接着做。

现在已知两条线平行，接下来要认出哪些角相等。

第三十二题用上了第二十九题的两种角关系。新线一侧的角与三角形的一个内角构成一对相等的内错角。

新线另一侧，由新线和延长边夹出的外角，也等于三角形另一个顶点的内角。把新线两旁的这两个角与作线处原有的内角相加，三个角沿着那条延长的边排成一个平角。《原本》把这个和写成两个直角。

I.32中延长BC并作平行线CE后得到的两对等角；BC延长至D，CE与AB平行。蓝弧标出一对内错角，棕弧标出相应的外角和内角。紫色虚弧表示整个∠ACD，它由∠ACE和∠ECD合成。据I.32重绘。

我们先看第一对内错角为什么相等。

翻回第二十九题，书里用一条斜线穿过上下两条平行线。在两条平行线之间，取上方交点左侧的角和下方交点右侧的角，这两个角就是一对内错角。

I.29反证中的上左角、上右角和下右角①是上左角∠AGH，②是上右角∠BGH，③是下右角∠GHD。图用平行线定位，①＞③是反证的假定。换入③后，②与③同在截线右侧。据I.29重绘。

假定上面左侧的角较大。

它和上方交点右侧的内角挨在一起，沿上面那条线排成一个平角。现在把左边那个角换成下面较小的角，相加的两个角就都在斜线右侧，和也小于两个直角。按第五公设，两条线朝这一侧延长，终会相交。可起初给出的就是两条平行线。两角若有大小之差，便会得出这个矛盾，所以它们相等。

到这时才看见，第一卷开头那条关于直线何时相交的公设，隔着一道关于角的命题，仍然管着眼前的三角形。

后来有人把这部书里的数学内容抄到了纸草上。

一块来自埃及的罗马时期纸草残片，至今还留着几行希腊文字和一个几何图。馆方认出，这是抄在一起的《原本》第二卷第五题和它的图。

俄克喜林库斯纸草29号，带《几何原本》第二卷第五题文字和几何图；藏于宾夕法尼亚大学博物馆，E2748。图像来源：维基共享资源。

到了第四卷第十五题，要在圆里作一个正六边形，书里便用上了第三十二题，算出其中一个等边三角形的每个角都是六十度。

那条辅助线用过就留在第一卷，证明所得的结果已经可以带到后面的题里。