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第二十七章 相似三角形 B 卷 满分 120 分 一、单选题 1. ( 3 分 ) 如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n 所截，交点分别为A、B、C 和D、E、F，且 AB=2，BC=3，DE=1.6，则EF=（ ） A. 2.4 B. 1.8 C. 2.6 D. 2.8 【答案】 A 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：∵a b c ∥∥， ∴AB BC = DE EF ， 即 2 3 = 1.6 EF ， EF=2.4 ∴ ． 故答案为：A． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 AB BC = DE EF ，然后利用比例性质可求出EF 的长． 2. ( 3 分 ) 下列说法错误的是（ ） A. 位似图形一定是相似图形 B. 相似图形不一定是位似图形 C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 【答案】 D 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：根据位似图形的定义可知，B，C 不符合题意，似图形中每组对应点所在的直线相 交于一点，D 符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据位似图形的性质位似图形对应点连线的交点是位似中心可得似图形中每组对应点所在的直线 相交于一点，而不是相互平行，顾可知选项D 错误。 3. ( 3 分 ) 如图，在 中， DE // BC ，若 AD DB = 3 5 ，则 AE AC = （ ） A. 3 5 B. 2 5 C. 3 8 D. 5 8 【答案】 C 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：在△ABC 中， DE // BC ， ∴AD DB = AE EC ， ∵AD DB = 3 5 ， ∴AE EC = 3 5 ， ∴AE AC = AE AE+ EC = 3 5+3 = 3 8 ， 故答案为：C. 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应相等成比例即可求解. 4. ( 3 分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6 ， BC =10 ， P 是 AD 边上一动点（不含端点 A , D ），连接 PC ， E 是 AB 边上一点，设 BE =a ，若存在唯一点 P ，使 ，则 a 的值 是（ ） A. 10 3 B. 11 6 C. 3 D. 6 【答案】 B 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵ ， DPC+ APE=90° ∴∠ ∠ ， D=90° ∵∠ ， DPC+ PCD=90° ∴∠ ∠ ， APE= PCD ∴∠ ∠ ， A= D=90° ∵∠ ∠ ， ∆DPC~∆AEP ∴ ， ∴DP AE = DC AP ， 设DP=x，则AP=10-x， ∴ ，即： ， ∵存在唯一点 P ， ∴ ，解得：a= 11 6 ， 故答案为：B. 【分析】根据题意，易证∆DPC~∆AEP，从而得到： DP AE = DC AP ，设DP=x，则AP=10-x，可得： ，进而得到： ，根据题意，判别式等于0，即可得到答案. 5. ( 3 分 ) 等腰三角形两边长分别为4 和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 16 或20 【答案】 C 【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：①当4 为腰时，4+4=8，故此种情况不存在； ②当8 为腰时，8 4 ﹣＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长=8+8+4=20． 故选：C． 【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析． 6. ( 3 分 ) 如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F， S DEF △ ： S BAF=4 △ ：25，则DE：AB =（ ）． A. 2 5∶ B. 2 3∶ C. 3 5∶ D. 3 2∶ 【答案】 A 【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵四边形ABCD 为平行四边形， DE AB ∴ ∥ ， DEF BAF ∴△ △ ∽ ， ∴ ， ∴DE AB = 2 5 ， 故答案为：A. 【分析】根据平行四边形的性质得到对边平行，得到△DEF BAF ∽△ ，由相似三角形面积比，得到对应边的 比. 7. ( 3 分 ) 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点F 是AB 的中点，E 为BC 边上一点，且EF ED ⊥ ，连 结DF，M 为DF 的中点，连结MA，ME．若AM ME ⊥ ，则AE 的长为（ ） A. 5 B. 2√5 C. 2√10 D. 4√2 【答案】 B 【考点】勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x， ∵四边形ABCD 矩形，AB=4， AB=CD=4 ∴ ，∠C= B=90° ∠ ， DEC+ CDE=90° ∴∠ ∠ ， 又∵F 是AB 的中点， BF=2 ∴ ， 又∵EF ED ⊥ ， FED=90° ∴∠ ， FEB+ DEC=90° ∴∠ ∠ ， FEB= CDE ∴∠ ∠ ， BFE CED ∴△ △ ∽ ， ∴BF CE = BE CD ， ∴ = x 4 ， ∴（x-2）（x-4）=0， x=2 ∴ ，或x=4， ①当x=2 时， EF=2 ∴ √2 ， DE=4√2 ， DF=2√10 ， AM=ME= ∴ √10 ， AE= ∴ √A M 2+ M E 2=√A B 2+ B E 2=2√5 , ②当x=4 时， EF=2 ∴ √5 ， DE=2√5 ， DF=2√10 ， AM=ME= ∴ √10 ， AE= ∴ √A M 2+ M E 2=2√5, AE=√A B 2+ B E 2=4√2, x=4 ∴ 不合题意，舍去 故答案为：B. 【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C= B=90° ∠ ，又由EF ED ⊥ ，根据同角的余 角相等可得出∠FEB= CDE ∠ ；由相似三角形的判定得出△BFE CED ∽△ ，再根据相似三角形的性质得出BF CE = BE CD ， 由此列出方程从而求出x=2 或x=4，分情况讨论：①当x=2 时，由勾股定理算出 AE=√A M 2+ M E 2=√A B 2+ B E 2=2√5,②当x=4 时，由勾股定理算出AE=√A M 2+ M E 2=2√5,AE= √A B 2+ B E 2=4√2,故x=4 不合题意，舍去. 8. ( 3 分 ) 如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AC 的中点， EF //CD ，交 AD 于点 F ，如果 EF =5.5 ，那么菱形 ABCD 的周长是（ ） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44 【答案】 D 【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ EF //CD ， ∴ ， ∴AE AC = EF CD ， ∵E 是 AC 的中点， ∴AE AC = EF CD = 1 2 ，即 EF = 1 2 CD ， ∵EF =5.5 ， ∴CD =11 ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴C ABCD 鑿 卞 舰= 4CD = 44 ； 故答案为：D. 【分析】根据平行线可证 ，可得AE AC = EF CD ，由E 是 AC 的中点，可得EF 是△ACD 的中位线，可得CD=2EF=11，利用C ABCD 鑿 卞 舰= 4CD即可求出结论. 9. ( 3 分 ) 如图，在 中， ， 于点 B ， AB =1.2 ， EB =1.6 ， BC =12.4 ，则 CD 的长是（ ） A. 14 B. 12.4 C. 10.5 D. 9.3 【答案】 C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ ， ， ∴ ， ∴AB //CD ， ∴ ， ∴AB CD = EB EC ， ∵AB =1.2 ， EB =1.6 ， BC =12.4 ， ∴EC =14 ， ∴1.2 CD = 1.6 14 ， ∴CD =10.5 ； 故答案为：C. 【分析】证明 ，可得AB CD = EB EC ， 据此即可求出CD 的长. 10. ( 3 分 ) 如图，将 沿 BC 边向右平移得到 ， DE 交 AC 于点G.若 BC : EC =3:1 . .则 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】 B 【考点】平移的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD BE ∥ CEG ADG ∴△ △ ∽ ∴ 即 ∵BC : EC =3:1 ∴BE: EC =2:1 ∴AD: EC =2:1 ∵ ∴ 故答案为：B. 【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD BE ∥ ，可证△CEG ADG ∽△ ，可得 ， 由BC： EC=3:1 可求出BE：EC=2:1，即得AD：EC=2:1，利用面积比即可求出结论. 二、填空题 11. ( 4 分 ) 如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，若∠ABD= C ∠，AB=6，AD=4，则线段CD 的长为 ________． 【答案】 5 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵∠ABD= C ∠，∠BAD= CAB ∠ ， ABD ACB ∴△ △ ∽ ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， AC=9 ∴ ， CD=AC-AD=5 ∴ ． 【分析】由∠ABD= C ∠ ， ∠BAD= CAB ∠ ， 证出△ABD ACB ∽△ ， 得出AB：AC=AD：AB ， 求出AC 的长，即可求出CD 的长． 12. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的点，DE BC ∥ ， AD AB = 1 3 ，DE=6，则 BC=________. 【答案】 18 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】∵DE BC ∥ ， ADE ABC ∴△ △ ∽ ， ∴DE BC = AD AB ， 又∵ AD AB = 1 3 ，DE=6， ∴ 6 BC = 1 3 ， BC=18 ∴ ， 故答案为：18. 【分析】根据相似三角形的性质可得 DE BC = AD AB ，再根据 AD AB = 1 3 ，DE=6，即可得出BC 长. 13. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，EF BC ∥ ，AE＝2BE，则△AEF 与△ABC 的面积比为________. 【答案】 4:9 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵EF BC ∥ AEF ABC ∴△ △ ∽ AE:AB=AF:AC ∴ AE=2BE ∵ AE:AB=2:3 ∴ AEF ∴△ 与△ABC 的面积比为4:9。 故答案为:4:9。 【分析】由 AE＝2BE 得出AE:AB=2:3，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三 角形相似得出△AEF ABC ∽△ ，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。 14. ( 4 分 ) 如图，梯形ABCD 中，点E、F 分别在边AB、DC 上，AD BC EF ∥ ∥ ，BE：EA=1：2，若 AD=2，BC=5，则EF=________。 【答案】 4 【考点】比例的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图，延长BA，CD 交于点K， AD BC ∵ ∥ ， KAD KBC ∴△ △ ∽ ， ∴AK BK = AD BC = 2 5 ， BE ∵ ：EA=1：2， AK ∴ ：EK=2：4=1：2， AD EF ∵ ∥ ， KAD KEF ∴△ △ ∽ ， ∴AD EF = AK EK ， ∴2 EF = 1 2 ， EF=4. ∴ 故答案为：4. 【分析】延长BA，CD 交于点K，由AD BC ∥ ，得出△KAD KBC ∽△ ，AK BK = AD BC = 2 5 ， 从而得出AK： EK=1：2，再由AD EF ∥ ，得出△KAD KEF ∽△ ，AD EF = AK EK ， 代入数值进行计算，即可求解. 15. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD BC ⊥ 于D，BD=3，CD=12，则AD 的长为________ 【答案】 6 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AD BC ⊥ ， AD ∴ 2=CD•BD=36， AD=6 ∴ ， 故答案为：6． 【分析】根据射影定理得到AD2=CD•BD，代入计算即可得到答案． 16. ( 4 分 ) 如图，在 中，点 D , E 分别在边 BA ,BC 上，且 AD DB = CE EB = 3 2 ， 与四边 形 ADEC 的面积的比为________. 【答案】 4 21 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵ AD DB = CE EB = 3 2 ， ∴ BD AD = BE EC = 2 3 ∴BD AB = BE BC = 2 5 B= B ∵∠ ∠， ∴ ， ∴ ∴ 与四边形 ADEC 的面积的比= 4 21 . 故答案是： 4 21 . 【分析】证明 ，可得 ， 据此即可求出结论. 17. ( 4 分 ) 已知在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0， 0），若以原点O 为位似中心，相似比为2，将△AOB 放大，则点A 的对应点的坐标为________. 【答案】 （4，2）或（－4，－2） 【考点】位似变换 【解析】【解答】解：如图，观察图象可知，点A 的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）. 故答案为：（4，2）或（-4，-2）. 【分析】根据位似变换的性质先作出图形，利用点A 位置写出坐标即可. 18. ( 4 分 ) 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m 的小明从 路灯灯泡A 的正下方点B 处，沿着平直的道路走8m 到达点D 处，测得影子DE 长是2m，则路灯灯泡A 离 地面的高度AB 为________m. 【答案】 8.5 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】解，根据题意得， ∴DE BE = CD AB ∴ 2 8+2 = 1.7 AB ∴ 故答案为：8.5 【分析】根据题意得 ， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解. 三、作图题 19. ( 8 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是 ， ， ． （1）将 绕点 O 顺时针旋转 90 掳 得到 ，请画出 ，并求出点 C 经过的 路径长； （2）以 A 为位似中心，将 放大2 倍得到 ，请直接写出 B2 的坐标． 【答案】 （1）解： 如图所示： 由勾股定理得： OC =√3 2+3 2=3√2 ， 则点 C 经过的路径长为： ； （2）解： 如图所示，则 B2 的坐标为：（4，1）． 【考点】弧长的计算，作图﹣位似变换，作图﹣旋转 【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C 的对应点A1、B1、C1的位置，即可得 到 ，然后求出OC，再利用弧长公式即可求出点 C 经过的路径长； （2）直接利用位似图形的性质作出 ，即可得出 B2 的坐标． 20. ( 8 分 ) 如图，在 中，D 是AB 边上的一点.请用尺规作图法，在 内，作出 ， 使 ，点D 与点B 对应，DE 交AC 于点E.（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图所示. . 【考点】作图﹣相似变换 【解析】【分析】利用尺规作图作 ，即可求解. 四、解答题 21. ( 8 分 ) 已知 a 2 = b 3 = c 4 ≠0，2a－b＋c＝10，求a，b，c 的值． 【答案】 解：设 a 2 = b 3 = c 4 =k，则a=2k，c=3k，c=4k， 2a-b+c=10 ∵ ， 4k-3k+4k=10 ∴ ，解得k=2， a=4 ∴ ，b=6，c=8 【考点】比例的性质 【解析】【分析】由题意设比值为k，将a、b、c 用含k 的代数式表示，再将a、b、c 代入等式2a－b＋c＝ 10 计算即可求得k 的值，则a、b、c 的值可求解。 22. ( 10 分 ) 已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm． （1）求线段a 与线段b 的比． （2）如果线段a、b、c、d 成比例，求线段d 的长． （3）b 是a 和c 的比例中项吗？为什么？ 【答案】 （1）解：∵a=0.3m=30cm；b=60cm， a ∴：b=30：60=1：2 （2）解：∵线段a、b、c、d 是成比例线段， ∴a b = c d ， c=12dm=120cm ∵ ， ∴1 2 = 120 d ， d=240cm ∴ （3）解：是，理由： b ∵ 2=3600，ac=30×120=3600， b ∴ 2=ac， b ∴是a 和c 的比例中项 【考点】比例线段 【解析】【分析】（1）首先统一单位，即a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b 的值； （2）根据线段a、b、c、d 是成比例线段，可得a：b=c：d，据此可求得d 的值； （3）首先计算出b2=3600，ac=30×120=3600，从而可得b2=ac，进而得出b 是a 和c 的比例中项． 23. ( 8 分 ) 如图，已知 ，求证： . 【答案】 证明：∵ ， ∴AB AD = AC AE ， ， ∴AB AC = AD AE ， ， ∴ ， ∴ . 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出AB AD = AC AE ， ， 从而得出 AB AC = AD AE ， ， 根据两边成比例且夹角相等即证结论. 24. ( 8 分 ) 已知：在 中，点D、E 分别在AC、AB 上，且满足 ，求证： . 【答案】 证明： ， ， ∽ ， 即 . 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】根据有两组角对应相等的三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似三角形的 对应边成比例即可求证答案. 25. ( 8 分 ) 如图所示是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D，AB BC ⊥ 于点B，CE BC ⊥ 于点C，测得 BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB. 【答案】 解：∵AB BC ⊥ ，CE BC ⊥ ABD= ECD=90° ∴∠ ∠ ADB= CDE ∵∠ ∠ ABD ECD ∴△ △ ∽ ∴AB CE = BD CD 即AB 60 = 150 75 . 解之：AB=120. 答：河宽为120m. 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ABD= ECD ∠ ，图形中隐含对顶角相等，由此可推出 △ABD ECD ∽△ ；然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB 的长.
