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第一次月考难点特训（一）与二次函数有关的压轴题
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点与y轴交于点C，动点P
在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件
的点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，
连接EF，当线段EF的长度最短时，请直接写出点P的坐标．
2．如图，已知抛物线C ：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的
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左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图（1），抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物
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线记为C ，C 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C 的解析式；
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（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C 绕点Q旋转180°后得到抛物线C ．
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抛物线C 的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶
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点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．
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3．在平面直角坐标系中，抛物线y= x2− mx+ m2﹣2m顶点为M．
4 2 4（1）M点坐标为 （结果用m表示）．
（2）当m＝2时，如图所示，该抛物线与x轴交于A，B两点．P为抛物线第三象限内一点，过
A作MP的垂线，垂足为C，D为射线CM上一点，若AC＝CD，求∠BDM；
（3）G（﹣3，1），H（1，2），若该抛物线与线段GH只有一个公共点，求m的取值范围．
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4．已知：如图1，抛物线C：y= x2+c交x轴于A、B两点（A在B左侧），交y轴于点C，若
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OB＝2OC．
（1）求c的值；
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（2）如图2，已知y= x2+c，过C点的直线l分别交第一象限内的抛物线C 、C 于M、N两
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点，探究M、N两点横坐标之间的数量关系；
（3）如图3，将抛物线C 向下平移经过点K（8，0），交y轴于点T，得抛物线C ，点P是抛
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物线C 上在T、K间的一个动点（含端点）．若D（0，﹣6）、E（4，0），记△PDE的面积
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为S，点P的横坐标为x．
①求S关于x的函数关系式；
②求满足S为整数的点P的个数．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且
长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣
m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交
于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的
周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求
出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
7．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负
半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点 E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作
EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点
E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分
成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点
C，顶点为D，且A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）
（1）求抛物线的解析式和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，如图2，与抛物线的对称轴交于点 E，点P为线段BC上一动点，过点 P作
PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．△BCF的面积为S，求S与m的函数关系，并
指出m的取值范围．
（3）试证明：对于任意给定的一点G（0，t）（t＞3），过点G的一条直线交抛物线于点M、
N两点，如图3．在抛物线上都能找到点M，使得GM＝MN成立．
9．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点 A（1，0）、B（5，0）、C
（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平
行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）
10．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的
对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点
C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE
交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，
连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，
交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线
上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点
E的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y
轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在
y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√5，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段
GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不
存在，请说明理由．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于
点C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，
请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．15．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB
＝3，OC＝4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
