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专题4.14 线段几何模型-单（双）中点模型（专项练习）
【模型一】线段单中点
如图一，点P为线段AB中点，则有如下结论：
（1）：PA=PB;
（2）：AB=2AP=2PB；
（3） 图一
【模型二】线段双中点
（1）线段上的双中点
图二
（2）线段延长线上的双中点模型
图三
一、单选题
1．如图，D是线段AB上的一点，点C是AB的中点， ， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．如图，点 为线段 的中点， ，若 ，则 的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，AB=8，点M是AB的中点，点N在BM上，且MN=3BN，则AN的长为（
）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图，点C是线段AB上一点，点M是AC的中点，点N是BC的中点，如果MC
比NC长2cm，那么AC比BC长（ ）
A．2cm B．4cm C．1cm D．6cm
5．如图，点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ， ，则下列结
论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知线段AB＝12cm，点C为直线AB上一点，且AC＝4cm，点D为线段BC的中
点，则线段AD的长为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm
7．已知直线l，点A，E，B，C，F，D从左向右依次在直线l上，若AD=6，
AC=BD=4，E，F分别是线段AB，CD的中点，则线段EF的长度为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
8．若点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，线段AB＝18cm，则线段
的BD长为（ ）
A．6cm B．15cm C．12cm或15cm D．12cm或6cm
9．已知线段 ，点C在 的延长线上，点D在直线 上， ，，点M是线段 的中点，则 的长为（ ）
A．4或12 B．8或12 C．4或8 D．9或12
10．如图，D、E顺次为线段 上的两点， ，C为AD的中点，则下列选项正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
11．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若 ，
，则 ______cm．
12．若点 在线段 上， ， ， 、 分别是 、 的中点，则线
段 的长为_________．
13．如图， ， ，D、E分别是AB、BC的中点，则 ______．
14．如图，线段 ，延长AB至点C，使得 ，D为BC的中点，则BD
＝_____cm．
15．如图，点C是线段AB上一点，AC<CB，M、N分别是AB和CB的中点， ，
，则线段 __________．
16．如图，线段 BD = AB= CD， 点 M、N分别是线段AB、CD的中点，且MN =20cm， 则 AC的长为___________ ．
17．在直线AB上，AB＝10，AC＝16，那么AB的中点与AC的中点的距离为
__________．
18．如图，线段 表示一条已经对折的绳子，现从 点处将绳子剪断，剪断后的各
段绳子中最长的一段为30cm．
（1）若点 为 的中点，则对折前的绳长为______cm；
（2）若 ，则对折前的绳长为______cm．
三、解答题
19．补全解题过程
已知：如图，点C是线段AB的中点， cm， cm，求AD的长.
解：∵ cm， cm，
∴ ______＝______cm
∵点C是线段AB的中点，
∴ ______cm，
∴ _______＝_______cm
20．已知点C在直线AB上，线段AB＝5cm，BC＝3cm，点D为AC的中点，求线段
BD的长．（根据题目描述画出示意图并计算）21．如图，已知线段 ， ，点M是AC的中点．
(1)求线段AM的长；
(2)在CB上取一点N，使得 ，求线段MN的长．
22．如图，已知线段 ，C为 延长线上一点，且 ．
(1)求 的长；
(2)若D是 的中点，E是 的中点，求 的长．
23．如图直线L上有A、B两点，线段 ，
(1)若在线段 上有一点C，且满足 ，点P为线段 的中点，求线段 的
长．
(2)若点C在直线L上，且满足 ，点P为线段 的中点，求线段 的长．24．如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿
射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2) 若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，
求AP的长度．参考答案
1．B
【分析】由中点的含义先求解 再利用线段的和差关系可得答案.
解： 点C是AB的中点， ，
故选B
【点拨】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系
与中点的含义”是解本题的关键.
2．B
【分析】首先根据 ， ，求出BD=1，进而求出CD=3，然后根据点
为线段 的中点，求出AD的长度，即可求出AB的长度．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为线段 的中点，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】此题考查了线段的中点以及和差计算，解题的关键是正确分析题目中线段之
间的数量关系，根据 ， ，求出BD=1．
3．A
【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，进而结合图形根据线段之间的和
差关系进行求解即可．
解：∵点M是AB的中点，
∴BM=AM= AB= ×8=4（cm），∵MN=3BN，MN+BN=4，
∴3BN +BN=4，
∴BN=1，
∴AN=AB-BN=8-1=7（cm）．
故选：A．
【点拨】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出BM=AM=
AB，注意数形结合的运用．
4．B
【分析】根据线段中点的性质，可得AC＝2MC，BC＝2NC，再根据根据线段的和差，
可得AC﹣BC＝2MC﹣2NC＝2（MC﹣NC），即可得到答案．
解：由点M是AC的中点，点N是BC的中点，得
AC＝2MC，BC＝2NC．
AC﹣BC＝2MC﹣2NC＝2（MC﹣NC）＝2×2＝4（cm），
故选：B．
【点拨】本题考查了两点间的距离、线段的中点等知识，利用线段的和差得出AC﹣
BC＝2（MC﹣NC）是解题关键．
5．D
【分析】根据线段中点的定义与线段的和差逐项分析可得答案．
解：∵点B是线段AD的中点，AB＝a，
∴AD＝2AB＝2a，故A正确，不符合题意；
∵BD＝AB＝a，
∴BC＝BD﹣CD＝a﹣b，故B正确，不符合题意；
∵AC＝2AB＝2a，CD＝b，
∴AC＝AD﹣CD＝2a﹣b，故C正确，不符合题意；
∵点C不是CD的四等分点，
∴BC≠ b，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查线段中点的定义与线段的和与差，熟练掌握线段中点的定义与线段
的和差是解题关键．
6．C【分析】分两种情况考虑：点C在线段AB上，点C以线段BA的延长线上；利用中点
的意义及线段的和差关系即可求得线段AD的长．
解：①当点C在线段AB上时，如图
则BC=AB-AC=12-4=8(cm)
∵点D为线段BC的中点
∴
∴AD=AC+CD=4+4=8(cm)
②点C以线段BA的延长线上时，如图
则BC=AB+AC=12+4=16(cm)
∵点D为线段BC的中点
∴
∴AD=CD AC=8 4=4(cm)
综上所述−，AD的−长为4cm或8cm
故选：C
【点拨】本题考查了中点的含义、线段的和差运算，注意分类讨论．
7．D
【分析】依据AD＝6，AC＝BD＝4，即可得出AB＝AD﹣BD＝6﹣4＝2，CD＝AD﹣
AC＝6﹣4＝2，再根据点E、F分别是线段AB、CD的中点，即可得到AE＝ AB＝1，DF
＝ CD＝1，进而得出线段EF的长．
解：∵AD＝6，AC＝BD＝4，
∴AB＝AD﹣BD＝6﹣4＝2，CD＝AD﹣AC＝6﹣4＝2，
∵点E、F分别是线段AB、CD的中点，∴AE＝ AB＝ ，DF＝ CD＝ ，
∵EF＝AD﹣AE﹣DF，
∴EF＝6﹣1﹣1＝4．
故选：D．
【点拨】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用线段的和差关系进行解答．
8．C
【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义画出图形即可得到结论．
解：∵C是线段AB的中点， AB= 18cm，
∴AC=BC= AB= ×18=9cm，
点D是线段AC的三等分点，
当点D离点A较近，即AD= AC时，如图1，
∵AD= AC，AC=9cm，
∴AD=3cm，
∴BD=AB-AD= 18-3=15cm；
②当点D离点C较近，即CD= AC时，如图2，
∵CD= AC，AC=9cm，
∴CD=3cm，
∵BC=9cm，
∴BD= BC+CD=9+3=12cm，故选：C．
【点拨】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的
关键．
9．A
【分析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线
段的中点的定义得到CM= CD=8，于是得到AM=AC−CM=4；如图2，当D在ABAB的延
长线上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM=
CD=24，于是得到AM=CM−AC=24−12=12．
解：如图1，当D在线段AB上时，
∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD =BC−BD=16，
∵点M是线段CD的中点，
∴CM= CD=8，
∴AM=AC−CM=4；
如图2，当D在AB的延长线上时，
∵AB=20，AC=12，
∴BC=AB+AC=32，
∵BD=16，
∴CD=BC+BD=32+16=48，
∵点M是线段CD的中点，
∴CM= CD=24，
∴AM=CM−AC=24−12=12，综上， 的长为4或12，
故选：A．
【点拨】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，
正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的
问题时，要防止漏解．
10．D
【分析】先利用中点的含义及线段的和差关系证明 再逐一分析即可得到
答案.
解： C为AD的中点，
，则
故A不符合题意；
，则
同理： 故B不符合题意；
，则
同理： 故C不符合题意；
，则同理： 故D符合题意；
故选D
【点拨】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，掌握“线段的和差关系
即中点的含义证明 ”是解本题的关键
11．3
【分析】先求出BC，再根据中点的定义得出答案即可．
解：因为AB=16cm，AC=10cm，
所以BC=AB-AC=16-10=6(cm)．
因为点D是BC的中点，
所以 （cm）．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了线段的和差的计算，，掌握中点的定义是解题的关键．
12．8
【分析】根据中点定义求得BP，BQ的长；利用线段求和即可得PQ的长．
解：∵ ， ， 、 分别是 、 的中点，
∴BP＝6÷2＝3；BQ＝10÷2＝5，
∴PQ＝BP+ BQ＝3+5＝8．
故答案为8．
【点拨】此题主要考查了线段的中点的含义以及线段和差，熟记线段中点定义是解题
的关键．
13．5
【分析】由线段中点的定义先求解 从而可得答案．
解：∵ ， ，D、E分别是AB、BC的中点，
∴
∴
故答案为5.
【点拨】本题考查的是线段的中点的定义，掌握“线段中点的定义”是解本题的关键．
14．【分析】先根据题目的等量关系得到BC，再根据中点的性质即可求出BD．
解：∵AB=3cm，
∴BC=3AB=9cm，
∵D为BC的中点，
∴BD= BC= cm．
故答案为： ．
【点拨】本题考查线段的和差倍分问题和线段的中点性质，结合图象分析线段之间的
等量关系即可．
15．4
【分析】根据中点的性质可得BC的长，根据线段的和差可得AB的长，根据中点的性
质可得BM的长，再根据线段的和差可得MN的长．
解：由N是CB的中点，NB=5，得：BC=2NB=10．
由线段的和差，得：AB=AC+BC=8+10=18．
∵M是AB的中点，
∴ ，
由线段的和差，得：MN=MB-NB=9-5=4，
故答案为：4.
【点拨】本题主要考查了线段中点的性质和线段的和差，线段的中点分线段相等是解
题的关键．
16．48cm
【分析】根据等式的性质，可得AB与BD的关系，CD与BD的关系，根据线段中点
的性质，可得AM与BM的关系，DN与NC的关系，根据线段的和差，可得BD的长，根
据线段的和差，可得答案．
解：由BD = AB= CD得 AB=3BD，CD=4BD．
∵点M、N分别是线段AB、CD的中点，
∴AM=BM= BD，DN=CN= 2BD．
由线段的和差，得BN=DN-BD=2BD-BD=BD， BC=CD-BD=4BD-BD=3BD，∴MN=MB+BN= BD+BD=20．
解得BD=8cm．
∴AC=AB+BC=3BD+3BD=6BD=6×8=48，
故答案为：48cm．
【点拨】本题考查了中点的含义，线段的和差关系，掌握“线段的和差关系与中点的
含义证明BN=BD， BC=3BD”是解本题的关键．
17．3或13##13或3
【分析】分两种情况讨论：若点B位于点A和点C间，若点A位于点B和点C间，
解：设AB的中点与AC的中点分别为点M、N，
如图，若点B位于点A和点C间，
；
如图，若点A位于点B和点C间，
；
综上所述，AB的中点与AC的中点的距离为3或13．
故答案为：3或13
【点拨】本题主要考查了有关中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系，
利用分类讨论思想解答是解题的关键．
18． 60 50或75
【分析】（1）根据 为 中点，可知 ，根据线段和即可得到答案；
（2）分类讨论：① 是最长的一段，根据 ，可得 的长，再根据线段的
和差，可得答案；② 是最长的一段，根据 ，可得 的长再根据线段的和差，
可得答案．
解：（1） 为 中点，，
,
故答案为： ；
（2）① 是最长的一段， ，得
，
由线段的和差，得
，
原来绳长为 ，
② 是最长的一段，由题意 ，
，
由线段的和差，得 ，
原来绳长为 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了线段的和与差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
19．BD，10，10， CD，12．
【分析】根据线段的和差，可得CB的长，根据线段中点的定义可得AC的长，再根据
线段的和差，可得答案．
解：∵ cm， cm，
∴ BD＝10cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴ 10cm，
∴ CD＝12cm．
故答案为：BD，10，10， CD，12．
【点拨】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，掌握线段中点的定义是解题的关
键．
20． 或
【分析】根据题意画出图形，注意分 点在 点的左侧以及右侧两种情况分别讨论，结合图形以及线段中点的性质即可求解．
解：①如图，当 在 点的左侧时，
AB＝5cm，BC＝3cm，点D为AC的中点，
，
，
②如图，当 在 点的右侧时，
，
．
综上所述，线段BD的长为 或 ．
【点拨】本题考查了线段中点的性质，线段和差计算，数形结合是解题的关键．
21．(1)4(2)9
【分析】（1）根据线段的和差关系，可得 ，根据点M是AC的中点，可得
；
（2）由 ，求得 ,根据点M是AC的中点，求得 ，根据
即可求解．
（1）解：线段 ， ， ∴ ， 又∵点M是AC
的中点．∴ ，即线段AM的长度是4；
（2）解：∵ ， ，∴ ， 又∵点M是AC的
中点， ，∴ ， ∴ ，即MN的长度是9 ．
【点拨】本题考查了线段和差的计算，线段中点的定义，数形结合是解题的关键．
22．(1)32cm(2)4cm
【分析】（1）根据线段 ，先求解线段BC，再利用线段的和差关系可得答案；
（2）根据线段中点的含义先求解 ，再利用线段
的和差关系可得答案．
(1)解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
(2)因为D是 的中点，E是 的中点， cm， cm，
所以 ，
所以
【点拨】本题考查的是线段的和差倍分关系，线段中点的含义，熟练的利用线段的和
差倍分关系进行计算是解本题的关键．
23．(1) (2) 或
【分析】（1）利用线段的和差求得BC，根据线段中点定义即可求解；
（2）分点C在点A的左侧和点C在点A的右侧两种情况进行讨论．
解：(1)如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵点P为线段 的中点，
∴ ；
(2)①当点C在点A的左侧时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∵点P为线段 的中点，
∴ ，②当点C在点A的右侧时1，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵点P为线段 的中点，
∴
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关
键，注意利用分类讨论．
24．(1)① ；② (2)
【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为： 秒，则 ，利用中点的性质表达出：
，即可得出答案；
（2）依题意得出 ， ，再由 和 ，
即可得出AP的长度．
解：（1）①依题意得： ，∴
，故答案为： ；②设运动时间为 秒，则
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点， ∴
∴ 故答案为： ；
（2）设运动时间为 秒，则 ，∴ ，∵ ，∴
，∵ ∴ ∴．
【点拨】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段
之间的数量关系是解题的关键．
