文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题01 统计与成对数据的统计分析
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】随机抽样
【知能解读02】用样本估计总体
【知能解读03】成对数据的统计分析
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】频率分布直方图的计算
【重难点突破02】非线性回归分析的求法
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【易混易错02】对样本数字特征认识不到位
【易混易错03】求解独立性检验问题对
的值理解不准确
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】应用随机数表法的两个关键点
【方法技巧02】 解决分层抽样的常用公式
【方法技巧03】统计图表
【方法技巧04】百分位数的计算
【方法技巧05】用样本的数字特征估计总体的数字特征
【方法技巧06】判断相关关系的2 种方法
【方法技巧07】样本相关系数的计算
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【方法技巧08】线性回归分析问题的类型及解题方法
【方法技巧09】决定系数与残差
【方法技巧10】分类变量与列联表
【方法技巧11】独立性检验的一般步骤
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
01 随机抽样
1、抽样调查
（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．
（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本
中个体的数目叫做样本容量．
2、简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有
个个体，从中逐个不放回地抽取
个个体作为样本（
），如
果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的
样本，叫做简单随机样本．
（2）两种常用的简单随机抽样方法
①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的
个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器
中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取
次，就得到一个容量为
的样本．适用于总体个数
较少的情况。
②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表
法．随机数表由数字
，，
，…，
组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．适用
于总体个数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不
方便．
（3）简单随机抽样的特征（只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样）
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
3、分层抽样
（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一
定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．
（2）分层抽样问题类型及解题思路
①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝”
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【注意】分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取
（
）个个体
（其中是层数，
是抽取的样本容量，
是第层中个体的个数，
是总体容量）．
【真题实战】（2026·河北沧州·一模）第十五届全运会将于2025 年11 月9 日至21 日在广东举行．广东某
高中为调查该校学生对全运会的了解程度，利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了90
问
人进行了
卷调查，其中高一、高二年级分别抽取了24 人、30 人，且高三年级共有学生1080 人，则该高中学生总数
为 人．
02 用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
（2）频率分布直方图中数字特征的计算
①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为
，利用
左（右）侧矩形面积之和
等于
，即可求出
．
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形
底边中点的横坐标之和，即有
，其中
为每个小长方形底边的中点，
为每个小
长方形的面积．
2、百分位数
（1）定义：一组数据的第
百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有
的数据小于或等于这个
值，且至少有
的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组
个数据的的第
百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算
．
③若不是整数而大于的比邻整数
，则第
百分位数为第
项数据；若是整数，则第
百分位数
为第项与第
项数据的平均数．
（3）四分位数：我们之前学过的中位数，相当于是第
百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用
的分位数还有第
百分位数，第
百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，
因此称为四分位数．
3、样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平
均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
③平均数：
个样本数据
的平均数为
，反应一组数据的平均水平，公式
变形：
．
（2）标准差和方差
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用
表示．假设样本数据是
，
表示这组数据的平均数，则标准差
．
②方差：方差就是标准差的平方，即
．显然，在刻画样本数
据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
【注意】标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程
度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大
小．
③平均数、方差的性质：如果数据
的平均数为
，方差为
，那么
一组新数据
的平均数为
，方差是
．
一新数据
的平均数为
，方差是
．
一组新数据
的平均数为
，方差是
．
【真题实战】【多选】（25-26 高二上·宁夏吴忠·月考）某同学参加射击比赛，打了8 发子弹，报靶数据如
：
下
9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A
数据的
数
．这组
众
为9
B．这组数据的40%分位数是7.5
C．这组数据的极差是4
D．这组数据的标准差是
03 成对数据的统计分析
1、两个变量的线性相关
（1）正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将
它称为正相关．
（2）负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
（3）线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变
量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2、回归分析与回归方程
（1）回归分析的定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（2）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程
的求法为
其中，
，
，（
，
）称为样本点的中心．
（3）相关系数
若相应于变量
的取值
，变量
的观测值为
，
则变量
与
的相关系数
，
通常用
来衡量
与
之间的线性关系的强弱，
的范围为
．
①当
时，表示两个变量正相关；当
时，表示两个变量负相关．
②
越接近，表示两个变量的线性相关性越强；
越接近
，表示两个变量间几乎不存在线性相关
关系．当
时，所有数据点都在一条直线上．
③通常当
时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
3、残差分析
对于预报变量
，通过观测得到的数据称为观测值
，通过回归方程得到的
称为预测值，观测值减去预
测值等于残差，
称为相应于点
的残差，即有
．
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存
在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
（1）残差图：通过残差分析，残差点
比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合
适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
（2）通过残差平方和
分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反
之，不合适．
（3）相关指数：用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：
．
越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4、独立性检验
（1）分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
（2）列联表：
①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．
②2×2 列联表：假设有两个分类变量X 和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数
列联表(称为2×2 列联表)为2×2 列联表
总计
总计
（3）独立性检验：计算随机变量
利用
的取值推断分类变量X 和Y 是否独
立的方法称为χ2独立性检验．
0．10
0．05
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
【真题实战】（四川省宜宾市2026 届高三一模考试数学试题）对具有线性相关关系的变量x，y 有
一组
观
测数据
，其回归直线方程是
，且
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
01 频率分布直方图的计算
1、由频率分布直方图进行相关计算需掌握的2 个关系式
（1）×组距＝频率．
（2）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
2、利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法
（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．
（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标．
【典例1】【多选】（2026·河北沧州·一
科
对
模）某
研单位
Deepseek 的使用情况进行满意度问卷调查，在
1000 名用户的问卷（用户打分都在50 分到100 分之间）中随机抽取了100 份，按分数进行分组（每组为
左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（
）
A．
B．由样本数据可估计1000
用
分
名
户中打
在70 分以下的有350 人
C．估计这1000
用
问
的
分的
名
户
卷
得
分位数为85
D．估计这1000
用
问
的
分的
数
名
户
卷
得
平均
为75
【典例2】【多选】（24-25 高一下
·湖南岳阳·期末）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出
一
了
个容量为
的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在
的学
元
生有45 人，则下列说法正确
A．样本中支出在
元的频率为
B．
的值为150
C．采用分层抽样从这45 人中抽出10 人，则在
中共需抽出5 人
D．该校学生一周生活方面支出的第75 百分位数大约是52 元（精确到个位数）
02 非线性回归分析的求法
（1）根据原始数据作出散点图；
（2）根据散点图选择恰当的拟合函数；
（3）作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（4）在（3）的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．
【典例1】（24-25 高三上·
建
福
厦门·月考）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突
出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5
的
年
年广告费
（单位：百万元）和年销售量
：
关系
图
：
（单位
百万辆）
如
所示
令
，数据经过初步处理得：
，
，
，
，
，
，
.现有①
②
和
方
两种
案作为年销售量y 关于年广告费x 的回归分析模型，其中a，b，m，n 均
为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)
据
根
（1
的分析选
的回归分析
及
数据，
）
取拟合程度更好
模型
表中
求出y 关于x 的回归方程，并预测年广
告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
附：①相关系数
，回归直线
分
中公式
别
为
，
；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
②数据：
参考
，
，
，
【典例2】（2025·陕西西安·模拟预测）当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的
体
导
不
，
与
，
一
，
身
健康．为了引
青少年抵制
良游戏
适度参
益脑游戏
某游戏公司开发了
款益脑游戏
在内测
对
一关的
关
，
：
时收集了玩家
每
平均过
时间
如下表
关卡
1
2
3
4
5
6
平均过关时间
（单位：秒）
5
0
7
8
12
4
12
1
13
7
35
2
计
一
统计
的
：
算得到
些
量
值为
，
，其中，
．
(1)
用
若
模型
拟合
与
的关系，根据提供的数据，求出
关于
的经验回归方程；
(2)甲参加一场闯关游戏，比赛共有5 局，甲每局比赛获胜的概率为
，且每局比赛相互独立，记甲恰好获
胜3 次的概率为
，求
的最大值，并求出相应的概率
．
参考公式：对于一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
，
．
01 对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
辨析：求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据。对于频率分布直方图，应注意
图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频
率相等，计算时不要漏掉其中一个．
【典例1】（25-26 高一上·北京海淀·月考）空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数
划分为
和
，分
对应
六档
别
“优”、“良”、“轻度污染”、
“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14 天的空气质量指数趋势
图，则下列说法中正确的是（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．这14 天中有5 天空气质量为“中度污染”
B．从第三天到第七天空气质量越来越好
C．这14 数的数
196.5
D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5 日到7 日
【典例2】（25-26 高二上·
成
四川
都·
构对
科技
统计
，
期中）某机
我国若干大型
公司调查
后
得到了芯片、软
件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“ 90 后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2
，
）
则下
列说法中一定正确的是（ ）
A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90 后”比“80
”
后多
B．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90
数和超过从事这两个行业总人数的
数数的
”
后人
和超过从事这两个行业总人
25%
C．芯片、软件行业从业者中，“90
不超过
不
”
后占比
超过
50%
D．芯片、软件行业中，“90
的人数比“
的数
”
“
后从事市场岗位
人
比
80 前”从事这两个行业的总人数少
02 对样本数字特征认识不到位
辨析：统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特征去
估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是
适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。
【典例1】（25-26 高三上·上海浦东新·
一
数学
分
，
学
期末）某班
次
小测验（百
制）后
老师为了奖励同
们平
时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5 分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
变的是（ ）
A．平均数
B．中位数
C．第80
分
数
百
位
D．方差
【典例2】（25-26 高三上·黑龙江·月考）某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分
，
一
不相
的数据
后
得到
组互
等
，
，
，
，
，
，
，去掉其中最高分与最低分得到的数据与原
始数据一定相同的是（ ）
A．平均分
B．极差
C．标准差
D．中位数
03 求解独立性检验问题对
的值理解不准确
辨析：构造一个随机变量
，其中
为样本容量．如果
的观测值
，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．
我们称这样的
为一个判断规则的临界值．
【典例1】（25-26 高三上·天津和平·月考）下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生
，现
性
用分
样的方法
人
按
别采
层抽
抽取容量为
的样本，
样
人
若
本中男生有
，
高一
数
人
则该校
年级女生人
是
B．已知
关于
的回归直线方程为
，若
，则
C．数据
的第
分
数
百
位
为
D．根据分类变量
与
的成对样本数据，计算得到
，根据小概率
值的独立性检验
，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于
【典例2】（2026 高三·全国·专题练习
）
千
百
年
来
，我
国
劳
动
人
民
在
生
产
实践
中
根
据云
的形
状
、
走
向
、
速
度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，
”“
”
，
学
，
，
“
”
小波同为了验证日落云里走雨在半夜后观察了地区
的100
，
天日落和夜晚天气
得到如下
列联表（单位：天），并计算得到
，下列小波对地区
的
不
的
天气
判断
正确
是（ ）
日落云里走夜晚天气
下雨
未下雨
出现
25
5
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
未出现
25
45
：
参考公式
：
临界值参照表
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．有99%的把握判断“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”，有99%的把握判断夜晚会下雨
01 应用随机数表法的两个关键点
1、确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；
2、读数时注意结合编号特点进行读取．若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号为三位数字，则
三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本．
1．（24-25 高三上·辽宁·
用
数
对
的
期末）某厂质检员利
随机
表
生产
600
样
，
个产品进行抽
调查
先将这600
：
个产品进行编号
001，002，003，…，600．从中抽取120
样本，
图
数
的
个
下
是随机
表
第2 行到第3
，
行
若从随机数表的第2 行第5 列开始从左向右读取数据，则得到的第5 个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098
B．147
C．513
D．310
2．（2024·陕西西安·一
高
对
系
体
，
用
数
对
模）某
校
中文
新生进行
测
利
随机
表
650
学
样，
名
生进行抽
先将
650
学
，
名
生进行编号
001，002，…，649，650.从中抽取50
样本，
图
数
的
个
下
提供随机
表
第4 行到第6
，
行
若从表中第5 行第6 列开始向右读取数据，则得到的第6
样本
个
编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623
B．328
C．072
D．457
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（2024·云南·
本
分
题
的
高
二模）
次月考
答
卡
任务由
三16
成，现
班完
从全班55
学
用
的
位
生中利
下面
随机
数表抽取10
学
，
位同
参加
将这55 学
，
数
进行编号
假设从随机
表第1 行第2
数
个
字开始
由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6
对应
个号码所
的学生编号为（ ）
0627
4313
2432
5327
0941
2512
6317
6323
2616
8045
6011
1410
9577
7424
6762
4281
1457
2042
5332
3732
2707
3607
5124
5179
3014
2310
2118
2191
3726
3890
0140
0523
2617
A．51
B．25
C．32
D．12
02 解决分层抽样的常用公式
先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数．
（1）抽样比＝＝；
（2）层1 的容量∶层2 的容量∶层3 的容量＝样本中层1 的容量∶样本中层2 的容量∶样本中层3 的容量．
1．（2025·云南·一
对相对性
的
实
，
性
现
及理
：
模）在孟德尔两
状
豌豆杂交
验中
子二代豌豆
状表
型
论比例为
：
：
：
黄色圆粒
黄色皱粒
绿色圆粒
绿色皱粒
．现研究人员计划从大量该代豌豆种子中，随机抽
取n 粒豌豆作为样本进行研究．若希望样本中黄色皱粒豌豆的理论（期望）数量为30 粒，则样本量n 应为
（ ）
A．160
B．190
C．220
D．250
2．（2025·海南儋州·模拟预测）某电商平台在2025 年3 月对其用户进行了一项关于每月消费金额的调查．
用
分
通
，
用
数的
该平台
户可
为普
会员、白银会员、黄金会员和钻石会员四个等级
各等级
户人
比例为
．调查采用分层随机抽样，按照各等级用户人数比例抽取样本．已知样本中普通会员、白银会员、
黄金会员、钻石会员的平均每月消费金额分别为200 元、500 元、800 元、1200 元，则估计该平台用户的
平均每月消费金额为（ ）
A．675 元
B．510 元
C．650 元
D．460 元
3．（2025·云南昆明·一
对
学高
学
体重
：
模）在
某中
三年级
生
（单位
kg）的调查中，按男、女生人数比例用
分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有
，
体重的
数
方
分
人
其
平均
和
差
别为
，抽取的女生有
，
体重的
数
方
分
人
其
平均
和
差
别为
，则估计该校高三年级学生体重的方差
为（ ）
A．
B．
C．
D．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
03 统计图表
常见统计图表的特点与区别
(1) 扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大小．
(2) 条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型数据．
(3) 直方图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述连续型数据．
(4) 折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．
4．（2025·四川成都·一
的
重
一
模）三次产业增加值占国内生产总值
比
是衡量
个国家或地区经济发展阶段、
结构
及
的重
一
产业
优化程度以
未来经济发展潜力
要指标、其中第
产业包括农业、林业、渔业等；第二产业
建
技
涵盖制造业、
筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息
术等.如图为我国2020-2024 年三次产业
增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（ ）
A．2020-2024
一
重逐
年第
产业增加值占国内生产总值比
年递增
B．2020-2024
重的
数
年第二产业增加值占国内生产总值比
中位
为36.9%
C．2020-2024
重的
数
年第三产业增加值占国内生产总值比
平均
为55.1%
D．2020-2024
重
的
年三次产业中增加值占国内生产总值比
极差最大
是第二产业
5．（24-25 高二下·广东阳江·月考）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游
部门从2024 的分，的数
段中自助游比例，如图所示，则估计2024
的
选
的
数的
年到该地旅游
游客中
择自助游
青年人占总游客人
（
）
A．45%
B．30%
C．13.5%
D．13%
6．（2025·四川成都·
数
二模）居民消费价格指
（
r
r
d
Consume P ice In ex，简称CPI），是度量一定时期内居
体
的相对数，
的
民消费商品和服务价格水平总
变动情况
综合反映居民消费商品和服务价格水平
变动趋势和
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
变动程度.下图是2024 年11 月9 日国家统计局公布的2024 年10 月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅
情况（同比
，环比
），下列结论正确的是（ ）
A．2024 年10 月份食品烟酒类价格低于2023 年10 月份食品烟酒类价格
B．2024 年10 月份教育文化娱乐类价格低于2024 年9 月份教育文化娱乐类价格
C．2024 年9 月份医疗保健类价格高于2023 年10 月份医疗保健类价格
D．2024 年9 月份居住类价格高于2023 年10 月份居住类价格
7．（2024·四川德阳·模拟预测）中国人口
高
亿人口中肠胃病患者
达
亿，慢性胃炎发病率高达
，
性
高
消化
溃疡病发率也
达
，是全世界当之无愧的“胃病大国”.
据
对
根
随机
，
名青少年随机抽查
的青少年表示自己患有胃病，
的青少年不清楚自己是否患有胃病，只有
明确自己没
有胃病.肠胃病的严重程度，一般可体现在排便量、排便时长上. 某高中为了了解学生肠胃病占比和严重程
，对
度
高一高
学
的
统计
年
二
生单日单次
排便时长进行了
(记排便
分钟内为正常，排便
分钟为
轻度肠胃病，排便
分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(
图
如
所示)，若高一学生
人，高
学
人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是（ ）
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．高二学生的肠胃病人数比高一年级少
B．高一年级的各肠胃病区间人数占比都比高二年级少
C．高一年级重度肠胃病人数占比比高二年级少
D．高一肠胃质量参数比高二高(肠胃质量参数
)
04 百分位数的计算
计算一组
个数据的的第
百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算
．
③若不是整数而大于的比邻整数
，则第
百分位数为第
项数据；若是整数，则第
百分位数为第
项与第
项数据的平均数．
8．（2025·江苏南通·模拟预测）一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，6，8，x，18，22，23．若它们
的70
分
数
数的
，
百
位
是中位
两倍
则x 的值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．14
9．（2025·广东江门·模拟预测）2025 年1~8 月份广东省工业机器人、服务机器人、民用无人机、风力发
分
，则该组数
的
分位数为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·陕西西安·一
高
模）从
三某班抽取10
学，
的数学成
：
名同
他们
绩如下
95，90，71，76，85，
88，72，91，92，65（单位：分），则这10
学数学成
的
名同
绩
第70
分
数
百
位
是（ ）
A．90
B．91
C．90.5
D．91.5
11．（2025·贵州毕节·模拟预测）某中学共有
学
，
学
名
生
该校从全校
生中随机抽取
，统计
名
他们
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
的
数
，
计
学
数
的
，
关
计
的
年阅读
书籍
量
由此来估
该校
生当年阅读书籍
量
情况
下列
于估
中正确
是（
）
A．阅读量的众数估值为
B．阅读量的中位数估值为
C．阅读量的平均数估值为
D．第
分
数
百
位
为
05 用样本的数字特征估计总体的数字特征
利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、
方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
12．（2025·重庆
·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满
，
意度调查
其中男生共调查了600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生
分
平均给
3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·陕西西安·模拟预测）在从小到大依次排列的样本数据
、、
、
、
、
中，已知中位
数小于众数，则该组样本数据的平均数为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知甲组数据为，，
，
，
，乙组数据为
，
，
，
，
数据的
数
及
数
相
的
则甲、乙两组
平均
、极差
中位
中
等
是（ ）
A．平均数
B．极差
C．中位数
D．都不相等
15．（2025·河北沧州·模拟预测）已知2025 年
月全国房地产开发景气指数依次为
，则这7
数据的
数
个
中位
是（ ）
A．93.92
B．93.87
C．93.82
D．93.70
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
16．（2025·甘肃武威·模拟预测）某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50 名、乙班40
学
的成
名
生
绩.
已知甲班50
学
成
的
数
名
生
绩
平均
为112 分，方差为8，乙班40
学
成
的
数
名
生
绩
平均
为94 分，方差为8，
则这90
学
成
的方
名
生
绩
差为（ ）
A．8
B．36
C．64
D．88
06 判断相关关系的2 种方法
1、散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本
点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系；
2、相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1 时，相关性越强
17．（24-25 高二下·辽宁丹东·
对
数据
统计
图
的
点图，
结
不
的
期中）
两组
进行
后得到如
所示
散
下列
论
正确
是
（ ）
A．图1、图2
数据
线性相关关系
两组
都具有
B．图1 数据正相关，图2 数据负相关
C．图1 相关系数
小于图2 相关系数
D．图1 相关系数
图
和
2 相关系数之和小于0
18．（2025·安徽蚌埠·三模）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（M
B
I
体
分
）和身
脂肪百
比之
间的相关关系，如图，下列说法正确的是（ ）
A．M
B
I
，
分
越大
脂肪百
比越大
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．M
B
I 越大，脂肪百分比越小
C．M
B
I 与脂肪百分比正相关
D．M
B
I 与脂肪百分比负相关
07 样本相关系数的计算
样本相关系数r 的统计含义及应用
（1）由r 的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归方
程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25 时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.
19．（2025·天津·二模）小明研究温差
：
）与本单位当天新增感冒人数
：
的关系
（单位
人）
，
他记录了5
的数据：
天
3
4
5
6
7
1
6
2
0
2
5
2
8
3
6
数据
由表中
求得温差
与新增感冒人数
满足经验回归方程
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
与
相关
正
B．经验回归直线经过点
C．当
时，残差为1.8
D．
20．（2025·浙江金华·一
的
，
，
统计
模）近些年汽车市场发生了翻天覆地
变化
新能源汽车发展迅速
下表
了
2021 年到2024
：
年某地新能源汽车销量（单位
千辆）
年份
202
1
202
2
202
3
202
4
年份代号
1
2
3
4
销量
33
69
93
129
：相关系数
附
；
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量
与年份代号
的线性相关性强弱（
，则认为
与
的线性相关性较强，
，则认为
与
的线性相关性较弱）；（精确到0.001）
(2)建立
关于的线性回归方程，并预测该地2025
的
年
新能源汽车销量．
21．（2025·甘肃武威·模拟预测）某高科技公司开发了一款AI 学，解，统计
习
机为
了市
场
销
售
情
况该
公
司
了
过
去5
的
个月
月广告投入
（单位：
十万元）与该款学习机的月销量
：
的数据，
（单位
千台）
如表所示.
月份代码
1
2
3
4
5
10
20
30
40
50
58
59
60
64
65
(1)求
和
的样本相关系数，并判断
与
是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若
，
则认为
与
的线性相关性
具有较强
）
(2)求
关于的经验回归方程，并估计月广告投入600
学
的
万元时该款
习机
月销量；
(3)
学
目
该款
习机
前售价为3000 元/
，
，
学
的
专
对
学
台
为提升销量
经销该款
习机
某
卖店针
该款
习机推出了两
种
促
销
方案
.方案一：买一台立减400 元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为
，且每次抽
奖相互独立，中奖一次立减600 元/
，
台
中奖两次立减800 元/
，
台
中奖三次立减1000 元/
，
台
若三次均未
中奖，仍可享基础优惠300 元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角
度分析选哪种方案更优惠.
参考公式：对于经验回归方程
，
，
；样本相关系数
.
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
数据：
参考
，
，
.
22．（2025·广东深圳·模拟预测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同
国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2017-2021 年五年
的
分
《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积
百
比（
%
：
）
年份
2017 年
2018 年
2019 年
2020 年
2021 年
年份代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
(1)求2017-2021 年年份代码
与
的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)预测2026
的
的
分
年
酸雨区面积占国土面积
百
比．
：回归
线的
的
法
计
分
：
附
直
斜率和截距
最小二乘
估
公式
别为
，
．
样本相关系数
，
．
08 线性回归分析问题的类型及解题方法
线性回归分析问题的解题策略
（1）利用公式，求出回归系数^b；
（2）利用经验回归直线过样本点的中心求系数^a；
（3）利用经验回归方程进行预测，把回归方程看作一次函数，将解释变量x 的值代入，得到预测变量^y的
值.
23．（2025·云南昆明·模拟预测）下表为2018 至2024 的
年
某
手
机
品
牌年
产
量y（单位：万台），其中2018 至2024
的
年
年份
代码x 分别为1 至7．
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
年产量y/万台
28
32
36
40
a
b
c
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
知
y 与x
线性相关关系，
具有
由上述7 组数据得到经验回归方程
，则
的值为（ ）．
A．165.4
B．173.4
C．182.5
D．191.8
24．（2025·河南新乡·模拟预测）某企业产品的广告费用与销售量的统计数据如表所示：根据表中各数据
可得回归方程
，其中
，假设该企业广告费用为6
，
万元时
则销售额为（ ）
广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额（万元）
4
9
2
6
3
9
5
4
A．63，6 万元
B．65，5 万元
C．67，7 万元
D．72，0 万元
25．（2026·河北沧州·一
对
的
，数据
模）某新能源汽车制造企业
某地区新能源汽车
销售情况进行了调研
如
下：
时间
2025 年3
月
2025 年4
月
2025 年5
月
2025 年6
月
2025 年7
月
2025 年8
月
月份代码
1
2
3
4
5
6
销量
千
辆
6
7
10
11
12
14
(1)知
与
线性相关，求出
关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026 年3 月份的销量；
(2)
，计
用的
分
，
该企业为宣传推广新能源汽车
划在宣传部门开展人工智能工具使
培训．该次培训
为三期
每
的结
相
，
的
期培训
果是否“优秀”
互独立
且每期培训中员工达到“优秀”标准
概率均为
．该企业规定：员工至
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100 人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩
知
，
余员工进行该次培训．已
开展培训前
员工每人每年平均为企业创造利润3
，
，
用
万元
开展培训后
能使
人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6
，不
用
的
计
万元
能使
人工智能工具
员工预
每人每
年平均为企业创造利润还是3
，本
万元
次培训费每人1
现
的
不
万元．
要求培训后宣传部员工创造
年利润
低
于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
：
回归方
参考公式
经验
程
，其中
，
．
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
数据：
参考
．
26．（2025·四川成都·模拟预测）某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，
随机调查了本市某中学高三文科班6
学
名
生每周课外阅读时间
（单位：小时）与高三下学期期末考试中
分数
语文作文
，数据如下表：
1
2
3
4
5
6
3
8
4
0
4
3
4
5
5
0
5
4
(1)根据上述数据，求出高三学生语文作文分数
与该学生每周课外阅读时间
的线性回归方程
，
并预测某学生每周课外阅读时间为7 小时时其语文作文成绩；
(2)从这6 人中任选2 人，记
为语文作文分数不小于45 分的人的个数，求
的分布列及期望．
：
参考公式
，参考数据：
27．（2025·浙江·一模）2014 年至2025 年是我国新能源汽车飞速发展的时期，下表为2014 年至2023 年
我国新能源汽车的年产量，按照表中数据，可用回归模型
拟合自变量
与新
能
源
汽
车
产
量.
年份
自变量
新能源汽车产量
（单位：万
辆）
2014
1
7.8
2015
2
34
2016
3
52
2017
4
79
2018
5
127
2019
6
124
2020
7
137
2021
8
354
2022
9
706
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2023
10
959
(1)求自变量
与新能源汽车产量
的回归模型
，并预测2025 年我国新能源汽车年产量（其中
，
以及预测年产量（单位：万辆）都保留1
数
用
位小
且
的1
数
计
位小
近似值
算
）；
(2)从10 个年产量
的值中随机选取3
数据，
数据
个
求存在
大于300 的条件下，恰有1
数据
个
小于100 的
概率.
：一
线性回归
参考公式
元
模型
中
.
数据：
参考
.
09 决定系数与残差
刻画回归效果的四种方法
(1)残差
法：残差点比
均匀地落在水平
状区域内
明
用的模型比
合适．
图
选
较
带
说
较
(2)残差平方和法：残差平方和
(yi－y)2越小，模型的
合效果越好．
拟
(3)决定系数R2法：R2越接近1，表明模型的
合效果越好．
拟
(4)
本相关系数．
样
28．（2025·四川成都·一
一
样本数据
模）
组
.其中
，
，
，求得其经验回归方程为：
，残差为
.对样本数据
理：
进行处
，
得到新的数据
，求得其经验回归方程为：
，其残差为
.
，
分布如图所示，且
，则下列说法错误的是（ ）
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．样本
相关
负
B．
C．
D．处理后的决定系数变大
29．（2025·广东湛江·模拟预测）假设变量
与变量
的
对
数据
观测
为
、
、
、
，
一线性回归
，则参数
的最小二乘估计
为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2025·上海浦东新·二模）研究变量x，y
一
成对数据
得到
组
，
，先进行一次线性回
归分析，接着增加一个数据
，其中
，
，再重新进行一次线性回归分析，
法
的
则下列说
正确
是（ ）
A．变量
与变量
的相关性变强
B．相关系数的绝对值变小
C．线性回归方程
不
D．拟合误差Q 变大
31．（2025·天津宁河·
法
，
的
模拟预测）下列说
中
正确
有（ ）
回归
线
①
直
点
恒过
，且至少过一个样本点：
②据
根
的数据计
列列联表中
算得出
，而
，则有
的把握认为两个分类
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
关系，
的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③在做回归分析时，可以用决定系数
刻画模型的回归效果，若
越大，则说明模型拟合的效果越好；
④某项测量结果
服从正态分布
，若
，则
A．个
B．
个
C．个
D．
个
10 分类变量与列联表
分类变量的两种统计表示形式
（1）等高堆积条形图：根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联强弱；
（2）2×2 列联表：直接利用2×2 列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有关
联及关联强弱.
32．（23-24 高二下·吉林白山·
结
，
解
学
体
，学
对
学
期末）暑假
束后
为了
假期中
生锻炼身
情况
生处
所有在校
问
，
生做
卷调查
并随机抽取了180 人的调查问卷，其中男生比女生少20 人，并将调查结果绘制得到等高
图
知
堆积条形
．已
，其中
，
，在被调查
者中，下列说法正确的是（ ）
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8 人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的1.6 倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01 的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
性
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
33．（2025·陕西汉中·一
实
一
的
，
实
对
用
模）某人工智能研究
验室开发出
款全新
聊天机器人
该
验室
使
该款
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
聊天机器人的120
用
，
的
数据
，
位
户进行调研
得到
调研
如下表所示
则（ ）
年龄
用
周平均使
时间
超过4 小时
不超过4 小时
计
不超过40 岁
54
b
72
40 岁以上
c
d
计
72
120
：
，
．
（1）当
时，没有充分的证据判断变量A，B
关
，
有
联
可以认为变量A，B
关
的
是没有
联
；
（2）当
时，有90%的把握判断变量A，B
关
有
联；
（3）当
时，有99%的把握判断变量A，B
关
有
联；
（4）当
时，有99.9%的把握判断变量A，B
关
有
联．
A．
B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4
的
小时
概率为
C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4
与
关
小时
年龄有
D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4
与
关
小时
年龄有
11 独立性检验的一般步骤
（1）根据样本数据制成2×2 列联表．
（2）根据公式
计算．
（3）比较
与临界值的大小关系，作统计推断．
34．（2025·云南昭通·
高
解学
一
与
的
，统计
学
模拟预测）某
校为了
生在
周内参
志愿服务
情况
了全校所有
生
一
与
的
数，现
在
年内每周参
志愿服务
次
随机抽取了50
学，统计
一
与
的数据，结
名同
在某
周参
志愿服务
果
：
如下表
一与
周
参志
愿
服
务
次
数
1
2
3
4
5
6
合计
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
男生人数
4
6
6
4
3
2
25
女生人数
1
1
3
5
9
6
25
合计
5
7
9
9
12
8
50
(1)
一
与
数
若将
周参
志愿服务次
为5 次及5 次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下
2×2 列联表，并依据小概率值
的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有
关系
性
志愿服务
合计
一
与
般参
积极参与
男生
女生
合计
(2)若将一周参与志愿服务达到6 次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8
，随机抽取
，
“
”
名最美志愿者中随机抽取
3
人进行访谈，设抽取的3
数
人中男生人
为
，求
的分布列和数学期望．
：
，
．
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
35．（2025·四川内江·一模）某兴趣小组调查了某校100 学100
成
的
，
米短跑
绩
情况
其中有60
学
的
名
生
短跑成绩合格.这100
学
名
生中有45
学
名
生每周自主锻炼时间超过5
，
小时
60
成
的学
名短跑
绩合格
生中有
35
学
名
生每周自主锻炼时间超过5 小时.现对
成
不
的学
技巧
，
知
短跑
绩
合格
生进行跑步
培训
已
每周自主锻
炼时间超过5
的学
技巧
，学
的
成
的
小时
生参加跑步
培训后
生
短跑
绩合格
概率为
，每周自主锻炼时间不超
过5
的学
技巧
，学
的
成
的
小时
生参加跑步
培训后
生
短跑
绩合格
概率为
.用频率估计概率，从短跑成绩不合
的学
格
生中随机抽取1
学
技巧
名
生（记为甲）进行跑步
培训.
据
依
小概率值
的
性，
假设为
：学
成
与
相
生短跑
绩合格
每周自主锻炼时间
互独立.
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)先填写列联表，再依据小概率值
的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主
锻炼时间超过5
关
小时有
；
每周自主锻炼时间
超过5 小时
每周自主锻炼时间
不超过5 小时
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
合计
100
(2)求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5
的
小时
概率；
(3)为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记
“
表示事件田径运动场举
的
，
办锻炼有奖
抽奖活动”
“
”
表示事件小明去田径运动场锻炼，
.已知小明在田
径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻
的
炼
概率大.证明：
.
与数据：
参考公式
，其中，
.
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
36．（2025·江苏·
教
学
通
体
与
体
模拟预测）
育部办公厅要求中小
校要
过
育
健康课程、大课间、课外
育锻炼、
体
教
导，
学
科学
识体
的
育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强
育引
让家长和中小
生
认
质健康
影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，
高学体与，体理的识学解学的体与体
状况，随机抽取了50
学的体
结
，统计数据
：
名同
测
果（“合格”或“优秀”）
如下表
性
体
结
测
果
合计
合格
优秀
男生
2
28
30
女生
6
14
20
合计
8
42
50
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)能否有
的把握认为体测结果与性别有关？
(2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机
抽取1
学
的体
结
，
知
的学
体
结
，
学
的
名
生
测
果
已
抽出
生
测
果是“优秀”
求这名
生是男生
概率．
：
，其中
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
37．（2025·四川德阳·模拟预测）某青少年跳水队共有100
，
练
，教练
对
人
在强化训
前、后
组
他们进行了
成
，分
图
绩测试
别得到如
1 所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2 的练的分
方图.
(1)
据图
数据，
计
练
的成
的
数
一
的数据用
的
点
根
中
估
强化训
前
绩
平均
（同
组中
该组区间
中
值作代表）；并求
练
的成
的
强化训
后
绩
60%分位数.
(2)
分
规定得
80 分以上（含80 分）的为“优秀”，低于80 分的为“非优秀”.
练
是否优秀
合计
优秀
非优秀
练
强
化
训前
练
合计
将上面的表格补充完整，依据小概率值
的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化
练
关
训
有
？
：
，
.
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
38．（2025·云南·
，
的一
题，
一
模拟预测）近年来
某公司以电影和动漫中
些元素为主
开发了
些豪车模型玩
，现
分
，
，
数据统计
具
抽取了部
孩童
调查他们是否喜爱豪车模型
所得
如下表所示．
性
男孩
女孩
喜欢豪车模型
340
160
不喜欢豪车模型
300
200
(1)现
性
分
，用分
样的方法
不
的样本
按照
别进行
层
层随机抽
在
喜欢豪车模型
孩童中随机抽取10
，
人
再从这
10 人中随机抽取3
，
人
求至少1
的
人是女孩
概率；
(2)
据
根
的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．
：
．
0.05
0.01
0.001
3.84
1
6.63
5
10.82
8
32
