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八下数学学科随堂练习
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．
【详解】A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数是小数，故B错误；
C、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含开得尽的因数，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，1， B. 1， ，2 C. 4，5，6 D. 6，8，10
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、 ，1，1， 能组成直角三角形，不符合题意；
B、 ，1， ，2能组成直角三角形，不符合题意；
C、 ，4，5，6不能组成直角三角形，符合题意；
D、 ，6，8，10能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键知道两条较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是
直角三角形．
3. 下列各式中，运算正确的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次根式的减法和乘法运算法则、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、2和 不能合并，故C错误；
D、 ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的减法和乘法运算法则，解题的关键是掌握运算法则
进行判断．
4. 下列曲线中，表示y是x的函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义解答即可．
【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
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故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定
的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
5. 如图， 的对角线 相交于点O，且 ， ．则 的周长为（
）
A. 13 B. 8 C. 7 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即得出 ， ， ，再根据
三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵ 的对角线 相交于点O，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等是解题关键．
6. 点 ， 都在一次函数 的图象上，则m与n的大小关系为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，结合 ，即可得了 ．
【详解】解：∵ ，
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∴y随x的增大而减小，
∵点 ， 都在一次函数 的图象上，且 ，
∴ ．
故选∶A．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是要牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y
随x的增大而减小”．
7. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，
较短直角边长为b．若 ，大正方形的面积为25，则图2中 的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三
角形加中间小正方形的面积得出 ，再结合 即可得出 的值，再根据勾
股定理即可求出 的长．
【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴ ，
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又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．
8. 如图，在 中， ，F是 的中点，作 于E，连接 、 ，下列结论不
成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出
，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是 的中点，
∴ ，
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∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项A不符合题意；
延长 ，交 延长线于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项C不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出
．
二、填空题
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
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【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有
意义及二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
【详解】由二次根式的概念，可知 ，
.
解得
故答案为：
10. 已知正比例函数 的图象过点 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法把 点代入正比例函数 中即可算出k的值
【详解】把 点代入正比例函数 ，得
解得
故答案为：
【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数的解析式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析
式．
11. 如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 ___________．
【答案】 ##115度
【解析】
【分析】根据翻折的性质可得 ，再求出 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可
得解．
【详解】解：如图，
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矩形 沿 对折后两部分重合， ，
，
矩形对边 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题
的关键．
12. 如图，在 中， ， ，作 于E，则 ______； ______．
【答案】 ①. ##30度 ②.
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质求得 ，根据三角形内角定理即可求得 ；利用含30度角的
直角三角形的性质以及勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题．
13. 小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出1m，当他把绳子斜拉直，且
使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是____m．
【答案】12
【解析】
【分析】结合题意画出图形，设旗杆AB的高度为xm，绳子AC的长为（x+1）m，BC=5m，根据勾股定理
列出方程 ，然后解方程即可．
【详解】解：设旗杆AB的高度为xm，绳子AC的长为（x+1）m，BC=5m，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
学校旗杆的高度是12m．
故答案为12．
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【点睛】本题考查勾股定理在生活中运用，完全平方公式，一元一次方程，掌握勾股定理的应用条件是直
角三角形，找出三边中的数量关系是解题关键．
14. 已知直线 ： 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是直线 上的一点，且满足
．则点C的坐标为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出 ，得到 ，再由 得到
，求出 ，据此求解即可．
【详解】解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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在 中，当 时， ，当 时， ，
∴点C的坐标为 或 ，
故答案为； 或 ．
15. 如图，菱形 的对角线 相交于点 O，过点 D 作 于点 H，连接 若
， ，则 的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，利用菱形的面积求得 的长度，
再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵菱形 的面积为64，且对角线交于点O，
∴ ， 为 的中点，
∴
∵
∴ ，
又∵ 为 的中点，
∴ ，
故答案为；4．
16. 如图所示的一张直角三角形纸片，其中 ， ， ，点D、E分别是
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边的中点，先将纸片沿 剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是______．
【答案】 或8
【解析】
【分析】首先计算出 ， ，进而可得 ，然后拼图，出现两种情况，一种
是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
【详解】解：如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
的
∵点D、E分别是 边 中点，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ；
如图所示：
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∵点D、E分别是 边的中点，
∴
∴四边形 的周长为 ．
综上所述，所得四边形的周长是 或8，
故答案为： 或8．
【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，勾股定理，30度角直角三角形的性质，关键是根据画出图形，要考
虑全面，不要漏解．
三、解答题
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数米，负整数指数幂，先化简二次根式，再计
算零指数幂，负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
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18. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算：
（1）根据二次根的化简法则和去括号法则将原式进行化简，然后进行加减法计算即可；
（2）利用二次根式的除法以及平方差公式进行化简计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，实数的运算，利用完全平方公式得到 ，据
此代值计算即可．
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【详解】解；∵ ，
∴ ．
20. 已知：如图，在平行四边形 中，E、F分别是 的中点，求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到 ，
再由线段中点的定义证明 ，即可证明四边形 是平行四边形，则 ．
是
【详解】证明：∵四边形 平行四边形，
∴ ，
∵E、F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
21. 与正比例函数 的图象平行的一次函数 的图象经过点 ，且该一次函数与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ．
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（1）求该一次函数的解析式；
（2）求点 、 坐标及该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数 的图象与正比例函数 的图象平行
得到 ，然后把点 代入一次函数解析式可求出 的值；
（2）由一次函数解析式可得 、 点坐标，利用三角形的面积公式可得结果．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象与正比例函数 的图象平行，
，
，
把点 代入 得 ，
解得 ，
一次函数为 ；
【小问2详解】
由（1）得，
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一次函数解析式为： ，
令 ，则 ，解得 ，
点的坐标为 ， ，
令 ，可得 ，
点坐标为 ，
的面积为： ．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，关键是掌握若直
线 与直线 平行，则 ， ；若直线 与直线 相交，
则由两解析式所组成 的方程组的解为交点坐标．
22. 某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药
量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．
（1）服药后 小时，血液中含药量最高，达到每毫升 毫克，接着逐渐减弱， 小
为
时后血液中含药量 0；
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（2）服药后10小时，血液中含药量为每毫升 毫克．
（3）如果每毫升血液中含药量4毫克或4毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是 小
时．
【答案】（1）2，8，18
（2）4 （3）9
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）直接利用图像中的数据可得结果；
（3）求出 的解析式，令 ，求出最有效的开始时间，根据图像得出结束时间，可得时长．
【小问1详解】
解：由图象可得，
服药后2小时，血液中含药量最高，达到每毫升8毫克，接着逐渐减弱，
从2小时开始，每小时减弱 (毫克)，
∴还需 (小时)，降为0，
∴18小时后血液中含药量为0，
故答案为：2，8，18；
【小问2详解】
由图象可得，
服药后10小时，血液中含药量为每毫升4毫克，
故答案为：4；
【小问3详解】
当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
，得 ，
即当 时， 与 之间的函数关系式是 ，
将 代入 ，得 ，
由图象可知，当 时， ，
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故这个最有效时间 （小时）的范围是 （小时），
故答案为：9．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答．
23. 如图， 中， ， 为 边上中线，点E为 的中点，点F在 的延长线上，
且 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证四边形 是菱形；
（3）若 ，求四边形ADCF的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）96
【解析】
【分析】（1）根据题中作 ；
（2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明；
（3）先进行面积转化，再求解．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
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证明：∵ 为 边上中线，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴ 为菱形；
【小问3详解】
解：∵ 为 边上中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，E为 的中点，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
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．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理及图形的面积转化,解题的关键是合理利用已知条件
进行推理计算．
24. 在平面直角坐标系 中，将经过点 的直线 ： 向下平移5个单位得直线 ，直
线 经过点 ，
（1）求直线 的解析式及点B的坐标；
（2）直线 与y轴交于点C，求 的面积；
（3）若直线 ： 与线段 有公共点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）将点A代入 中求出b值，得到 的解析式，再根据平移的性质得到 的解析式，
将点B坐标代入，可得m值；
（2）在 中令 求出点C坐标，再利用割补法计算面积即可；
（3）分别将点A和点B代入 ： 中，求出对应k值，再根据 与线段 有公共点，结合图像
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得出结果．
【小问1详解】
解：将 代入 中，
得： ，解得： ，
∴ ： ，
向下平移5个单位后，得： ： ，即 ，
将 代入 中，得： ，
∴ ；
【小问2详解】
在 中，令 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
当 ： 经过点A时，
得 ，解得： ；
当 ： 经过点B时，
得 ，解得： ；
∴当直线 ： 与线段 有公共点时，
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或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的表达式，求一次函数的自变量和函数值，一次函数与坐标轴的交点问题，
以及综合问题，解题的关键是利用数形结合思想，从图像角度出发求出k的取值范围．
25. 如图，点E在正方形 的 边上（不与点B，C重合），点B关于直线 的对称点为F，作
射线 交AE交于点G，连接 ，过点C作 交射线 于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）求 的度数；
（3）用等式表示线段 与 之间的数量关系．并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）依据题意补全图形即可；
（2）连接 ，根据对称的性质得到 ，利用等边对等角得到 ，
，结合四边形内角和求出 ，可得 ；
（3）过 C 作 ，垂足为 T，证明 是等腰直角三角形，得到 ，再证明
，得出 ，结合对称的性质 ，可得结果．
【小问1详解】
解：如图所示：
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【小问2详解】
连接 ，∵B，F关于 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
在正方形 中， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
，理由是：
过C作 ，垂足为T，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
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在正方形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，
勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴
题．
26. 根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有
线段中最短的线段(即垂线段)的长度．类似的我们给出两个图形 的“距离”定义：如果点P为图形
上的任意一点，点Q为图形 上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值
为图形 的“距离”，记为 ．特别地，当图形 有公共点时，图形 的“距
离” ．
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（1）如图1，在平面直角坐标系中，菱形 的 ，点B、C在第一象限，若 ，
， ，则 ，菱形 ， 菱形 ；
（2）如图2，已知 的三个顶点的坐标分别为 ，将一次函数
的图象记为L．
①若 ，求k的取值范围；
②若 ，且 ，则k的值为 ；
（3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点 为平面内一点，其中n为任意实数，则
．
【答案】（1）3，2 （2）① 或 ；②
（3）
【解析】
【分析】（1）过E作 于H，由 ，可得 菱形 ，而 ，
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，有 ，故 菱形 ；
（2）①当图象L经过点B时，知 ， ，当图象L经过点C时， ，得 ，
由一次函数的图象和性质可知， ，则k的取值范围为 或 ；
②如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作 于点E， 中，令 ，得 ，
根据 ，知 ，故 ，从而 ，即得 ，
用待定系数法可得 ；
（3）令 ， ，可得 在直线 上，设直线 与x轴交
于点K，与y轴交于点G，过O作 于R，根据 ，可得
，故 ．
【小问1详解】
解：过E作 于H，如图：
∵ ，
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∴ ，
由题意知， 菱形 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 菱形 ；
故答案为：3，2；
【小问2详解】
①图象L经过点B或点C时，图象L与 只有一个交点，符合 ，
当图象L经过点B时，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
当图象L经过点C时，
将 代入 ，得 ，
解得 ，
由一次函数的图象和性质可知，当 3或 时，图象L与 有两个交点，满足
，
∴k的取值范围为 或 ；
②如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作 于点E．
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在 中，令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，得- ，
解得 ；
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故答案为： ；
【小问3详解】
令 ， ，
消去n得则 ，
∴ 在直线 上，
如图，设直线 与x轴交于点K，与y轴交于点G，过O作 于R，
令 ，则 ，
解得 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键
是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题．
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