文档文本内容
第二十七章 相似三角形 培优卷
满分 120 分
一、单选题
1. ( 3 分 ) 已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则
它们对角线AC 与A′C′的比为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：9 D. 9：4
2. ( 3 分 ) 如图，已知DE 为△ABC 的中位线，△ADE 的面积为3，则四边形DECB 的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
3. ( 3 分 ) “相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重
合的图形 D. 大小相同的图形
4. ( 3 分 ) 如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上任一点，点F，G，E 分别是AD，BF，CF 的中点，连结
GE，若△FGE 的面积为8，则△ABC 的面积为( )
A. 32 B. 48 C. 64 D. 72
5. ( 3 分 ) 已知△ABC 的三边长分别为6cm ， 7.5cm ， 9cm ， △DEF 的一边长为4cm ， 当
△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2 cm，3 cm B. 4 cm，5 cm C. 5 cm，6 cm D. 6 cm，7 cm
6. ( 3 分 ) 如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 的中点，连结AG 并延长，交BC 边的延长线于点E，对角
线BD 交AG 于点F，已知AF=2，则线段AE 的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. ( 3 分 ) 已知抛物线y=–x2+1 的顶点为P，点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的
平行线交二次函数图像于点B，分别过点B，A 作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，连接PA，PD,PD 交AB
于点E，△PAD 与△PEA 相似吗？（ ）
A. 始终相似 B. 始终不相似
C. 只有AB=AD 时相似 D. 无法确定
8. ( 3 分 ) 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B 分别在x 轴上和函数y=x 的图象上，AB＝4，
CB AB
⊥
，BC＝2，则OC 的最大值为（ ）
A. 2 √2 ＋2 B. 2 √2 ＋4 C. 2 √5 D. 2 √5 ＋2
9. ( 3 分 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB =3 ， AD = 4 ， CE 平分
，与对角线 BD 相交于
点 N ， F 是线段 CE 的中点，则下列结论中：① OF = 5
6
；② ON = 25
26
；③ S
CON
螖
= 15
13
；④
，正确的有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. ( 3 分 ) 在正方形ABCD 中，E、F 分别为BC、CD 边上的两个动点，∠EAF＝45°，下列几个结论中：
①EF＝BE＋DF；②MN2＝BM2＋DN2；③FA 平分∠DFE；④连接MF，则△AMF 为等腰直角三角形；
⑤∠AMN＝∠AFE. 其中一定成立的结论有（ ）
A. 2 个 B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
二、填空题
11. ( 4 分 ) 如图，一次函数 y = 4
3 x +b 的图象与y 轴交于点 B(0,3) ，与反比例函数 y = k
x ( x<0) 的
图象交于点 D(m,n) ．以 BD 为对角线作矩形 ABCD ，使顶点 A ， C 落在 x 轴上（点 A 在点
C 的右边）， BD 与 AC 交于点 E ．则 k = ________．
12. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC= ACB
∠
，AD=4，BD=5,则边AC 的长为
________．
13. ( 4 分 ) 如图，在△ABC 中，D、E 分别是AB、BC 上的点，且DE AC
∥
，若S
BDE
△
：S
CDE
△
＝1：
4，则S
BDE
△
：S
ACD
△
＝________.
14. ( 4 分 ) 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 (1,3) ，点 B 的坐标为 (3,1) ，在第三象限内作与
位似的
，点 A 的对应点为点 C ，
与
的位似比为 1:3 ，则点 C 的
坐标为________．
15. ( 4 分 ) 如图，在
中， AC = BC =5 ， AB =6 ，点D 为AC 上一点，作 DE // AB 交BC
于点E ， 点C 关于DE 的对称点为点O ， 以OA 为半径作⊙O 恰好经过点C ， 并交直线DE 于点
M ， N 则MN 的值为________．
16. ( 4 分 ) 如图，在Rt
ACB
△
中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N 是斜边AB 上方一点，连接BN，
点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN，交AB 于点E，连接DN，交AB 于点F，当△ANF 为直角三角形时，
线段AE 的长为________．
17. ( 4 分 ) 如图，Rt
ABC
△
中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝16，点D 在边BC 上，点E 在边AB 上，沿DE
将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，连接AD ， 点P 是线段AD 上一动点，当半径为5 的⊙P 与△ABC
的一边相切时，AP 的长为________．
18. ( 4 分 ) 在Rt
ABC
△
中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P 为边AC 上一点，且AP＝5cm．点Q
为边AB 上的任意一点（不与点A，B 重合），若点A 关于直线PQ 的对称点A'恰好落在△ABC 的边上，
则AQ 的长为________cm．
三、解答题
19. ( 5 分 ) 如图,小丽在观察某建筑物AB．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影,画出建筑物AB 在阳光下的投影．
（2）已知小丽的身高为1.65m,在同一时刻测得小丽和建筑物AB 的投影长分别为1.2m 和8m,求建筑物AB
的高．
20. ( 11 分 ) 如图
，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，
，垂足为点E，
，垂足为点F.
（1）发现问题：在图
中， AG
BE
的值为________.
（2）探究问题：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转
角
，如图
所示，探究线
段AG 与BE 之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF 在旋转过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，如图
所示，延长CG
交AD 于点H；若 AG =6 ， GH =2√2 ，直接写出BC 的长度.
21. ( 10 分 ) 如图，在△ABC 中，AB=AC，点E 在边BC 上移动（点E 不与点B，C 重合），满足
∠DEF= B
∠，且点D．F 分别在边AB、AC 上．
（1）求证：△BDE
CEF
∽△
；
（2）当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC．
22. ( 5 分 ) 如图，△ABC 中，
， AB =2 AC ．点P 在△ABC 内，且
，求△ABC 的面积．
23. ( 5 分 ) 附加题：
如图，在
中， AB = AC ，
，垂足为 D ， E 、 G 分别为 AD 、 AC 的中点，
，垂足为 F ，求证： FG= DG ．
四、综合题
24. ( 12 分 ) 抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点为E，EF x
⊥轴于F 点，M（m，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若
∠MNC＝90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．
（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O 重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q
（点P 在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H，当k 发生改变时，请说明直线QH 过定点，并求
定点坐标．
25. ( 10 分 ) 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D 从点C 出发，以2cm/s 的速度
沿折线C→A→B 向点B 运动，同时点E 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，设点E 运动的
时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.
（1）当△BDE 是直角三角形时，求t 的值；
（2）若四边形CDEF 是以CD、DE 为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S 关于t 的函数关系
式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF 为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
