文档文本内容
相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1 课时 平行线分线段成比例定理 [见B 本P69]
1．如图27－2－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n 与a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，
CE＝6，BD＝3，则BF＝( B )
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【解析】 ∵a∥b∥c，∴＝，∴＝，∴DF＝4.5，∴BF＝BD＋DF＝7.5.
图27－2－1
图27－2－2
2．如图27－2－2，若l1∥l2，那么以下比例式中正确的是( D )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3．如图27－2－3，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是( A )
图27－2－3
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4. 如图27－2－4，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC 的
长是( B )
图27－2－4
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
【解析】 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
∵DE∥BC，∴＝，
∵AE＝6，∴＝，解得EC＝8，则EC 的长是8.
5．如图27－2－5 所示，△ABC 中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE 的值为( B )
图27－2－5
A．9 B．6 C．3 D．4
【解析】 ∵DE∥BC，∴＝.∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴＝，∴CE＝6，故选B.
6．如图27－2－6，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(
A )
图27－2－6
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
【解析】 由△ABC∽△DBA 可得对应边成比例，即＝，再根据比例的性质可知AB2＝BC·BD，故
选A.
7．如图27－2－7，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的
值为( B )
A. B. C. D.
图27－2－7
图27－2－8
8．如图27－2－8，已知DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( D )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 A 正确，∵DE∥AB，DF∥BC，
∴四边形DEBF 是平行四边形，∴DE＝BF.
∵DF∥BC，∴＝，∴＝；
B 正确，∵DE∥AB，∴＝，
又DF∥BC，∴＝，∴＝；
C 正确，∵四边形DEBF 是平行四边形，
∴DF＝BE.
∵DE∥AB，∴＝，∴＝；
D 不正确，∵DF∥BC，∴＝，
又DE∥AB，∴＝，∴＝，
又BE＝DF，∴＝.
9．如图27－2－9，已知AC∥DB，OA∶OB＝3∶5，OA＝9，CD＝32，则OB＝__15__，OD＝__20__．
【解析】 ∵＝，∴OB＝OA＝×9＝15.
设OD＝x，则OC＝32－x.
∵AC∥DB，∴＝，∴＝，解得x＝20.
图27－2－9
图27－2－10
10．如图27－2－10，已知l1∥l2∥l3，AM＝3 cm，BM＝5 cm，CM＝4.5 cm，EF＝12 cm，则DM＝
__7.5__cm，EK＝__4.5__cm，FK＝__7.5__cm.
【解析】 ∵l1∥l2∥l3，∴＝，
∴＝，∴DM＝7.5 cm.
∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，
∴EK＝4.5 cm，
∴FK＝EF－EK＝12－4.5＝7.5(cm)．
11. 如图27－2－11，已知在△ABC 中，点D，E，F 分别是边AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD∶DB ＝ 3∶5，那么CF∶CB 等于( A )
图27－2－11
A. 5∶8 B．3∶8
C. 3∶5 D．2∶5
【解析】 ∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8，
∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
12．如图27－2－12，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E，则下列结论
错误的是( C )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
图27－2－12
图27－2－13
13．如图27－2－13，已知FG∥BC，AE∥GH∥CD，求证：＝.
【解析】 观察图形，我们会发现AE∥GH∥CD，具备了平行线分线段成比例定理的基本图形，
可推得＝；由FG∥BC，知它具备了定理推论中的“A”型的基本图形，可推得＝，从而可证得
＝.
证明：∵AE∥GH∥CD，∴＝.
∵FG∥BC，∴＝，∴＝.
14．如图27－2－14，已知AB∥MN，BC∥NG，求证：＝.
证明：∵AB∥MN，∴＝，
又∵BC∥NG，∴＝，∴＝.
图27－2－14
图27－2－15
15．如图27－2－15，▱ABCD 中，E 在CD 延长线上，BE 交AD 于F.若AB＝3，BC＝4，DF＝1，求DE
的长．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC.
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
又∵AF＝AD－DF＝BC－DF＝3，
∴＝，∴DE＝1.
16．如图27－2－16，已知AD 是△ABC 的角平分线，CE∥AD 交BA 的延长线于点E.
求证：＝.
图27－2－16
证明：∵AD∥CE，∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE.
又∵∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACE，
∴AE＝AC.
又∵CE∥AD，
∴＝，∴＝.
第2 课时 相似三角形判定定理1、2 [见A 本P71]
1．如图27－2－17，在△ABC 中，DE∥BC，若＝，DE＝4 cm，则BC 的长为( B )
图27－2－17
A．8 cm B．12 cm
C．11 cm D．10 cm
【解析】 ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴＝.
∵＝，∴＝，∴＝，
∴BC＝12 cm，选择B.
2. 能说明△ABC∽△A′B′C′的条件是( D )
A.＝≠
B.＝，∠A＝∠C′
C.＝，且∠B＝∠A′
D.＝，且∠B＝∠B′
3．如图27－2－18，四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于O，且将这个四边形分成①，②，③，
④四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B )
图27－2－18
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
【解析】 两个三角形两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．如图27－2－19，在△ABC 中，点D，E 分别是AB，AC 的中点，则下列结论：①BC＝2DE；
②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有( A )
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
【解析】 点D，E 分别是AB，AC 的中点，所以由中位线定理得DE∥BC，且DE＝BC，①正确；因为
DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，②正确；由②得＝，③正确．故选A.
图27－2－19
图27－2－20
5．如图27－2－20，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F，则下列
结论中错误的是( B )
A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BC
C．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC
【解析】 ∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE，
∴＝，故结论B 错误．
∵AE∥BC，∴△FAE∽△FBC，
∴＝，即＝，∴＝，
∴＝，即FA∶AB＝FE∶EC，故结论C 正确．而A，D 显然正确，∴应选B.
6．在△ABC 中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D 为AC 上一点，DC＝AC，在AB 上取一点E，得到
△ADE，若△ADE 与△ABC 相似，则DE 长为__6 或
8 __．
【解析】 (1)当△AED∽△ABC 时，此时图形为(a)，可得DE＝6；(2)当△AED∽△ACB 时，此时
图形为(b)，可得DE＝8.
7．如图27－2－21，在△ABC 中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.(1)求的值；(2)求BC.
图27－2－21
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12，
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.
∵DE＝3，∴＝，∴BC＝9.
8．网格图中每个方格都是边长为1 的正方形．若A，B，C，D，E，F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF.
图27－2－22
【解析】 利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得
△ABC∽△DEF.
解：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
9．如图27－2－23，D，E，F 分别是△ABC 的三边BC，CA，AB 的中点．
图27－2－23
(1)求证：△DEF∽△ABC；
(2)图中还有哪几个三角形与△ABC 相似？
解：(1)证明：∵D，F 分别是△ABC 的边BC，BA 的中点，
∴DF＝AC，
同理EF＝CB，DE＝AB，
则＝＝，
∴△DEF∽△ABC；
(2)∵E，F 分别是△ABC 的三边CA，AB 的中点，
∴EF∥BC，
∴△AFE∽△ABC.
同理，△FBD∽△ABC，△EDC∽△ABC.
∴图中与△ABC 相似的三角形还有△AFE，△FBD，△EDC.
10．如图27－2－24，△ABC 是等边三角形，D，E 在BC 边所在的直线上，且AB·AC＝BD·CE.
求证：△ABD∽△ECA.
图27－2－24
证明：∵△ABC 是等边三角形(已知)，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°(等边三角形的三个内角相等，都等于60°)，∴∠ABD＝∠ACE(等角
的补角相等)．
又AB·AC＝BD·CE(已知)，即＝，
∴△ABD∽△ECA(两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似)．
11．如图27－2－25，已知正方形ABCD 中，F 为BC 上一点，且BF＝3FC，E 为DC 的中点．求证：
△ADE∽△ECF.
图27－2－25
证明：∵正方形ABCD 中，E 为CD 中点，
∴CE＝ED＝CD＝AD.
∵BF＝3FC，
∴FC＝BC＝AD＝CE.
∴＝＝，即＝.
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ADE∽△ECF.
12．如图27－2－26，∠DAB＝∠CAE，且AB·AD＝AE·AC，请在图中找出与∠ADE 相等的角，
并说明理由．
图27－2－26
【解析】 由AB·AD＝AE·AC 得＝，如果证得它们的夹角相等，就可得到三角形相似，于是就
有与∠ADE 相等的角．
解：∠C＝∠ADE，理由如下：
∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC.
∵AB·AD＝AE·AC，
∴＝，∴△ABC∽△AED，
∴∠ADE＝∠C.
13. 如图27－2－27，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．
图27－2－27
解：△ABC∽△DBA.
理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x，
根据勾股定理，AB＝＝x，
AC＝＝x，
AD＝＝x，
∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DBA.
第3 课时 相似三角形判定定理3 [见B 本P71]
1．已知如图27－2－28(1)，(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)
中AB，CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是( A )
图27－2－28
A．都相似 B．都不相似
C．只有(1)相似 D．只有(2)相似
【解析】 两角对应相等，或者两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似．
2．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 与△DEF 不相似的是( C )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，
DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
3．如图27－2－29，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是AC 上一点，DE⊥AB 于点E，若AC＝8，BC＝6，
DE＝3，则AD 的长为( C )
图27－2－29
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得AB＝＝＝10.在△ADE 和△ABC
中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝5.
4．如图27－2－30 所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝
AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 图中△ABC 与△ACD 有一组公共角，根据相似三角形的判定方法，可再补充另一组对
应角相等，①②符合条件；或补充夹公共角的两边对应成比例，④符合条件，所以补充①②④
能判定△ABC∽△ACD.
图27－2－30
图27－2－31
5．如图27－2－31，在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，点D 在边AB 上，∠ACD＝∠B，则AD 的长为
____．
6. [2013·安顺]如图27－2－32，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝
__3 ∶
5 __．
图27－2－32
图27－2－33
7．如图27－2－33，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE∽△ACB：__∠
D ＝∠
C 或∠
E ＝∠
B 或
＝__．
【解析】 由∠1＝∠2 可得∠DAE＝∠CAB.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使
得△ADE∽△ACB.
8. [2013·六盘水]如图27－2－34，添加一个条件：__∠
ADE
＝∠
C 或∠
AED
＝∠
B 或＝
__，使
得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
【解析】 由题意得，∠A＝∠A(公共角)，
则可添加：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B，利用两角法可判定△ADE∽△ACB，添加＝也可以．
图27－2－34
图27－2－35
9. 如图27－2－35，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
10．如图27－2－36，点P 在平行四边形ABCD 的CD 边上，连接BP 并延长与AD 的延长线交于
点Q.
(1)求证：△DQP∽△CBP；
(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8 时，求DP 的长．
图27－2－36
解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AQ∥BC，∴∠Q＝∠PBC，∠PDQ＝∠C，
∴△DQP∽△CBP；
(2)∵△DQP≌△CBP，
∴DP＝CP＝CD.∵AB＝CD＝8，∴DP＝4.
图27－2－37
11.如图27－2－37 所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O，E 为OD 的中点，连接
AE 并延长交DC 于点F，则DF∶FC＝( D )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
【解析】 在平行四边形ABCD 中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴＝，
∵O 为对角线的交点，∴DO＝BO，
又∵E 为OD 的中点，∴DE＝DB，
则DE∶EB＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3，
∵DC＝AB，∴DF∶DC＝1∶3，∴DF∶FC＝1∶2.
图27－2－38
12．如图27－2－38，△ABC 中，AE 交BC 于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则
DE 的长等于( B )
A. B.
C. D.
【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，∴＝，
∵AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，
∴BD＝5，DC＝3，
∴DE＝＝.
故选B.
13．如图27－2－39，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
图27－2－39
第13 题答图
解：(1)证明：∵∠A 与∠B 是CD所对的圆周角，
∴∠A＝∠B，
又∵∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE；
(2)证明：如图，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，∴直径AC⊥BD，∴CD＝CB.
14．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G，E 是直线AB 上一动点(不与点A，B，G 重合)，直
线DE 交⊙O 于点F，直线CF 交直线AB 于点P.设⊙O 的半径为r.
(1)如图(1)，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE·OP＝r2；
图27－2－40
(2)当点E 在AB(或BA)的延长线上时，以图(2)中点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，
标注上字母，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
解：(1)证明：如图(1)，连接FO 并延长交⊙O 于Q，连接DQ.
∵FQ 是⊙O 的直径，∴∠FDQ＝90°，
∴∠QFD＋∠Q＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.
∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.
∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF，
∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2.
图(1)
图(2)
(2)(1)中的结论成立．
理由：如图(2)，依题意画出图形，连接FO 并延长交⊙O 于M，连接CM.
∵FM 是⊙O 的直径，∴∠FCM＝90°，
∴∠M＋∠CFM＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.
∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.
∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE，
∴＝，∴OE·OP＝OF2＝r2.
