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计算题对点练(四) 能量和动量计算题
1.(10 分)(2025 福建莆田模拟)如图所示,长为L=4 m、质量为3m 的长木板置于光滑水平
平台上,长木板的左端与平台左端对齐,质量为m 的物块b 放在长木板上表面的左端,长
木板的上表面离地面的高度为1.8 m。先将长木板锁定,让质量为1
2
m 的小球a 在地面上
的A 点斜向右上与水平方向成45°角抛出,小球a 沿水平方向与物块b 发生弹性碰撞,碰
撞后,物块b 滑离长木板时速度为a、b 碰撞后一瞬间b 的速度的1
2
,重力加速度g 取10
m/s2。求:
(1)小球a 与物块b 碰撞前一瞬间,小球a 的速度大小;
(2)物块b 与长木板上表面的动摩擦因数;
(3)解除长木板的锁定,让小球a 仍从A 点以原速度抛出,小球a 与物块b 碰撞后,物块b 与
长木板的最终速度大小。
2.(12 分)如图所示,固定在竖直面内半径为R 的四分之一光滑圆弧最低点与水平传送带
相切于B 点,传送带左端与足够长光滑水平面相切于C 点。传送带BC 之间的距离为R,
传送带始终以大小为v0=√gR的速度沿逆时针匀速转动。一质量为3m 的物块Q 静止在
水平面C 端,将质量为m 的物块P 在圆弧的最高点A 由静止释放,P 沿圆弧下滑并滑上传
送带,运动到水平面上后与Q 发生弹性碰撞,P 与传送带间的动摩擦因数为0.4,不计物块
的大小及空气阻力。重力加速度大小为g,求:
2
(1)物块P 运动到圆弧最低点时对轨道的压力大小;
(2)P 与Q 碰撞过程中,P 对Q 的冲量大小;
(3)碰撞之后,P、Q 间的最大距离。
3.(13 分)(2025 山西临汾适应练)建筑工地上,有一种简易打桩机。如图所示,打桩锤C 和
重物A、B 通过不可伸长的轻质钢绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接,C 与滑轮等高
(图中实线位置),C 到两定滑轮的距离均为L=3 m。重物A、B 和打桩锤C 均可视为质点,
A、B 的质量均为m=50 kg,C 质量为m'=80 kg。系统可以在如图中虚线位置保持静止
(C、D 恰不接触)。某次打桩时,将C 由图中实线位置静止释放,运动到虚线位置时,与质
量为mD=120 kg 的静止桩D 发生弹性碰撞,碰撞时间极短。碰撞后桩D 进入泥土,受到
泥土的阻力随深度x 变化的关系式为Ff=kx(k 为常量),桩D 进入泥土的最大深度xm=10
cm。重力加速度g 取10 m/s2。求:
(1)打桩锤C 从静止运动到虚线位置时,C 下降的高度H;
(2)打桩锤C 从静止运动到虚线位置时,C 获得的速度v0;
(3)常量k 的值。
3
4.(15 分)(2025 福建龙岩模拟)如图所示,某快递公司自动卸货装置由直轨道AB、圆弧轨
道BC、水平轨道DE 和固定在E 端的弹簧组成,轨道均光滑,AB 与BC 相切于B 点。直
轨道倾角θ=37°,A、B 两点竖直高度差h=0.9 m,圆弧轨道半径R=1 m、圆心角θ=37°。
质量为m1=1 kg 的运货箱载有质量为m2=3 kg 的货物一起从轨道最高点A 静止下滑,经
圆弧BC 滑上紧挨着C 点的静止小车,小车上表面水平且与C 点等高,运货箱与挡板碰撞
后共速但不粘连,二者右行压缩弹簧至最短时锁定。卸货后解锁,小车与空箱被弹回,小
车遇左侧台阶碰撞瞬间停止,空箱滑出后恰能返回到A 点。已知小车质量m3=1.5 kg,长
度L=0.6 m,弹簧始终在弹性限度内,货物在运货箱内不滑动,运货箱和货物视为质点,重
力加速度g 取10 m/s2,求:
(1)运货箱经过圆弧轨道C 点时对轨道的压力;
(2)当弹簧被压缩到最短时弹簧的弹性势能;
(3)小车上表面与运货箱间的动摩擦因数。
4
参考答案
1.答案 (1)6 m/s
(2)0.15
(3)1 m/s
解析 (1)设小球a 与物块b 碰撞前一瞬间,小球a 的速度大小为v1,在A 点抛出的初速度
大小为v0,则竖直方向根据运动学公式(v0sin 45°)
2=2gh
综合解得v1=v0cos 45°=√2 gh=6 m/s。
(2)a 与b 碰撞过程,根据动量守恒定律有1
2
mv1=1
2
mv2+mv3
根据机械能守恒定律有1
2 × 1
2 mv1
2= 1
2 × 1
2 mv2
2+ 1
2 mv3
2
解得v2=-2 m/s,v3=4 m/s
根据题意,物块b 滑离长木板时的速度v4=2 m/s
根据动能定理有μmgL=1
2 m v3
2- 1
2 m v4
2
解得μ=0.15。
(3)假设a、b 碰撞后物块b 能滑到长木板的右端,令此时物块b 和长木板的速度大小
分别为v4'、v5,则由动量守恒定律有mv3=mv4'+3mv5
由能量守恒定律有μmgL=1
2 m v3
2- 1
2
mv4'2-1
2
×3mv5
2
联立两式代入数据解得v4'=v5=1 m/s
可见假设成立且物块b 刚好静止在长木板的右端。
2.答案 (1)3mg
(2)3m√30 gR
10
(3)3
2
R
5
解析 (1)设P 第一次滑上传送带时,物块P 的速度大小为v1,根据机械能守恒定律有
mgR=1
2 m v1
2
解得v1=√2 gR
运动到圆弧最低点时由牛顿第二定律得FN-mg=mv1
2
R
解得FN=3mg
由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小FN'=FN=3mg。
(2)设物块在传送带上先减速后匀速,则匀减速运动的加速度大小a=μg=0.4g
减速运动的距离x=v1
2- y1
2
2a
=1.25R>R
假设不成立,因此P 第一次通过传送带一直做减速运动,设通过传送带的速度大小为
v2,则有v1
2- v2
2
2a
=R
解得v2=√
6
5 gR
设Q、P 碰撞后,P 的速度大小为v3,Q 的速度大小为v4,根据动量守恒定律有mv2=-
mv3+3mv4
根据能量守恒定律有1
2 m v2
2= 1
2 m v3
2+ 1
2
×3mv4
2
解得v3=v4=1
2v2=1
2√
6
5 gR
碰撞过程中,P 对Q 的冲量大小I=mv2+mv3=3m√30 gR
10
。
(3)碰撞后P 向左减速至速度为0 的过程中位移x3= v3
2
2 μg = 3
8
R<R
又v3<v0
因此物块P 第二次在传送带上先减速再反向加速运动,运动的时间t2=2v2
μg =√
15 R
2g
6
最终Q、P 共速,Q、P 间的最大距离s=v4t2=3
2
R。
3.答案 (1)4 m
(2)5
3 √6 m/s
(3)1.52×105 N/m
解析 (1)打桩锤C 静止在虚线位置时,合力为0,此时绳与竖直方向夹角为θ,以C 为研究
对象,根据平衡条件有2mgcos θ=m'g
得cos θ=4
5
,θ=37°
打桩锤C 从静止下降到虚线位置时下降的高度H=
L
tanθ
解得H=4 m。
(2)打桩锤C 从静止下降到虚线位置时的速度为v0,则A、B 的速度vA=vB=v0cos θ
A、B 上升的高度hA=hB= L
sinθ
-L
根据机械能守恒定律有m'gH-2mghA=1
2
m'v0
2+2×1
2 m v A
2
得v0=5
3 √6 m/s。
(3)打桩锤C 和静止桩D 发生弹性碰撞,设碰后C 的速度为vC,D 的速度为vD,根据动
量守恒定律有m'v0=m'vC+mDvD
根据能量守恒定律有1
2
m'v0
2= 1
2
m'vC
2+ 1
2
mDv D
2
得vD= 2m'
m'+mD
v0=4
3 √6 m/s
D 进入泥土,根据动能定理有mDgxm-Wf=0-1
2
mDv D
2
其中克服阻力做功Wf=1
2 k xm
2
7
解得k=1.52×105 N/m。
4.答案 (1)128 N,方向竖直向下
(2)32 J
(3)0.3
解析 (1)对运货箱和货物整体,从A 到C 过程,由动能定理有(m1+m2)g[h+R(1-cos θ)]=1
2
(m1+m2)vC
2
解得vC=√22 m/s
C 点有FN-(m1+m2)g=(m1+m2)vC
2
R
解得FN=128 N
根据牛顿第三定律,运货箱对轨道的压力FN'=FN=128 N,方向竖直向下。
(2)从滑上小车到共速,运货箱、货物和小车组成的系统动量守恒,则有
(m1+m2)vC=(m1+m2+m3)v 共
弹簧压缩到最短时,弹簧的弹性势能为Ep=1
2
(m1+m2+m3)v共
2
解得Ep=32 J。
(3)取走货物,弹簧解锁后,弹性势能转化为运货箱和小车的动能,即Ep=1
2
(m1+m3)v2
小车与台阶碰撞后静止,此后根据能量守恒定律,有1
2
m1v2=μm1gL+m1g[h+R(1-cos θ)]
解得μ=0.3。
