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专练 14 函数模型及其应用
[基础强化]
一、选择题
1．[2022·河北唐山一中期中]某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染
物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：时)满足p(t)＝p×2－，其中p 为t
0 0
＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0，30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(
)
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
2．[2022·广东惠州调研]为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾
分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市 2020年全年用于垃圾分类的资金为2
000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长 20%，则该市全年用于垃圾分类的
资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( )
A．2030年 B．2029年
C．2028年 D．2027年
3．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品，在预定区域安全着陆，嫦
娥五号是使用长征五号火箭发射成功的．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式
为v＝2 000ln .如果火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是(
)
A.M＝e6m B．Mm＝e6－1
C．ln M＋ln m＝6 D．＝e6－1
4．中国的5G技术处于领先地位，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝
Wlog .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内
2
信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较
大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从
1 000提升至4 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )
A．10% B．20% C．50% D．100%
5．[2022·重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录．
良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古学家在测定遗
址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减小”这一规律．已知样本中碳14的质量N
随时间t(年)的衰变规律满足：N＝N ·2(N 表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某
0 0
文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参
考数据：log 3≈1.6，log 5≈2.3)( )
2 2
A．3 440年 B．4 010年
C．4 580年 D．5 160年
二、填空题
6．某品牌手机销售商今年1，2，3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，
为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的
销售量y(单位：万部)与月份x之间的关系，现从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函数y＝
abx＋c(b＞0，b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，
则5月份的销售量为________万部．
7．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元
设该公司一年内生产该产品x千件(0＜x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单
位：万元)，且R(x)＝
当年产量为________千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大．(注：年利
润＝年销售收入－年总成本)
8．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发
展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费
用t(万元)之间满足x＝3－的函数关系．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品
每1万件进货价格为32万元．若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产
品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润为________万元．
