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专练 25 平面向量的数量积及其应用
[基础强化]
一、选择题
1．已知两个单位向量e，e 的夹角为60°，向量m＝5e－2e，则|m|＝( )
1 2 1 2
A． B． C．2 D．7
2．[2022·全国乙卷(文)，3] 已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
4．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
5．[2022·全国乙卷(理)，3]已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(
)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos 〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的
值为( )
A．4 B．－4 C． D．－
7．已知x>0，y>0，a＝(x，1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为( )
A．4 B．9 D．8 D．10
8．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
9．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为一组邻边的平行四边形的
面积为( )
A．4 B．2 C．4 D．2
二、填空题
10．已知|a|＝，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 45°，若 tb－a 与 a 垂直，则实数 t＝
________．
11．[2020·全国卷Ⅰ]设a，b为单位向量，且︱a＋b︱＝1，则︱a－b︱＝________．
12．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a
＋b)·b＝________．
[能力提升]
13．(多选)[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点P(cos α，sin α)，P(cos
1 2
β，－sin β)，P(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则( )
3
A.| |＝| |
⃗OP ⃗OP
1 2
B．| |＝| |
⃗AP ⃗AP
1 2
C．OA· ＝ ·
⃗OP ⃗OP ⃗OP
3 1 2
D. OA· ＝ ·
⃗OP ⃗OP ⃗OP
1 2 314．(多选)[2022·山东省临沂质量检测]在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行
李包的情况(如图).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F ，F ，若|F |＝|
1 2 1
F |且F 与F 的夹角为θ，则以下结论正确的是( )
2 1 2
A．|F |的最小值为|G|
1
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F |＝|G|
1
D．当θ＝时，|F |＝|G|
1
15．[2020·全国卷Ⅱ]已知单位向量 a，b 的夹角为 45°，ka－b 与 a 垂直，则 k＝
________．
16．已知单位向量e 与e 的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e－2e 与b＝3e－e 的夹
1 2 1 2 1 2
角为β，则cos β＝________．
