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位似
第1 课时 位似图形的概念及画法 [见A 本P76]
1．下列四个命题中，属于真命题的是( D )
A．若＝m，则a＝m
B．若a>b，则am>bm
C．两个等腰三角形必定相似
D．位似图形一定是相似图形
2．如图27－3－1，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D，E，F 分别是
OA，OB，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是( B )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6
【解析】 ∵△DEF∽△ABC，∴＝＝＝，故选B.
图27－3－1
图27－3－2
3．如图27－3－2，已知△EFH 和△MNK 是位似图形，那么其位似中心是( A )
A．点B B．点C
C．点D D．点A
【解析】 根据位似图形的性质，连接对应点E 与M，F 与N，H 与K，看它们的交点是哪一个，易
知它们相交于点B，则B 点就是它们的位似中心．
4．如图27－3－3，正五边形 FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB∶FG＝
2∶3，则下列结论正确的是( B )
图27－3－3
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
【解析】 位似图形是相似图形，所以对应边的比都等于相似比，则有＝＝，所以3DE＝2MN.
5．如图27－3－4，四边形ABCD 的周长为12 cm，它的位似图形为四边形A′B′C′D′，位似
中心为O，若OA∶AA′＝1∶3，则四边形A′B′C′D′的周长为( B )
图27－3－4
A．12 cm B．24 cm
C．12 cm 或24 cm D．以上都不对
【解析】 ∵四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴＝，
又∵＝，∴设OA＝k，则AA′＝3k，
∴OA′＝AA′－OA＝3k－k＝2k，
∴＝＝＝，
即A′D′＝2AD，
同理A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，C′D′＝2CD，
∴四边形A′B′C′D′的周长为A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A ′＝2(AB＋BC＋CD＋DA)
＝24 cm.
6．如图27－3－5，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻
灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上
图形的高度为__18__cm.
图27－3－5
7．如图27－3－6，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，
已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的
比值是____．
图27－3－6
8．如图27－3－7，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且AA′＝OA′，那
么五边形ABCDE 是将五边形A′B′C′D′E′放大到原来的__2__倍，S 五边形ABCDE＝__4__S 五边
形A′B′C′D′E′.
图27－3－7
【解析】 因为AA′＝OA′，所以＝，所以五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的相似比
为2∶1，面积比为4∶1.
9．如图27－3－8，分别按下列要求作出四边形ABCD 以O 点为位似中心的位似图形．
图27－3－8
(1)沿AO 方向放大为原图的2 倍；
(2)沿OA 方向放大为原图的2 倍．
解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′符合题意；
(2)如图所示，四边形A″B″C″D″符合题意．
10．关于位似图形的表述，下列命题正确的是__②③__.(只填序号)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如
果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图
形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
11．图27－3－9 中的小方格都是边长为1 的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点
上．
图27－3－9
(1)以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2 倍，得到△A′B′C′；
(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′
在旋转过程中扫过的图形面积．
【解析】 利用位似图形的性质和旋转解决问题．
解：(1)如图中△A′B′C′；
(2)如图中△A″B′C″，边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积为S＝π×(22＋42)＝
π×20＝5π.
12 如图27－3－10，正三角形ABC 的边长为3＋.
(1)如图，正方形EFPN 的顶点E，F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，
以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′
的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
图27－3－10
解：(1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC 为正三角形，
∴AE′＝BF′＝x.
∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，
∴x＋x＋x＝3＋，
∴x＝，即x＝3－3.
第2 课时 位似图形的坐标变化规律 [见B 本P76]
1．如图27－3－11，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在
y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩
形OABC 的面积的，那么点B′的坐标是( D )
图27－3－11
A．(3，2)
B．(－2，－3)
C．(2，3)或(－2，－3)
D．(3，2)或(－3，－2)
2．如图27－3－12，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以
P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是( A )
图27－3－12
A．(－4，－3) B．(－3，－3)
C．(－4，－4) D．(－3，－4)
3．如图27－3－13，△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中A，B 的对应点分别为A′，B′点A，B，
A′，B′均在图中的格点上．若线段AB 上有一点P(m，n)，则点P 在A′B′上的对应点P′的
坐标为( D )
图27－3－13
A．(，n) B．(m，n)
C．(m，) D．(，)
【解析】 ∵△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中A，B 的对应点分别为A′，B′点A，B，A′，B′
均在图中的格点上，A 点坐标为(4，6)，B 点坐标为(6，2)，A′点坐标为(2，3)，B′点坐标为
(3，1)，
所以若线段AB 上有一点P(m，n)，则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为(，)．
故选D.
4.在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为，把
△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D )
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
【解析】 根据题意画出相应的图形，找出点E 的对应点E′的坐标即可．
根据题意得：
则点E 的对应点E′的坐标是(－2，1)或(2，－1)．
5．已知四边形ABCD 在直角坐标系中各顶点的坐标为A(6，0)，B(－2，－6)，C(－8，2)，D(0，
8)，现将四边形ABCD 以坐标原点为位似中心作四边形A1B1C1D1，且使四边形ABCD 的周长是四
边形A1B1C1D1的4 倍，则C1的坐标为( D )
A. B.
C. D.或
【解析】 相似图形的周长比等于相似比，根据图形位似变换的坐标变化规律，知C1的坐标为
或，即或，故选D.
6．如图27－3－14，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐
标是__(9
，
0 ) __．
图27－3－14
【解析】 连接C′C，A′A，并延长得它们的交点就是位似中心．作图后观察得交点坐标为(9，
0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．
7．如图27－3－15，已知△OAB 与△OA′B′是相似比为1∶2 的位似图形，点O 为位似中心，
若△OAB 内点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__( －
2 x ，
－
2 y ) __．
图27－3－15
8．在平面直角坐标系中，△ABC 顶点A 的坐标为(2，3)，若以原点O 为位似中心，画△ABC 的
位似图形△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为__(4
，
6 ) 或
( －
4 ，
－
6)
__．
【解析】 由关于原点位似的两图形在坐标平面内对应点的坐标变化规律知A′(2×2，2×3)
或A′(－2×2，－2×3)，∴点A′的坐标为(4，6)或(－4，－6)．
9．[2013·泰州]如图27－3－16，平面直角坐标系xOy 中，点A，B 的坐标分别为(3，0)，(2，
－3)，△AB′O′是△ABO 关于点A 的位似图形，且O′的坐标为
(－1，0)，则点B′的坐标为__( ，
－
4)
__．
图27－3－16
10．如图27－3－17，△ABC 与△DOE 是位似图形，且A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)，E(6，0)，则D
点的坐标为__(4
，
6 ) __，△ABC 与△DO E 的位似中心M 的坐标为__( －
4 ，
0 ) __．
图27－3－17
【解析】 位似中心M 为直线AD 与x 轴的交点．
11．如图27－3－18，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，
B(－3，4)，C(－2，6)．
图27－3－18
(1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1.
(2)以原点O 为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2 倍后的△A2B2C2.
解：如图，(1)△A1B1C1 即为所求；
(2)△A2B2C2 即为所求．
12．如图27－3－19，△ABC 在方格纸中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A 点坐标为(2，3)，C 点坐标为(6，2)，并求出B 点
坐标；
(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形
△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
图27－3－19
解：(1)将A 点向下平移3 个单位，再向左平移2 个单位得坐标原点，即可建立平面直角坐标
系，此时B 的坐标为(2，1)，如图．
(2)求出放大后的△A′B′C′的三点坐标分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)，顺次连
接即得△A′B′C′，如图．
(3)S＝A′B′·(xC′－xA′)＝×(6－2)×(12－4)＝16.
13．如图27－3－20，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C
为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的
2 倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a，则点B 的横坐标是( D )
图27－3－20
A．－a B．－(a＋1)
C．－(a－1) D．－(a＋3)
【解析】 可以分别过点B 和B′向x 轴作垂线BM 和B′N，分别交x 轴于点M、N，则
△BMC∽△B′NC，∵点B′的横坐标是a，则CN＝1＋a，∴MC＝(1＋a)，∴点M 的横坐标是－1
－(1＋a)＝－(a＋3)，则点B 的横坐标也是－(a＋3)．
