重难点08：透视双变量关联：双变量问题
从“变量纠缠”到“精准转化”的难点拆
解
（八大压轴方法技巧）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、双变量问题之“同构函数法”........................................................3
题型二、双变量问题之“对称构造函数法”................................................4
题型三、双变量问题之“比值换元法”........................................................5
题型四、双变量问题之“差值换元法”........................................................6
题型五、双变量问题之“韦达换元法”........................................................8
题型六、双变量问题之“均值不等式法”....................................................9
题型七、双变量问题之“主元法”..............................................................10
题型八、双变量问题之“切线放缩法”......................................................12
题型精析・方法突破提能力..............................................................................13
知识点
1 ：“同构函数法”解决双变量问题
同构函数法是解决高中数学双变量问题的 “结构适配利器”，核心是通过构造形式
相同的函数（即 “同构式”），将分散的双变量关联到同一个函数中，再利用函数的单调
性、奇偶性等性质直接转化变量关系，尤其适配含指数、对数且结构对称的双变量问题。
以下从方法原理、解题步骤、适配题型展开，帮你掌握 “找结构→构同构→用性质” 的
解题逻辑。
关键：识别同构结构的 2 类典型形式：
指数 + 一次型：如e
x1+x1=e
x2+x2，可构造同构函数f(t)=e
t+t；
对数 + 一次型：如lnx1+kx1=lnx2+kx2，可构造同构函数f(t)=lnt+kt；
复合结构型：如x1e
x1=x2e
x2（变形为e
x1+lnx1=e
x2+lnx2），构造f(t)=e
t+lnt。
同构函数法的通用解题步骤
知识网络・核心根基深扎牢
步骤 1：观察题干结构，拆分 “同构因子”
步骤 2：构造同构函数f(t)
步骤 3：分析同构函数f(t)的核心性质（单调性优先）
步骤 4：利用函数性质转化双变量关系，求解目标
知识点
2 ：“对称构造函数法”解决双变量问题
双变量问题中，若函数f(x)有唯一极值点x0，且存在x1≠x2使f(x1)=f(x2)
（
即
极
值
点
偏
移
场
景
）
，
则
以
x0为对称中心，构造对称函数F(x)=f(x)−f(2x0−x)（2x0−x是x关于x0的对
称点）。
通过分析F(x)的单调性和符号，可建立f(x)与f(2x0−x)的大小关系，进而
推导x1+x2与2x0的关系（左偏x1+x2>2x0，右偏x1+x2<2x0），实现 “双变量→对称
函数→偏移结论” 的转化。
构造对称函数法的通用解题步骤（五步走）
步骤 1：求函数f(x)的唯一极值点x0
步骤 2：构造对称函数F(x)=f(x)−f(2x0−x)
步骤 3：分析对称函数F(x)的单调性（求导判断符号）
步骤 4：利用F(x)的符号关联双变量关系
步骤 5：结合原函数单调性推导偏移结论
知识点
3 ：“换元法（比
/ 差值
/ 整体）”解决双变量问题
双变量问题的难点在于 “两个变量相互干扰”，比 / 差值换元法通过引入一个参数
（比值或差值），建立两个变量的明确关联，将双变量函数转化为单参数函数：
比值换元：设t=x2
x1
（t>1，保证x2>x1），则x2=tx1，用t和x1表示x2，再结
合题干条件消去x1，最终转化为关于t的单变量问题；
差值换元：设d =x2−x1（d>0，保证x2>x1），则x2=x1+d，用d和x1表示x2
，同理消去x1，转化为关于d的单变量问题。
两种方法的本质都是 “用一个参数代替两个变量的关联关系”，实现 “双变量→单
参数” 的降维，再通过导数、单调性等工具求解。
比值换元法（优先含对数的双变量问题）
步骤 1：设比值参数，建立变量关联
步骤 2：代入题干条件，消去一个变量
步骤 3：将目标转化为关于t的单变量问题
步骤 4：分析单变量函数，求解目标
差值换元法（优先含指数的双变量问题）
步骤 1：设差值参数，建立变量关联
步骤 2：代入题干条件，消去一个变量
步骤 3：将目标转化为关于d的单变量问题
步骤 4：分析单变量函数，求解目标
注：韦达换元法和上述方法相同（多加一部利用韦达定理得到两根与系数关系）。
知识点
4 ：“主元法”解决双变量问题
双变量问题的核心矛盾是 “两个变量相互制约，难以直接分析”，主元法通过人为
指定一个变量为 “研究核心（主元）”，将另一个变量视为 “固定参数”，把双变量函
数f(x1,x2)转化为单变量函数（参数为另一个变量），再利用单变量函数的性质（单调
性、极值、最值、方程解）求解，最终结合参数范围得到双变量问题的答案。
例如：对f(x1,x2)=x1
2+2x1x2+x2
2，若选x1为主元，x2
为参数，则函数变为
f(x1)=x1
2+2x2x1+x2
2（关于x1
的二次函数），可通过二次函数的对称轴、顶点等性质分
析，再结合x2的范围得到最终结果。
主元法的通用解题步骤（四步闭环）
步骤 1：筛选主元 —— 选 “易分析、关联核心目标” 的变量
步骤 2：转化单变量 —— 将双变量函数改写为 “主元函数”
步骤 3：分析主元函数 —— 用单变量工具求解
步骤 4：结合参数范围 —— 得到双变量问题的最终结果
知识点
5 ：“切线放缩法”解决双变量问题
对
可
导
函
数
f(x)，若在点x=x0处存在切线，其切线方程为y=f(x0)+f'(x0)(x−x0)。
根
据导数的几何意义，切线是函数在x0附近的 “最佳线性近似”，因此存在局部不等关系：
若f(x)是凸函数（f''(x)≥0），则f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x−x0)（函数
图像在切线上方）；
若f(x)是凹函数（f''(x)≤0），则f(x)≤f(x0)+f'(x0)(x−x0)（函数
图像在切线下方）。
在双变量问题中，通过对f(x1)和f(x2)分别进行切线放缩，可将双变量函数关系
转化为线性等式/不等式。
切线放缩法的通用解题步骤（五步走）
步骤 1：判断函数凹凸性，确定放缩方向
步骤 2：选择切线切点（关键：关联双变量关系）
步骤 3：写出切线方程，建立放缩不等式
步骤 4：对双变量分别放缩，关联题干条件
步骤 5：推导双变量关系，验证取等条件
【例题1】已知实数x，y满足ln y =e
2 x
y −ln(2 x)，则y的最小值为（ ）
A．1
e
2
B．1
e
C．e
D．e
2
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、双变量问题之“同构函数法”
典例探究
【1-1】已知x , y为不相等的正实数，ln x + ln y = 1
y −x，则（ ）
A．x ＞y
B．x ＜y
C．x + y ＞1
D．x + y ＜1
【1-2】已知实数x , y满足e
x = y ln x + y ln y，则满足条件的y最小正整数为（ ）．
A．1
B．3
C．5
D．7
【1-3】已知两个不相等的正实数x，y 满足y ln x
y =1−y
x
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．x + y =1
B．xy =1
C．x + y >2
D．0< x + y <1
【例题2】已知函数f ( x)=( x −2)e
x+a( x −1)
2有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)若f (x1)= f (x2)，求证：x1+ x2<2．
举一反三
题型二、双变量问题之“构造对称函数
典例探究
举一反三
【2-1】已知常数a>0，函数f ( x)= 1
2 x
2−ax−2a
2ln x.
(1)若∀x >0,f ( x)>−4 a
2，求a的取值范围;
(2)若x1、x2是f ( x)的零点，且x1≠x2，证明:x1+ x2>4 a.
【2-2】已知函数f (x)=(1+ ln x)e
ln 1
ax．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若方程f (x)=1有两个根x1，x2，求实数a 的取值范围，并证明：x1 x2>1．
【2-3】已知函数f (x)=e
x−a ln x−a，其中a∈R，e 为自然对数的底数.
(1)当a=e时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)存在极小值点x0
，且f (x0)≥0，求实数a 的取值范围；
(3)若函数t (x)= f (x)−e
x+ x有两个零点x1
，x2
，求证：x1+ x2>2.
题型三、双变量问题之“比值换元法”
典例探究
【例题3】已知函数g( x)= ln x−bx，若g( x)有两个不同的零点x1, x2．
(1)求实数b的取值范围；
(2)求证：ln x1+ ln x2>2．
【3-1】已知函数 f (x)=ax + x +1
e
x 有两个极值点 x1，x2 且 x1< x2 .
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)证明: x1+2 x2>3 .
【3-2】已知x2> x1>0，求证：1−x1
x2
<ln x2−ln x1< x2
2−x1
2
2 x1 x2
．
【3-3】已知f (x)= x
2−xln x +a.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)设x1
，x2
是两个不相等的正数，证明：f (x1)−f (x2)
x1−x2
>f
′(
x1+ x2
2 )
举一反三
【例题4】已知函数f (x)= xe
−x．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)的图象与f (x)的图象关于直线x =1对称，证明：当x>1时，
f (x)>g(x)；
(3)如果x1≠x2
，且f (x1)= f (x2)，证明：x1+ x2>2．
【4-1】已知x1
，x2
是函数f ( x)=e
x−ax的两个零点，且x1< x2
，求证：x1+ x2>2；
【4-2】已知x1
，x2
是函数f ( x)=e
x−ax的两个零点，且x1< x2
，求证：x1 x2<1．
题型四、双变量问题之“差值换元法”
典例探究
举一反三
【4-3】已知函数f (x)=a(x +1)ln x + x−1(a∈R)存在两个不同的极值点.
(1)求a的取值范围；
(2)设函数f (x)的极值点之和为m，零点之和为n，求证：m+n>5.
【例题5】已知f (x)=2❑√x−aln x−ax−1．
(1)若a=−1，求曲线y = f (x)在点P(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数y = f (x)存在两个不同的极值点x1，x2
，求证：f (x1)+ f (x2)>0．
【5-1】已知f (x)= x−aln x−a
2 x
2.
(1)若曲线y = f (x)在x =1处的切线与y = x垂直，求实数a的值；
(2)若函数y = f (x)存在两个不同的极值点x1, x2
，求f (x1)+ f (x2)的取值范围.
题型五、双变量问题之“韦达换元法”
典例探究
举一反三
【5-2】已知函数f (x)= x
2−1+aln(1+ x)，
(1)若f (x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，若对任意x∈(−1,+∞)，不等式f (x)−x
2+2≤be
x+ ln b恒成立，求实
数b的最小值；
(3)若f (x)存在两个不同的极值点x1, x2
，x1< x2
，且f (x1)<m x2
，求实数m的取值范
围．
【5-3】已知函数f (x)= 2a+1
4
e
2 x−e
x+ x +2(a∈R).
(1)若f (x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)当a=−1
2
时，证明：x
2f (ln x)<4e
x−2；
(3)若函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2)，证明：a< f (x1)−f (x2)
e
x1−e
x2
.
【例题6】已知6 ln m=m+a,6n=e
n+a，其中m≠e
n，则m+e
n的取值范围为（ ）
A．(0,6 ln 2) B．(0,12)
C．(6 ln 2,+∞)
D．(12,+ ∞)
题型六、双变量问题之“均值不等式
典例探究
【6-1】已知直线y =kx与曲线y =ln x相交于不同两点M (x1, y1), N (x2, y2)，曲线y =ln x
在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(x0, y0)，则（ ）
A．0<k < 1
e
B．x1 x2=e x0
C．y1+ y2=1+ y0
D．❑√x1 x2< x2−x1
y2−y1
【6-2】已知函数f (x)=(x +a)ln(x +1)(a∈R)，g(x)=ln x−bx (b>0).
(1)当x>0时，f (x)>2 x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若存在x1, x2∈(0,+ ∞)，使得g(x1)= g(x2)(x1≠x2).证明：❑√x1+ ❑√x2> 2
❑√b
.
【6-3】已知函数f (x)=e
x+t e
−x(t ∈R)．
(1)若曲线y = f (x)在x =0处的切线平行于直线3 x + y +1=0，求t的值以及函数f (x)的
最小值；
(2)证明：对一切的m,n>0,m≠n，都有
m−n
lnm−lnn < m+n
2
；
举一反三
(3)当t =0时，若曲线y = f (x)与曲线y
2=2 px( p>e)存在两交点A ,B，记直线AB的
斜率为k，证明：k <❑√p．
【例题7】已知函数f (x)=(x
2+mx +n)e
x.
(1)若 m=n=0，求 f (x)的单调区间；
(2)若m=a+b，n=ab，且 f (x)有两个极值点，分别为x1
和x2(x1< x2)，求
f (x2)−f (x1)
e
x2−e
x1
的最大值.
【7-1】已知函数f ( x)的定义域是(−1,+∞),f (0)=0，导函数f
′ (x)= ln (1+ x)
1+ x
，设l1是曲
线y = f (x)在点A(a,f (a))(a≠0)处的切线．
(1)求f
′( x)的最大值；
(2)当−1<a<0时，证明：除切点A 外，曲线y = f ( x)在直线l1的上方；
(3)设过点A 的直线l2与直线l1垂直，l1，l2与x 轴交点的横坐标分别是x1，x2，若a>0，
题型七、双变量问题之“主元法”
典例探究
举一反三
求2a−x2−x1
x2−x1
的取值范围．
【7-2】若m>0，x1, x2
为函数f (x)=e
x−mx −a的两个零点，且x1< x2
，求证：
2 x1+ x2<3 ln m．
【7-3】已知函数f (x)=ln x +1
x
−a(e
−x +1−1
x +1)
．
(1)当a=0时，求f (x)的最大值；
(2)当a=1时，证明：f (x)≤0；
(3)若x1, x2∈(0,+ ∞)且x1≠x2，e
x2−x1= x2
x1
x1
x2
，证明：x1
2+ x2
2>2．
【例题8】已知函数f (x)=e
x−2 x−(a+1), g(x)= x
2+(a−1) x−(a+2)（其中e≈2.71828
题型八、双变量问题之“切线放缩法”
典例探究
是自然对数的底数）．
(1)试讨论函数f (x)的零点个数；
(2)当a>1时，设函数h(x)= f (x)−g(x)的两个极值点为x1, x2，且x1< x2，求证：
e
x2−e
x1<4 a+2．
【8-1】设函数f ( x)= x(ln x)
2−(a+2)x ln x +(a+3)x ,a>0．
(1)a=1时，求曲线y = f ( x)在点(e,f (e))处的切线方程；
(2)讨论f ( x)的单调性；
(3)若f ( x)有两个极值点x1, x2
且x1< x2
，证明：f (x1)
x1
−f (x2)
x2
< 4(x2−e)ln x1
e
．
【8-2】已知函数f (x)=e
x−ax，其导函数为f
′ (x).
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)≥1恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若m，n是函数y = f (x)的两个零点，求证：f
′(❑√mn)<0.
举一反三
【8-3】已知x1, x2∈(1,+∞)，x1≠x2
，求证：
x2−x1
ln(x2−1)−ln(x1−1)
>❑√x1 x2−x1−x2+1．
【破提升训练・1】已知m，n都是正整数，且e
m+ ln n<m+n，则（ ）
A．n>e
m
B．m>e
m
C．n<e
m
D．m>e
n
【破提升训练・2】若实数x , y满足4 ln x +2ln(2 y)≥x
2+8 y −4，则（ ）
A．xy =
❑√2
4
B．x + y = ❑√2
C．x +2 y =1+ ❑√2
D．x
2 y =1
【破提升训练・3】对任意的正数x，都存在唯一的正数y，使x
2(ln y −ln x)−a y
2=0成
立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{ 1
2e }∪(−∞,0]
B．(−∞, 1
2e )
C．{ 1
2e }
D．
(−∞,0]
【破提升训练・4】对任意的实数x，都存在两个不同的实数y，使得
题型精析・方法突破提能力
e
2 x−y( y −x)−ae
2 y −x=0成立，则实数a的取值范围为
A．(0, 1
3e)
B．(0, 1
2e)
C．(
1
2e ,+ ∞)
D．(
1
3e ,1)
【破提升训练・5】已知a，b 满足e
a=−ae
−2，b(ln b−2)=e
4，其中e 是自然对数的底数，
则ab 的值为（ ）
A．−e
B．−e
2
C．−e
3
D．−e
4
【破提升训练・6】已知0< x< y <π，且e
ysin x =e
xsin y，其中e 为自然对数的底数，则
下列选项中一定成立的是（ ）
A．y < π
4
B．x + y < π
2
C．cos x +cos y >0
D．sin x>sin y
【破提升训练・7】已知P(t ,t
2)，过点P可作曲线f (x)= x−ln x的两条切线，切点为
(x1,f (x1))，(x2,f (x2))．求x1 x2[
f (x1)−f (x2)
x1−x2
−1)
的取值范围（ ）
A．(−1,0)
B．[−1,0)
C．(−2,−1)
D．[−2,−1)
【破提升训练・8】已知函数f ( x)= x
2−ax + ln x(a∈R)．
(1)求函数f ( x)的单调区间．
(2)设函数g( x)= x⋅[x
2+1−f ( x))−a有两个极值点x1, x2
．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>2e．
【破提升训练・9】已知函数f (x)=2ln x−(a+1) x
2−2ax +1，a∈R．
(1)当a=1时，求函数f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)已知函数f (x)有两个零点x1，x2，
①求实数a的取值范围；
②证明：x1+ x2>
2
a+1
．
【破提升训练・10】已知函数f (x)=e
x−1
2 x
2+ax +a.
(1)若f (x)为增函数，求a的取值范围；
(2)若f (x)有两个极值点x1, x2，证明：x1+ x2<0.
【破提升训练・11】已知函数f ( x)= ln x
x
，g( x)=ax +b，设F( x)= f ( x)−g( x).
(1)若a=1，求F( x)的最大值；
(2)求f ( x)在[2,m](m>2)上的最小值；
(3)若F( x)有两个不同的零点x1, x2，求证：( x1+ x2)g( x1+ x2)>2.
【破提升训练・12】已知函数h(x)=ln x和g(x)=ax，若存在两个实数x1, x2，且x1≠x2，
使得h(x1)= g(x1)，h(x2)= g(x2)，证明：x1 x2>e
2．
【破提升训练・13】已知函数f (x)= xln x−x．
(1)求函数f (x)的最值；
(2)若函数g(x)= f (x)−a x
2+a有两个不同的极值点，记作x1, x2
，且x1< x2
，求证：
ln x1+2ln x2>3．
【破提升训练・14】已知函数f ( x)= ln x + 1
x
，若方程f ( x)=a有两个根x1, x2(x1< x2)，证
明:x1+ x2>2.
【破提升训练・15】已知函数f (x)= xe
−x(x∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2
，且f (x1)= f (x2)，求证：x1+ x2>2．
【破提升训练・16】已知函数f (x)= x−3ln x−2
x −a(a∈R)．
(1)当a>0时，求函数f (a)的值域；
(2)若f (x)在[
1
16 ,+∞)
上只有一个零点，求实数a的取值范围；
(3)设x1, x2是f (x)的两个零点，证明：x1+ x2+6ln3>2a+6+6ln2．
【破提升训练・17】定义运算：|
m
n
p
q)=mq−np，已知函数
f ( x)=|
ln x
x−1
1
a ), g( x)= 1
x −1．
(1)若函数f ( x)的最大值为0，求实数a 的值；
(2)证明：(1+ 1
2
2)(1+ 1
3
2)(1+ 1
4
2)…(1+ 1
n
2)<e．
(3)若函数h( x)= f ( x)+ g( x)存在两个极值点x1, x2
，证明：h(x1)−h(x2)
x1−x2
−a+2<0．
【破提升训练・18】已知函数f (x)=−1
2 x
2+ax−ln x (a∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2)，求证：4 f (x1)−2f (x2)≤1+3 ln 2．
【破提升训练・19】已知函数f (x)=ln x + x
2−2ax ,a∈R，
(1)当a>0时，讨论f (x)的单调性；
(2)若函数f (x)有两个极值点x1, x2(x1< x2)，求2f (x1)−f (x2)的最小值.
【破提升训练・20】已知函数f (x)= ln x + a
2 x
2，a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程；
(2)求f (x)的单调区间；
(3)设x1, x2(0< x1< x2)是函数g(x)= f (x)−ax的两个极值点，证明：
g(x1)−g(x2)< a
2 −ln a．
【破提升训练・21】已知函数f (x)=t (x−1)−2ln x (t ∈R)，
(1)若f (x)≥0恒成立，求实数t 的值；
(2)当t =0时，方程1
2 f (x)+ x
2−x =m有两个不同的根，分别为x1, x2(x1< x2)，
①求实数m 的取值范围；
②求证：ln x1+ x2>1−m.
【破提升训练・22】已知函数f ( x)=( x +m)ln x，当x =1时，f ( x)的切线斜率k =3．
(1)求f ( x)的单调区间；
(2)已知x> y > 1
2，若f ( x)+ f ( y)
ln x + ln y =2，求证：若t ∈(1,2)，则2 x +ty ∈(3,4)．
【破提升训练・22】已知函数f ( x)=ax−x ln x ,f
′( x)为其导函数．
(1)若f ( x)≤1恒成立，求a的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数x1, x2
，使得f (x1)= f (x2)，证明：f
′(
❑√x1 x2)>0．
【破提升训练・23】已知函数f (x)= a−1−x
e
x
+aln 1
x + x ,h(x)=−x
2+2ax−a
2+2a,a为
实数.
(1)讨论函数f (x)的极值；
(2)若存在x1, x2
满足x1≠x2,f (x1)= f (x2)，求证：x1+ x2>h(x).
【破提升训练・24】设e为自然对数的底数，已知函数f (x)=(ln x +2)
2.
(1)当函数f (x)图象的切线经过原点时，求切线的方程；
(2)当实数m满足elnm+m=0,a,b∈(
m
2
e
2 ,+∞)
且a+b=2，求f (a)+ f (b)的最大值.
【破提升训练・25】已知f (x)= 1
2 a x
2+(1−2a) x−2ln x ,a>0.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)函数f (x)的图象上是否存在两点A(x1, y1),B(x2, y2)（其中x1≠x2
），使得直线
AB与函数f (x)的图象在x0= x1+ x2
2
处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在，
请说明理由.
【破提升训练・26】已知函数f ( x)=ax−ln x的最小值为1．
(1)求实数a的值；
(2)过点M (1，m)(m<1)作f ( x)图象的两条切线MA，MB，A(x1, y1)，B(x2, y2)是
两个切点，证明：x1 x2>1．
