文档文本内容
期中卷B 卷
考试范围：反比例函数和相似；考试时间：100 分钟；命题人：书生宝剑；满分:120 分
第I 卷（选择题）
一、单选题
1．点(4，-1)在反比例
的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点(4，-1)在反比例
的图象上即可直接判断．
【详解】
∵点(4，-1)在反比例函最
的图象上，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．已知反比例函数
，下列各点不在反比例函数的图像上的是( )
A．(2，3)
B．(-2，-3)
C．(1，6)
D．(2，-3)
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
【详解】
反比例函数
中，
，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上，
四个选项中只有D 选项符合．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3．如图，反比例函数y＝－
的图象与直线y＝－
x 的交点为A、B，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作
的x 轴的平行线相交于点C，则△ABC 的面积为( )
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【详解】
试题解析：由于点A、B 在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ABC 的面积=2|k|=2×4=8．
故选A．
考点：反比例函数系数k 的几何意义．
4．如图，函数y＝kx（k＞0）与函数
的图象相交于A，C 两点，过A 作AB y
⊥轴于B，连结BC，则
三角形ABC 的面积为（ ）
A．1
B．2
C．k2
D．2k2
【答案】B
【分析】
设点A 坐标
，根据点A，C 关于原点对称，可得出点C 坐标，最后根据三角形的面积计算即可．
【详解】
设点A 坐标
，则点C 坐标
，
∵AB⊥y 轴，
∴
，
故选B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握双曲线是关于原点对称，两个分支上的点也是关于原
点对称是解题的关键．
5．在△ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD•BC，那么AD BC
⊥
B．如果AD BC
⊥
，AD2＝BD•CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD BC
⊥
，AB2＝BD•BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD•CD，那么AD BC
⊥
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．
【详解】
如图：
A、∵AB2=BD•BC，
∴
，
又∠B= B
∠，
BAD
BCA
∴△
△
∽
，
BDA= BAC=90°
∴∠
∠
，即AD BC
⊥
，故A 选项说法正确，不符合题意；
B、∵AD2=BD•CD，
∴
，
又∠ADC= BDA=90°
∠
，
ADC
BDA
∴△
△
∽
，
BAD= C
∴∠
∠，
DAC+ C=90°
∵∠
∠
，
DAC+ BAD=90°
∴∠
∠
，
BAC=90°
∴∠
，故B 选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2=BD•BC，
∴
，
又∠B= B
∠，
BAD
BCA
∴△
△
∽
，
BAC= BDA=90°
∴∠
∠
，即AD BC
⊥
，故C 选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC=90°，AD2=BD•CD，那么AD 与BC 不一定垂直，故D 选项错误，不符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．如图，在△ABC 中，DE BC
∥
，AD：DB=1：2，则
=（ ）.
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9
【答案】D．
【解析】
试题分析：AD：DB=1：2，则
，∵DE BC
∥
，∴△ADE
ABC
∽△
，∴
=1：9．
故选：D．
考点：相似三角形的判定与性质．
7．如图，△ABC 的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O 为位似中心，将△ABC 扩大得到
△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1 的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC
A1B1C1
△
∽
B．△A1B1C1 的周长为6+
C．△A1B1C1 的面积为3 D．点B1 的坐标可能是(6，6)
【答案】C
【分析】
根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边
之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】
A.
ABC
A
△
△
∽
1B1C1，故A 正确；
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=
，所以△ABC 的周长为2+
，由周长比等于位似比可得
△A1B1C1的周长为△ABC 周长的3 倍，即6+
，故B 正确；
C. S
ABC
△
=
,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC 周长的9 倍，即
，
故C 错误；
D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B 的3 倍，此时B1的坐标为（6,6），故D 正确；
故选C.
【点睛】
本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.
8．如图，在
为
内一点，
，
，
分别是
，
，
上的点，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据
可知
=
，由∠BOC 是公共角可证明△OEF
OBC
∽△
，根据相似三角形的性质
即可得答案.
【详解】
∵
，
∴
=
，
在△OEF 和△OBC 中，
=
，∠BOC= BOC
∠
，
OEF
OBC
∴△
△
∽
，
∴
,
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例且夹角相等得出两三角形相似是解题关键．
9．如图，AB 是半圆直径，半径OC AB
⊥
于点O，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D，连结CD、OD，给出
以下四个结论：①AC OD
∥
；②CE=OE；③△ODE
ADO
∽△
；④
．其中正确结论的序号是
（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【解析】
AB
①∵
是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD= ADO
∠
，
AD
∵
平分∠CAB 交弧BC 于点D，∴∠CAD= DAO=
∠
CAB
∠
，∴∠CAD= ADO
∠
，
AC OD
∴
∥
，∴①正确．
②过点E 作EF AC
⊥
，∵OC AB
⊥
，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D，∴OE=EF，
在Rt
EFC
△
中，CE＞EF，∴CE＞OE，∴②错误．
③∵在△ODE 和△ADO 中，只有∠ADO= EDO
∠
，∵∠COD=2 CAD=2 OAD
∠
∠
，
DOE≠DAO
∴∠
∠
，∴不能证明△ODE 和△ADO 相似，∴③错误；
AD
④∵
平分∠CAB 交弧BC 于点D，∴∠CAD=
×45°=22.5°，∴∠COD=45°，
AB
∵
是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD= ODC=67.5°
CAD= ADO=22.5°
∠
∠
∠
∵
（已证），
CDE= ODC- ADO=67.5°-22.5°=45°
∴∠
∠
∠
，∴△CED
COD
∽△
，∴
，
CD
∴
2=OD•CE=
AB•CE，∴2CD2=CE•AB．∴④正确．综上所述，只有①④正确．故选B．
10 ．如图，在正方形
中，
分别为
的中点，
交于点
，连接
，则
（ ）
A．1:8
B．2:15 C．3:20 D．1:6
【答案】A
【分析】
延长
交
延长线于点
,可证
,
,
,
【详解】
解: 延长
交
延长线于点
在
与
中
故选A
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质.
第II 卷（非选择题）
二、填空题
11．已知函数
是反比例函数，则
的值为__________．
【答案】1
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程，然后解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据题意得，n2
2
﹣＝﹣1 且n+1≠0，
整理得，n2＝1 且n+1≠0，
解得n＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式
（k≠0），也可转化为y＝kx
1
﹣（k≠0）
的形式，特别注意不要忽略k≠0 这个条件．
12．在反比例函数
的图像上有两点
、
．若
，
则k 的取值范围是
________．
【答案】k＜
【分析】
利用反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，于是得到1-3k＞0，然后解不等式即可．
【详解】
解：∵x1＜0＜x2，y1＜y2，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
1-3
∴
k＞0，
∴k＜
，
故答案为：k＜
．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=
（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上
的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
13．如图，路灯距离地面8 米，身高1.6 米的小明站在距离灯的底部（点O）20 米的A 处，则小明的影子
AM 长为___米．
【答案】5
【详解】
根据题意，易得△MBA
MCO
∽△
，
根据相似三角形的性质可知
，即
，解得AM=5．
∴小明的影长为5 米．
14．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A 处前进3 米到达B 处时，测得影子BC
长的1 米，已知小颖的身高1.5 米，她若继续往前走3 米到达D 处，此时影子DE 长为____米．
【答案】2
【分析】
根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三
角形对应边成比例进行求解．
【详解】
解：根据题意可知
当小颖在BG 处时，
∴
，即
∴AP=6
当小颖在DH 处时,
∴
，即
∴
∴DE=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
15．如图，平行四边形
中，
是
中点，在
上截取
，
交
于
，则
的值
为______．
【答案】
【分析】
延长EF 和CD 交于点H，利用平行可证△EAF
HDF
∽△
，列出比例式可得HD=2AE，从而得出HC= 4AE，
然后利用平行可证△AEG
CHG
∽△
，列出比例式即可得出结论．
【详解】
解：延长EF 和CD 交于点H
∵四边形ABCD 为平行四边形，
HC AE
∴
∥
，AB=CD
EAF
HDF
∴△
△
∽
∴
HD=2AE
∴
∵
是
中点，
AB=2AE
∴
CD=2AE
∴
HC=HC
∴
＋CD=4AE
HC AE
∵
∥
，
AEG
CHG
∴△
△
∽
∴
∴
故答案为：
．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握构造相似三角形的方法和相似三角形的
性质是解决此题的关键．
16．某食堂现有煤炭500 吨，这些煤炭能烧的天数y 与平均每天烧煤的吨数x 之间的函数关系式是
___________________________．
【答案】y=
．
【分析】
这些煤能烧的天数=煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．
【详解】
∵煤的总吨数为500，平均每天烧煤的吨数为x，
∴这些煤能烧的天数为y=
，
故答案为y=
．
【点睛】
考查列反比例函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．
17．如图，格点图中有2 个三角形，若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB=____，
BC=_______，DE=______，EF=_____，计算
=______，
=_____，我们会得到AB 与DE 这两条线
段的比值与BC，EF 这两条线段的比值______（填相等或不相等），即
，那么这四条线段叫做
________，简称比例线段．
【答案】
3
6
相等 成比例线段
【解析】
试题分析：两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．掌握勾股定理的内容．
解：根据已知，得BC=3，EF=6．根据勾股定理，得AB=
=
，DE=
=2
．
所以
= ，
= ．根据比例线段的概念即可判断．
故填
，3，2
，6，，，相等，成比例线段．
考点：比例线段．
点评：不是水平线或铅垂线的线段要能够熟练运用勾股定理求解，进一步求得两条线段的比值，根据两个
比值判断是否是成比例线段．
18．如图是函数
和函数
的图象，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们
分别交于点A、B，过点A、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C、D．若四边形
的周长为8，则点B 的
坐标为________．
【答案】
或
【分析】
设点A 的坐标为
，则点B 的坐标为
，表示出AB 与AC 的长，根据矩形的周长列出方程即可
求解．
【详解】
设点A 的坐标为
，则点B 的坐标为
，
∵四边形
的周长为8，
∴
，
∴
，
解得
，∴
，
当
时，
；B 点坐标为
；
当
时，
；B 点坐标为
．
故答案为：
或
．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的综合题：点在反比例函数图像上，点的横纵坐标满足解析式；利用矩形的性质
建立方程求解是解答本题的关键．
19．如图，E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F，
若
，且
，则CF 的长为________．
【答案】2
【分析】
先证明△ABE 和△DFE 相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出
的值，然后求出
的值，即可求出CF 的长度．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中， AB CD
∥
，
ABE
DFE
∴△
△
∽
，
∴
，
∵D 为AE 的黄金分割点，且
，
∴
，
∴
，
AB=CD
∵
，
∴
∴
．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．
20．如图，平行四边形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，AE 和BD 交于点F，已知△ABF 的面积等于
6,
BEF
△
的面积等于4，则四边形CDFE 的面积等于___________
【答案】11
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式得到AF：FE=3：2，再根据平行四边形的性质得到AD BE
∥
，S
ABD
△
=S
CBD
△
，则可判断
△AFD
EFB
∽△
，利用相似的性质可计算出S
AFD
△
=9，所以S
ABD
△
=S
CBD
△
=15，然后用△BCD 的面积减去
△BEF 的面积得到四边形CDFE 的面积．
【详解】
解：∵△ABF 的面积等于6，△BEF 的面积等于4，
即S
ABF
△
：S
BEF
△
=6：4=3：2，
AF
∴
：FE=3：2，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
AD BE
∴
∥
，S
ABD
△
=S
CBD
△
，
AFD
EFB
∴△
△
∽
，
∴
S△AFD
S ΔBEF
=(
AF
EF)
2
=(
3
2)
2
= 9
4 ，
S
∴
AFD
△
=9
4 ×4=9，
S
∴
ABD
△
=S
CBD
△
=6+9=15，
∴四边形CDFE 的面积=15-4=11．
故答案为11．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共
边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，
灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
三、解答题
21．如图,已知
,
,
,点
是射线
上的一个动点(点
与点
不重合),点
是
线段
上的一个动点(点
与点
不重合),连接
,过点
作
的垂线，交射线
于点
连接
.设
(1)当
时，求
关于
的函数关系式，并写出它的定义域；
(2)在(1)的条件下，取线段
的中点
,连接
,若
,求
的长；
(3)如果动点
在运动时,始终满足条件
那么请探究：
的周长是否随着动点
的运
动而发生变化?请说明理由。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
的周长不变，理由见解析
【分析】
（1）由△AED
BCE
∽△
，得出其对应边成比例，进而可得出x 与y 的关系式；
（2）可过D 点作DH BN
⊥
于H，求出BC 的值，即y 的值，进而可求解x 的值；
（3）△BCE 的周长为一定值，由于题中满足条件AD+DE=AB，且△AED
BCE
∽△
，由于相似三角形的周
长比即为其对应边的比，所以可得其周长不变．
【详解】
(1)由题中条件可得△AED
BCE
∽△
，
∴
，
AE=x,BC=y,AB=4,AD=1
∵
BE=4−x
∴
，
∴
，
∴
；
(2) DE
EC
∵
⊥
，
DEC=90°
∴∠
，
又∵DF=FC，
DC=2EF=2×2.5=5
∴
，
如图所示，过D 点作DH BN
⊥
于H，则DH=AB=4，
Rt
DHC
∴
△
中,
，
BC=BH+HC=1+3=4
∴
，即y=4，
∴
解得：
，
AE=2
∴
；
(3)
BCE
△
的周长不变. 理由如下：
，BE=4−x，
设AD=m，则DE=4−m，
A=90
∵∠
∘，
DE
∴
2=AE2+AD2即,(4−m)2=x2+m2
∴
，
由(1)知：△AED
BCE
∽△
，
∴
∴
BCE
∴△
的周长不变.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合应用，需要熟练掌握相似三角形的判定和性质，得出比例关系是关键.
22．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C（0，2），若
∠ACB=90°，BC=
．
试求：（1）A、B 两点的坐标；
（2）二次函数的表达式．
【答案】（1） A（-4，0），B（1，0）；（2） y=-
x2-
x+2．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知，BC=
，OC=2，由勾股定理可求OB，再由△AOC
COB
∽△
，利用相似
比求OA，可确定A、B 两点坐标；
（2）根据A、B 两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C（0，2）代入求a 即可．
试题解析：（1）在Rt
OBC
△
中，BC=
，OC=2，
由勾股定理得OB=
=1，
由△AOC
COB
∽△
，得
，
即
，解得AO=4，
A
∴（-4，0），B（1，0）；
（2）∵抛物线与x 轴交于A（-4，0），B（1，0）两点，
∴设抛物线解析式y=a（x+4）（x-1），
将C（0，2）代入解得a=-
，
y=-
∴
（x+4）（x-1），即y=-
x2-
x+2．
考点：待定系数法求二次函数解析式．
23．如图，在平面直角坐标系中有
,
,
,
,
.
(1)求点
的坐标;
(2)将
沿
轴的正方向平移，在第一象限内
、
两点的对应点
、
正好落在某反比例函数图像
上.请求出这个反比例函数和此时的直线
的解析式.
【答案】（1）C 点坐标为（-3，2）．（2）反比例函数解析式为y=
．y=-
x+3．
【解析】
试题分析：（1）作CN x
⊥轴于点N，通过角的计算得出∠NAC= OBA
∠
，结合相等的直角以及AC=AB 即
可证出Rt
CNA Rt
AOB
△
△
≌
（AAS），进而得出ON 和CN 的长度，此题得解；
（2）设反比例函数解析式为y=
，C′（c，2），根据平移的性质结合点B、C 的坐标即可得出点B′的
坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、c 的二元一次方程组，解方程组即可得出
k、c 值，由此即可得出反比例函数解析式与点B′、C′坐标，根据点B′、C′坐标利用待定系数法即可求出直
线B′C′的解析式.
试题解析：（1）作CN x
⊥轴于点N，如图所示．
BAC=90°
∵∠
，
NAC+ OAB=90°
∴∠
∠
，
OAB+ OBA=90°
∵∠
∠
，
NAC= OBA
∴∠
∠
．
在Rt
CNA
△
和Rt
AOB
△
中，
，
Rt
CNA Rt
AOB
∴
△
△
≌
（AAS），
AN=BO=1
∴
，NO=NA+AO=3，CN=AO=2，
C
∴
点坐标为（-3，2）．
（2）设反比例函数解析式为y=
，
C
∵（-3，2），B（0，1），
∴设C′（c，2），则B′（c+3，1）．
∵点B′和C′在反比例函数图象上，
∴
，解得：
，
∴反比例函数解析式为y=
．
c=3
∵
，
C′
∴
（3，2），B′（6，1），
设直线B′C′的解析式为y=mx+n，
则
，解得：
，
∴直线B′C′的解析式位y=-
x+3．
24．如图1，在正方形
中，
平分
，交
于点
，过点
作
，交
的延长线于
点
，交
的延长线于点
．
(1)求证：
；
(2)如图2，连接
、
，求证：
平分
；
(3)如图3，连接
交
于点
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
.
【分析】
(1)由正方形性质得出
，
，根据直角三角形两锐角互余的关系可得
，利
用
可证得
，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分线的定义得出
，利用
可证得
得出
，由直角三角形斜边中线的性质得
出
，根据角的和差关系可得
，即可得出结论；(3)连接
，由正方形的性
质得出
，
，
，推出
，根据角的和差关系可得
，利用
可证得
，得出
，推出
，
即可证得△DCM
ACE
∽△
，即可得出结果．
【详解】
(1)∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
.
(2)证明：∵四边形
是正方形，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
平分
.
(3)解：连接
，如图3 所示：
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
=22.5°，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的
判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，
熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．
25．如图，四边形
是平行四边形，在边
的延长线上截取
，点
在
的延长线上，
和
交于点
，
和
交于
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）如果
，求证：
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据对应边成比例且夹角相等证得
∽
，根据平行四边形的性质和等量代换得到
，结合
，可以证明
∽
，因此对应边成比例，又因为
，所以可以证明题目．
【详解】
（1）证明： ∵四边形
是平行四边形，
∴
∥
，
；
∵
，
∴
；
又
∥
，
∴四边形
是平行四边形．
（2） 证明：∵
，
∴
，
又
，
∴
∽
，
∴
；
∵
∥
，
∴
；
∵四边形
是平行四边形，
∴
∥
，
∴
；
∵四边形
是平行四边形，
∴
∥
，
∴
；
∴
；
又
，
∴
∽
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握两部分的相关性质和定理是本
题的关键．
