专题10指数及指数函数压轴题（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高一上学期（人教A版必修第一册）

专题10
指数及指数函数压轴题（学生版）
1.根式的运算性质
(1)当n 为奇数时，

n
n
a
；当n 为偶数时，

n
n
a
=
(2)负数的偶次方根_____
___．
(3)零的任何次方根__________．
2.分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂，
m
n
a
＝_______ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
(2)正数的负分数指数幂，
m
n
a

＝______＝
m
n
a
1
(a>0，m，n∈N*，n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于_
_，0 的负分数指数幂没有意义．
3.指数幂的运算性质
(1)(ab)r＝______ (a>0，b>0，r∈R)．(2)(ar)s＝___
__ (a>0，r，s∈R)．
(3)aras＝______ _ (a>0，r，s∈R)．
4.指数函数及其性质
1

a
1
0

a
图象
定义域
___
值域
性质
过定点_______，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，______；
当x<0 时，_______
当x<0 时，_____；
当x>0 时，______
在(－∞，＋∞)上是_______
在(－∞，＋∞)上是______
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题型一指数幂的计算
例1.(1)下列结论中，正确的是（
）
A．设
0,
a 
则
4
3
3
4
a
a
a


B．若
8
2
m 
，则m 
8 2

C．若
1
3
a
a 


，则
1
1
2
2
5
a
a



D．

4
4 2
2





(2).计算：
（1）
2
2
0.75
3
1
(0.25)
8
(
)
16




；
（2）
3
3
2
1
3
2
4 16
1
8
100
81
4


















．
(3)


1
0
2
0.5
2
1
1
2
2
0.01
2
4

















；
(4)
2
0.5
3
2
0
7
10
37
2
0.1
2
3π
9
27
48


















；
练习题
（1）①计算





2
4
2
2
3
0
3
3
3
0.12
3
3 3
1
2
2
8



















②化简：
1
2
1
1
2
1
3
3
2
6
5
a
b
a
b
a b













.
(2).设
4
( )
4
2
x
x
f x 

，若0
1
a

，试求:
(1) ( )
(1
)
f a
f
a


的值；
(2)
1
2
3
1000
(
)
(
)
(
)
(
)
1001
1001
1001
1001
f
f
f
f



的值.
题型二指数函数的性质与应用
例2(1).已知
4
3
2021
1
2021
1
a


，
5
4
2021
1
2021
1
b


，则a 与b 之间的大小关系是（
）
(2)．设
1
2
,
R
x x 
，函数

f
x 满足


1
2
1
x
f x
f x



，若



1
2
1
f x
f x

，则


1
2
+
f x
x
的最小值为
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A．4
5
B．2
C．4
D．1
4
(3).已知定义在R 上的函数

f
x 满足



0
f
x
f x



，


1
y
f
x


的图像关于y 轴对称．当


0,1
x
时，
对任意


0,1
k 
，

f
x 满足



1
1
k
f kx
f x





，且

1
1
2
f

，则
9
2
f 







（
）
A．
2
1
2

B．
2
1
2

C．
2
1
2

D．
2
1
2

(4)已知
2
0
1
( )
2 (
1) 1,
1
x
x
f x
f x
x








f ，若
( )
2022(
)
f n
n
N


，则n 的最大值为（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
(5).已知
2
2
1
( )
2
, ( )
e
1
x
f x
x
x
m g x






，若对


1
2
1 3
0,3 ,
,
2 2
x
x








，使得



1
2
f x
g x

，则实数m 的取
值范围是（
）
A．
2
2,e
4





B．
2
1,e
5





C．
2
2,e
5





D．
2
1,e
4





(6).已知函数

2
2
x
x
f x
m




是R 上的偶函数.
（1）求常数m 的值；
（2）若

5
2
f x 
，求x 的值；
（3）求证：对任意
1
2
,
x x
R

，都有



1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f









.
(7).已知函数

3
3
1
x
x
b
f x



是奇函数．
(1)求b 的值；
(2)证明

f
x 在R 上为减函数；
(3)若不等式



2
2
2
3
6
0
f t
t
f
t




成立，求实数t 的取值范围．
练习题
(1).已知函数

f
x 是R 上的偶函数，且

f
x 的图象关于点

1,0 对称，当


0,1
x
时，

2
2x
f
x 

，则




1
2
...
2023
f
f
f


的值为（
）
A．2

B．1
C．1

D．2
(2).已知函数

e
e
e
e
x
x
x
x
f x
a






，存在实数
1
2
,
,
,
n
x x
x

使得








1
2
1
n
n
f
x
f
x
f
x
f
x






成立，若正整
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数n 的最大值为6，则a 的取值范围为（
）
A．3 5
,
2 3





B．
3
7
,
2
5








C．7 3
3
7
,
,
5 2
2
5














D．3 5
5
3
,
,
2 3
3
2














(3).设,a bR ，4
6
2
b
a
a


，5
6
2
a
b
b


，则（
）
A．1
a
b


B．0
b
a


C．
0
b
a


D．
1
b
a


(4).已知函数

1
1
1
3
2
4
f x
x
x
x






图像与函数
2
2
2
2
1
x
x
g x




图像的交点为
1
1
( ,
)
x y
，
2
2
(
,
)
x
y
，…，(
,
)
m
m
x
y
，
则
1
(
)
m
i
i
i
x
y




（
）
A．20
B．15
C．10
D．5
(5).已知函数
4
3
( )
2
1
x
x
f x



，函数
2
( ) |
|
1
g x
x
a
x



．
(1)若
[2,
)
x 
，求函数
( )
f x 的最小值；
(2)若对
1
[ 1,1]
x


，都存在
2
[2,
)
x 
，使得




2
1
f
x
g x

，求a 的取值范围．
类型三
能力提升创新题
1.设x
R

，
x 表示不超过x 的最大整数，若存在实数t ，使得
1
t ，
2
2
t



，…，
nt
n




同时成立，则
正整数n的最大值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2.已知函数

2
f x
x

，
1
2
x
g x
m








．若


1
1,2
x


，


2
3,1
x


，使得



1
2
f x
g x

成立，则实数m
的取值范围为（
）
A．
1
9
4
8
2
2















，
，
B．
1
9
4
8
2
2















，
，
C．1 ,4
2






9 ,8
2






D．1
9
4
8
2
2












，
，
3.已知函数

y
F x

的定义域为D ，t 为大于0 的常数，对任意x
D

，都满足





2
F x
t
F x
t
F x




，
则称函数

y
F x

在D 上具有“性质A ”．
(1)试判断函数
2x
y 
和函数
2
y
x

是否具有“性质A ”（无需证明）；
(2)若函数

y
f x

具有“性质A ”，且

1
0
2
f
f 





，求证：对任意nN ，都有



1
f n
f n


；
(3)若函数

y
g x

的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
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①若

y
g x

在区间

,0


上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；
②若

y
g x

在区间

,0


上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．
4.若函数

y
f x

对定义域内的每一个值
1
x ，在其定义域内都存在唯一的
2
x ，使


1
2
4
f x
f x

成立，则称
该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数
2sin
g x
x

是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数

2x
f x 
在定义域

,
(
0)
m n m 
上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；
(3)已知函数


2
(
)
3
h x
x
a
a



在定义域

3,4 上为“依赖函数”，若存在实数：


3,4
x
，使得对任意的
R
t 
，不等式


2
4
h x
t
s
t x




都成立，求实数s 的最大值.
5.若函数
( )
f x 满足：对于任意正数s、t，都有
( )
0
f s 
，
( )
0
f t 
，
( )
( )
(
)
f s
f t
f s
t



，则称函数
( )
f x 为“L
函数”．
(1)试判断函数
2
( )
h x
x

是否是“L 函数”；
(2)若函数


( )
2
1
2
1
x
x
g x
a




为“L 函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
( )
f x 为“L 函数”，且
(1)
1
f
，求证：对任意



1
2
,2
N
k
k
x
k




，都有
( )
2
x
f x 
．
1．已知对任意正数a、b、c，当
1
a
b
c


时，都有2
2
2
a
b
c
m



成立，则实数m 的取值范围是（
）．
A．
3
[3 2,
)

B．
3
(3 2,
)

C．[4,
)

D．(4,
)

2．设实数a ，b 满足1001
1010
2023
a
b
a


，1014
1016
2024
a
b
b


，则a ，b 的大小关系为（
）
A．a
b

B．a
b

C．a
b

D．无法比较
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR ，用
x 表示
不超过x 的最大整数，则

y
x

称为高斯函数.例如：


3.6
4, 3.6
3







.已知函数

1
e
2
1 e
x
x
f x 

，则函
数



y
f x
f
x










的值域是（
）
A．

1,0

B．
0
C．

0,1
D．

1,0,1

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4．已知函数

1
1
2e
e
1
x
x
f x




的图像与过点

1,1

的直线有3 个不同的交点

1
1
,
x
y
，

2
2
,
x
y
，

3
3
,
x
y
，则




2
2
1
2
3
1
2
3
x
x
x
y
y
y





（
）
A．8
B．10
C．13
D．18
5．已知函数

1
1
,0
2
2 (
2),
2
x
x
f x
f x
x







，其中
R
a 
，给出以下关于函数

f
x 的结论：
①
9
2
2
f 





②当


0,8
x
时，函数

f
x 值域为

0,8 ③当
4 ,1
5
k






时方程

f x
kx

恰有四个实根④当


0,8
x
时，若

2
2
x
f x
a

≤
恒成立，则
1
2
a 
．其中正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知函数

1
x
x
e
m
f x
e



，若对任意
1
x 、
2
x 、
3x
R

，总有

1
f x
、

2
f x
、

3
f
x
为某一个三角形的边长，
则实数m 的取值范围是
A．1 ,1
2






B．

0,1
C．

1,2
D．1 ,2
2






7.(多选题）已知函数
( )
(
1),
( )
( )
(
)
x
f x
a
a
g x
f x
f
x





，若
1
2
x
x

，则（
）
A．




1
2
1
2
f x
f x
f x
x


B．






1
2
1
2
f
x
f
x
f
x x


C．






1
1
2
2
1
2
2
1
x g x
x g x
x g x
x g x



D．



1
2
1
2
2
2
g x
g x
x
x
g








8．已知函数
2
2
2
( )
1
3
1
x
x
f x
x




，若
1 ,4
2
m







，使得不等式
2
(4
)
(
3 )
2
f
ma
f m
m




成立，则实数a 的
取值范围是
.
9．已知函数
1
( )
1
e
1
x
f x 
，若不等式
2
(
)
1
2
x
f ax
f
x










对
(1,2)
x

恒成立，则实数a 的取值范围
是
．
10．已知函数

2
2
x
x
f x
a




（a 为常数，
R
a 
）．
(1)讨论函数

f
x 的奇偶性，并说明理由；
(2)当

f
x 为偶函数时，若对任意的


2,0
x
，不等式



2
2
0
f
x
mf
x

≥
恒成立，求实数m 的取值范
围．
11．我们知道，函数

y
f x

图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y
f x

为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数

y
f x

的图像关于点


,
P m n 成中心对称图形的充要条件是函数
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

y
f x
m
n



为奇函数．已知函数
4
( )
4
2
x
f x 

．
(1)利用上述结论，证明：函数

f
x 的图像关于
1 ,1
2





成中心对称图形；
(2)判断函数

f
x 的单调性（无需证明），并解关于x 的不等式：


2
1
2
f
x
ax
a
f
x





．
12．定义：若对定义域内任意x ，都有



f x
a
f x


（a 为正常数），则称函数

f
x 为“ a 距”增函数.
(1)若

2 ,
R
x
f x
x


，试判断

f
x 是否为“1 距”增函数，并说明理由；
(2)若

3
4,
R
f x
x
x
x




是“ a 距”增函数，求a 的取值范围；
(3)若



2
2
,
1,
x
k x
f x
x




，其中
R
k 
，且为“2 距”增函数，求

f
x 的最小值.
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