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相似三角形的性质
1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为(
D )
A．4∶3 B．3∶4
C．16∶9 D．9∶16
2. 如图27－2－41，AB∥CD，＝，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )
图27－2－41
A. B. C. D.
3．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周
长为( A )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D，E 分别是AB，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D
)
A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC
C.＝ D．S△ABC＝3S△ADE
【解析】 ∵在△ABC 中，点D，E 分别是边AB，AC 的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴BC＝2DE，故A
正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B 正确；∴＝，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE∶BC＝1∶2，∴S△ABC＝4S△ADE，故D 错误．
图27－2－42
图27－2－43
5．如图27－2－43，边长为4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】 作DF⊥BC 于F，
∵边长为4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，
∴DE＝2，BD＝2，∠B＝60°，
∴BF＝1，DF＝＝＝，
∴四边形BCED 的面积为DF·(DE＋BC)＝××(2＋4)＝3.故选B.
6．在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那
么△DEF 的周长、面积依次为( A )
A．8，3 B．8，6
C．4，3 D．4，6
【解析】 ∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝2，又∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2，
∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的
周长为16×＝8，△DEF 的面积为12×＝3.
7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，且＝＝，则S△ADE∶S 四边形BCED的值
为( C )
图27－2－44
A．1∶ B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
8．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A′B′C′的周长为
__8__.
【解析】 ∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC 的周长∶△A′B′C′的周长＝3∶4，∵△ABC 的
周长为6，∴△A′B′C′的周长＝6×＝8.
9．已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为
__9 ∶
1 __．
【解析】 ∵△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比
是3∶1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1.
图27－2－45
10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交边AB，AC 于D，E 两点，若AD∶AB＝1∶3，
则△ADE 与△ABC 的面积比为__1 ∶
9 __．
11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形
坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46 是同学们选择(确保测量过程
中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54 米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B 时，
恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S(甲同学的视线起点C 与点A、点S 三
点共线)．经测量：AB＝1.2 米，BC＝1.6 米．
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)．(π 取3.14，结果精确到0.1 米)
图27－2－46
第11 题答图
解：如图，取圆锥底面圆圆心O，连接OS，OA，
则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，
∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，
∴＝，即OS＝.
∵OA＝≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，
∴OS≈≈7.3，
∴“圆锥形坑”的深度约为7.3 米．
12. 已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC 的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF 的周长；
(2)求△DEF 的面积．
解：(1)∵＝，
∴△DEF 的周长＝12×＝8(cm)；
(2)∵＝，
∴△DEF 的面积＝30×()2＝13(cm2)．
13．如图27－2－47，四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 相交于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD
与△BOC 的面积比等于( D )
图27－2－47
A. B. C. D.
14．如图27－2－48，在△ABC 中，BC＞AC，点D 在BC 上，且DC＝AC，∠ACB 的平分线CF 交AD
于点F，点E 是AB 的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．
图27－2－48
【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
解：(1)证明：∵DC＝AC，
∴△ACD 为等腰三角形．
∵CF 平分∠ACD，∴F 为AD 的中点．
∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，
∴EF∥BC.
(2)由(1)得EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.
∵＝，∴S△AEF∶S△ABD＝1∶4，
∴S 四边形BDFE∶S△ABD＝ 3∶4.
∵S△ABD＝6，∴S 四边形BDFE＝.
15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为
AB 的中点．
图27－2－49
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC ＝∠CAB.
又∵∠ADC ＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
(2)证明：∵E 为AB 的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∠EAC ＝∠ECA.
∵AC 平分∠DAB，
∴∠CAD ＝∠CAB.
∴∠DAC ＝∠ECA.
∴CE∥AD.
(3)∵CE∥AD，
∴∠DAF ＝∠ECF，∠ADF ＝∠CEF，
∴△AFD∽△CFE，
∴＝.
∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3.
又∵AD＝4，由＝得＝，
∴＝.
∴＝.
16. 已知：如图27－2－50，△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF∥AB，延
长BP 交AC 于E，交CF 于F.求证：BP2＝PE·PF.
图27－2－50
证明： 连接PC，
∵AB＝AC，AD 是中线，
∴AD 是△ABC 的对称轴．
∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，
∴∠PCE＝∠PFC.
又∵∠CPE＝∠EPC，
∴△EPC∽△CPF.
∴＝(相似三角形的对应边成比例)．
∴PC2＝PE·PF.
∵PC＝BP，
∴BP2＝PE·PF.
17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很
多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角
形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)若O 是△ABC 的重心(如图1)，连结AO 并延长交BC 于D，证明：＝；
(2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图2)，O 是AD 上一点，且满足＝，试判断O 是△ABC 的重心
吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(3)若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB，AC 相交于G，H(均不与△ABC 的顶点重
合)(如图3)，S 四边形BCHG.S△AGH分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究的最大值．
图27－2－51
解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E，连接DE，则DE 为△ABC 的中位线，∴DE∥AB，
∴△EDO≌△BAO，∴＝＝，∴＝.
(2)是，证明：
连接BO 并延长交AC 于点E，过点D 作DF∥BE 交AC 于点F，则△AOE∽△ADF，
∴＝＝，
∴AE＝2EF，
又∵△CDF∽△CBE，
∴＝＝，
∴EF＝FC，
∴AE＝CE，即点E 为AC 中点，
∴点O 为△ABC 的重心．
(3).
