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专题 2.2 整式的加减
目录
单项式.................................................................................................................................................1
单项式的系数与次数.........................................................................................................................1
多项式及其相关概念.........................................................................................................................4
整式及其相关概念.............................................................................................................................5
同类项的定义.....................................................................................................................................6
同类项含参数.....................................................................................................................................7
合并同类项.........................................................................................................................................9
去括号...............................................................................................................................................11
利用去括号进行化简.......................................................................................................................13
不含某个项.......................................................................................................................................14
比较大小...........................................................................................................................................15
整式的应用.......................................................................................................................................17
求整式的值.......................................................................................................................................19
整式的化简求值...............................................................................................................................21
单项式
(1)定义：数与字母的__乘积__．
特别地：单独一个__数__或一个__字母__也是单项式．
(2)系数：单项式中的__数字因数__．
(3)次数：__所有字母__的指数__和__．
【例1】下列整式中，为单项式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 是多项式，不是单项式，故本选项不符合题意；
、 不是整式，不是单项式，故本选项不符合题意；
、 是等式，不是单项式，故本选项不符合题意；
、 是单项式，故本选项符合题意；
故选： ．【变式训练1】下列属于单项式的是
A． B． C． D．1
【解答】解： 、是多项式，故本选项不符合题意；
、是分式，不是单项式，故本选项不符合题意；
、是多项式，故本选项不符合题意；
、是单项式，故本选项符合题意；
故选： ．
【变式训练2】在代数式 ， ， ， ，0， 中是单项式的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：单项式有 ， ，0， ，共有4个，
故选： ．
【变式训练3】已知一个单项式系数是 ，次数是4，则这个单项式可以是
A． B． C． D．
【解答】解： ． 的系数是 ，次数是4，故 符合题意；
的系数是3，次数是4，故 不符合题意；
． 是多项式，故 不符合题意；
． 的系数是 ，次数是4，故 不符合题意；
故选： ．
单项式的系数与次数
(1)定义：数与字母的__乘积__．
特别地：单独一个__数__或一个__字母__也是单项式．
(2)系数：单项式中的__数字因数__．
(3)次数：__所有字母__的指数__和__．【例2】单项式 的次数是
A． B．3 C．5 D．6
【解答】解：单项式 的次数是：6，
故选： ．
【变式训练1】下列说法正确的是
A． 的系数是5 B． 的次数是6
C． 的系数是 D． 的次数是2
【解答】解： ． 的系数是 ，故 不符合题意；
． 的次数是5，故 不符合题意；
． 的系数是 ，故 符合题意；
． 的次数是3，故 不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．0不是单项式 B． 的次数是3
C． 的系数是2 D． 的系数是
【解答】解： 是单项式，故 不符合题意；
． 的次数是3，故 符合题意；
的系数是 ，故 不符合题意；
的系数是 ，故 不符合题意；
故选： ．【变式训练3】下列说法正确的是
A． 的系数是2，次数是7
B．若 的次数是5，则
C．0不是单项式
D．若 是单项式，则 或
【解答】解： ． 的系数是 ，次数是4，故此选项不合题意；
．若 的次数是5，则 ，故此选项不合题意；
．0是单项式，故此选项不合题意；
．若 是单项式，则 或 ，故此选项符合题意．
故选： ．
多项式及其相关概念
(1)定义：几个单项式的__和__．
(2)项：多项式中的每个__单项式__．
(3)次数：__次数最高__的项的次数．
【例3】将多项式 按 的降幂排列的结果为
A． B．
C． D．
【解答】解： 按 的降幂排列为： ，
故选： ．
【变式训练1】对于多项式 ，下列说法中错误的是
A．多项式的次数是3 B．二次项系数为3C．一次项系数为0 D．常数项为1
【解答】解： 、多项式的次数是3，正确，不符合题意；
、二次项系数为3正确，不符合题意；
、一次项系数为0，正确，不符合题意；
、常数项为 ，故本选项错误，符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列结论中，正确的是
A．单项式 的系数是3，次数是2
B．多项式 是四次三项式
C．单项式 的次数是1，系数为0
D． 单项式的系数为 ，次数是4
【解答】解： 单项式 的系数是 ，次数是3，
不合题意．
多项式 是二次三项式，
不合题意．
单项式 的次数为1，系数为
不合题意．
是系数为 ，次数为4的单项式．
故 符合题意．
故选： ．
【变式训练3】把多项式 按 的降幂排列，正确的是
A． B．
C． D．【 解 答 】 解 ： 将 多 项 式 按 字 母 的 降 幂 排 列 为
，
故选： ．
整式及其相关概念
单项式和__多项式__统称整式．
【例4】下列各式中，不是整式的是
A． B． C．0 D．
【解答】解： 、 是整式，不符合题意；
、 是分式，不是整式，符合题意；
、0是整式，不符合题意；
、 是整式，不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列各式中，不是整式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 是分式，不是整式，符合题意；
、 是整式，不符合题意；
、 是整式，不符合题意；
、 是整式，不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列各式： ， ， ， ， ， ，其中整式有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：整式有： ， ， ， ，共有4个．
故选： ．
【变式训练3】在式子 ， ，2021， ， ， 中，整式的个数
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解答】解：在式子 ， ，2021， ， ， 中，整式是： ，
2021， ， ， ，
共有5个，
故选： ．
同类项的定义
1．同类项
定义：所含字母__相同__，并且__相同字母的指数__也相同的项．所有的__常数项__
也是同类项．
【例5】下列整式与 为同类项的是
A． B． C． D．
【解答】解：在 ， ， ， 四个整式中，与 为同类项的是： ，
故选： ．
【变式训练1】下列各组式子中，是同类项的为
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【解答】解： ．所含字母不相同，不是同类项，故 不符合题意；
．所含字母相同，但相同字母指数不相同，不是同类项，故 不符合题意；
．所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故 符合题意；
．所含字母不尽相同，不是同类项，故 不符合题意；
故选： ．【变式训练2】下列各组中，不是同类项的是
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【解答】解： ． 与 是同类项，故此选项不符合题意；
． 与 所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项不符合题意；
． 与 所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项不符合题
意；
． 与 所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项符合题
意．
故选： ．
【变式训练3】下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有
（1） 和 ；（2） 和 ；（3）6和 ；（4） 和
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1） 和 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
（2） 和 所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项；
（3）6和 是同类项；
（4） 和 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项；
所以以互为同类项的情况有3个．
故选： ．
同类项含参数
【例6】如果 与 是同类项，那么 ， 的值分别是A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： 与 是同类项，
， ，
解得， ， ，
故选： ．
【变式训练1】如果 和 是同类项，则 ， 的值是
A． ，2 B．2， C． ，3 D．3，
【解答】解： 和 是同类项，
，
解得： ．
故选： ．
【变式训练2】若 与 的差是一个单项式，则代数式 的值为
A． B．6 C． D．8
【解答】解：由题意得：
， ，
， ，
，
故选： ．
【变式训练3】如果 与 是同类项，那么 和 的值分别为
A．3和4 B．5和 C．5和 D．4和
【解答】解： 与 是同类项，
， ，
解得： ， ．故选： ．
合并同类项
(1)定义：把__同类项__合并成一项叫做合并同类项．
(2)法则：合并同类项时，把同类项的__系数__相加，字母和__字母的指数__不变．
【例7】下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，计算正确，符合题意；
、 ，计算不正确，不符合题意；
、 与 不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；
、 与 不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下面运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 与 不是同类项，无法计算，故此选项不符合题意；
、 与 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项不符合题意；
、 ，故此选项符合题意．
故选： ．
【变式训练2】下列算式中正确的是A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，故 不符合题意．
、 与 不是同类项，不能合并，故 不符合题意．
、 与 不是同类项，不能合并，故 不符合题意．
、 ，故 符合题意．
故选： ．
【变式训练3】下列各式中运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 与 不能合并，故 不符合题意；
、 与 不能合并，故 符合题意；
、 ，故 符合题意；
、 与 不能合并，故 不符合题意；
故选： ．
【例8】化简： ．
【解答】解：原式
．
【变式训练1】合并同类项：
（1） ．
（2） ．
【解答】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【变式训练2】合并同类项
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练3】合并同类项：
（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2） ．．
去括号
(1)＋( )：括号前是正号时，直接去掉括号及正号，括号里面各项均不变．
注意：首项“没有”符号时，要补加“＋”．
(2)－( )：括号前是负号时，直接去掉括号及负号，括号里面各项的符号都要改
变．
注意：“都”即每一项的符号都要改变．
(3)－n( )：括号前是有理数时，根据有理数乘法分配律去括号，即括号前的数
与括号里面各项系数分别相乘．
【例9】下列添括号正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项符合题意；
． ，故此选项不合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列式子中去括号错误的是
A．
B．C．
D．
【解答】解： ，正确，不合题意；
，正确，不合题意；
，原题解答错误，符合题意；
． ，正确，不合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列式子中去括号正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项符合题意；
． ，故此选项不合题意；
． ，故此选项不合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列计算正确的是
A．
B．
C．D．
【解答】解： 、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项错误；
、 ，故此选项正确．
故选： ．
利用去括号进行化简
【例10】计算： ．
【解答】解：
．
【变式训练1】先去括号，再合并同类项
（1）
（2）
【解答】解：（1） ；
（2） ．
【变式训练2】去括号，并合并同类项：
（1）
（2）
【解答】解：（1） ；（ 2 ）
；
【变式训练3】先去括号、再合并同类项
①
② ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
不含某个项
【例11】将多项式 化简后不含 项，则 的值是
A． B． C． D．
【解答】解：
，
将多项式 化简后不含 项，
，
解得 ，
故选： ．
【变式训练1】如果多项式 与多项式 相加后不含二次项，那么常数 的值是
A．2 B． C． D．
【解答】解：
令 ，
，
故选： ．
【变式训练2】若关于 、 的多项式 不含二次项，则 的
值为
A． B．11 C． D．21
【解答】解：
，
关于 、 的多项式 不含二次项，
， ，
， ，
，
故选： ．
【变式训练3】当代数式 中不含 项，则 的值为
A．0 B． C． D．2
【解答】解：
，由题意得： ，
解得： ，
故选： ．
比较大小
【例12】如果 ， ，那么 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解： ， ，
，
不论 为何值， ，
，
，
故选： ．
【变式训练1】如果 ， ，那么 和 的大小关系是
A． B． C． D．无法判断
【解答】解：由题意得：
，
，，
，
即 ．
故选： ．
【变式训练2】设 ， ，那么 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
【解答】解： ， ，
，
，
，即 ，
，
则 ，
故选： ．
【变式训练3】多项式 ， ， 为任意的有理数，则判断正确
的是
A． B．
C． D． 与 的大小与 的值有关
【解答】解：
，
，
故选： ．整式的应用
【例13】如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长 ，宽 的长方形
中，正方形①，②，③的边长分别为 ， ， ，且 ，则阴影部分周长为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得，阴影部分的周长为：
．
故选： ．
【变式训练1】把两张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图 不重复地放在一个底面
为长方形（长为 ，宽为 的盒子底部（如图 ，盒子底面未被卡片覆盖的部分用
阴影表示．则图2中两块阴影部分周长的和是
A． B． C． D．
【解答】解：设图1小长方形卡片的长为 ，宽为 ，根据题意得：两块阴影部分的周长和为
．
故选： ．
【变式训练2】如图①，将一个边长为 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“ ”
形的图案，如图②所示，则这个“ ”形的图案的周长可以表示为
A． B． C． D．
【解答】解：由图②可得，
这个“ ”形的图案的周长可以表示为：
，
故选： ．
【变式训练3】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图① ，卡片长为 ，宽为 ，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为 的盒子底部（如图② ，盒底面未被卡片覆盖的
部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是 （用只含 的代数式表示）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ，
则 图 ② 中 两 块 阴 影 部 分 周 长 和 是
．
故选： ．
求整式的值
【例14】先化简，再求值： ，其中 ， ．
【解答】解：原式
，
当 ， 时，
原式
．
【变式训练1】化简求值．
（1） ，其中 ；（2）已知 ， ， ，求 ．
【解答】解：（1）
，
当 时，原式 ；
（2）
，
当 时，原式 ．
【变式训练2】先 化 简 ， 再 求 值 ． 已 知 ， 求
的值．
【解答】解： ，
， ．
原式
．
当 ， 时，
原式
．
【变式训练3】先化简，再求值：（1） ，其中 ， ．
（2） ，其中 ， ．
【解答】解：（1）原式
．
当 ， 时，
原式
．
（2）原式
．
当 ， 时，
原式
．整式的化简求值
【例15】已知关于 、 的代数式 的值与字母 的取
值无关．
（1）求 和 值．
（2）设 ， ，求 的值．
【解答】解：（1）原式
，
代数式的值与 取值无关，
， ，
解得： ， ；
（2）
．
将 ， 代入上式，
原式
．
将 ， 代入上式，
原式
．
【变式训练1】已知： ， ．（1）求 ；
（2）若 的值与 无关，求 的值．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） 的值与 无关，
，
，即 ．
【变式训练2】已知 ， ．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）若（1）中式子的值与 的取值无关，求 的值．
【解答】解：（1）
，
，
当 ， 时，
原式 ；
（2） ，
又 式子的值与 的取值无关，．
【变式训练3】已知代数式 ， ．
（1）化简代数式： ；
（2）若对任意的实数 ，代数式 为有理数）的结果不小于0，求 的最小值．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ， ，
，
对于任意的实数 ，代数式 的结果不小于0，
，
解得 ；
的最小值为13
1．若单项式 与 是同类项，则 ， 分别是
A．3，4 B．4，3 C． ， D． ，【解答】解： 单项式 与 是同类项，
， ，
故选： ．
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式不是同类项，不能合并，不符合题意；
、原式 ，符合题意；
、原式不是同类项，不能合并，不符合题意；
、原式 ，不符合题意．
故选： ．
3．若单项式 与 是同类项，则 的值是
A．6 B．8 C．9 D．12
【解答】解：根据题意得： ， ，
解得： ， ，
则 ．
故选： ．
4．下列各组中，不是同类项的是
A． 和 B．3和 C． 和 D． 和
【解答】解： ． 和 所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项不符
合题意；
．3和 是同类项，故此选项不符合题意；
． 和 所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项不符合题意；
． 和 所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项符合题
意．
故选： ．5．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 的平方，故 错误；
、 ，故 错误；
、不是同类项不能合并，故 错误；
、合并同类项系数相加字母及指数不变，故 正确；
故选： ．
6．下列去括号正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，故本选项错误；
、 ，故本选项错误；
、 ，故本选项正确；
、 ，故本选项错误．
故选： ．
7．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、原式 ，符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；、原式不能合并，不符合题意．
故选： ．
8．已知 ， ，则 和 的值分别为
A． 和32 B．8和32 C． 和32 D．8和
【解答】解： ， ，
故选： ．
9．已知单项式 与 是同类项，则 3 ， ．
【解答】解：由题意可知： ， ，
， ，
，
故答案为：3， ．
10．单项式 与 是同类项，那么 的值为 ．
【解答】解：由单项式 与 是同类项，得
， ．
，
故答案为： ．
11．若 ，则 的值是 4 ．【解答】解： ，
， ，
．
故答案为：4．
12．化简： ．
【解答】解：原式 ，
故答案为： ．
13．已知单项式 与单项式 是同类项，求 的值．
【解答】解：因为单项式 与单项式 是同类项，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
14．已知单项式 和 是同类项，求代数式 的值．
【解答】解： 单项式 和 是同类项，
， ，
， ，
．
15．（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【解答】解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
