专题1.2 集合（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
元素与集合的关系】...................................................................................................................................1
【题型2
集合中元素的个数问题】...........................................................................................................................3
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】...........................................................................................................4
【题型4
判断集合间的关系】...................................................................................................................................5
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】...........................................................................................................6
【题型6
集合的交、并、补集运算】.......................................................................................................................8
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】...............................................................................................................9
【题型8
集合中的新定义问题】.............................................................................................................................10
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
元素与集合的关系】
1．（2026·陕西汉中·二模）已知集合�= 2�+
3��∈�, �∈�，则（
）
A．3 ∉�
B．−2 + 5 3 ∉�
C．4 ∈�
D．−1 + 2 3 ∈�
【答案】C
【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.
【解答过程】因为�= 2�+
3��∈�, �∈�，
设3 = 2�+
3�,则：有理数部分：0 = 2�⇒�= 0，无理数部分:
3 =
3�⇒�= 1，
�= 0 ∈�, �= 1 ∈�,符合条件，所以3 ∈�，故A 错误；
设−2 + 5 3 = 2�+
3�,则有理数部分: −2 = 2�⇒�=−1，无理数部分:5 3 =
3�⇒�= 5，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
�=−1 ∈�, �= 5 ∈�,符合条件，故−2 + 5 3 ∈�，故B 错误；
设4 = 2�+
3�,则：有理数部分: 4 = 2�⇒�= 2，无理数部分：0 =
3�⇒�= 0 ∈�，故4 ∈�,故C
正确；
设−1 + 2 3 = 2�+
3�,则有理数部分：−1 = 2�⇒�=−0.5 (非整数，矛盾)，故−1 + 2 3 ∉�，故D
错误．
故选：C.
2．（25-26 高一上·江西赣州·阶段检测）若集合�= ��2 + �−6 = 0 ，则下列关系正确的是（
）
A．−3 ∉�
B．2 ∉�
C．−3 ∈�
D．−2 ∈�
【答案】C
【解题思路】解方程求得集合�，由此确定正确答案.
【解答过程】由�2 + �−6 = 0 得(�+ 3)(�−2) = 0，解得�=−3 或�= 2，
故�= −3,2 ，故−3 ∈�，2 ∈�，−2 ∉�.
故选：C.
3．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合�= {�∈�|�−�> 0}，若3 ∈�且1 ∉�，则�的取值范
围为（
）
A．�< 3
B．�≥1
C．1 < �≤3
D．1 ≤�< 3
【答案】D
【解题思路】根据集合中的元素进行求解.
【解答过程】因为�= {�∈�|�−�> 0} = {�∈�|�> �}，
又3 ∈�且1 ∉�，则1 ≤�< 3，
故选：D.
4．（2025·河南·一模）已知集合�= �∣3��−2 ≤0 ，若1 ∈�且2 ∉�，则（
）
A．
1
3 < �<
2
3
B．�< 0
C．
1
3 < �≤
2
3
D．�>
2
3
【答案】C
【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【解答过程】由题可知1 ∈�且2 ∉�⇔3�−2 ≤0,
6�−2 > 0,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
解得
1
3 < �≤
2
3.
故选：C.
【题型2
集合中元素的个数问题】
5．（2026·新疆喀什·二模）已知集合�= {1,2}，�= {2,4}，则�= {��∣�∈�, �∈�}的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出集合�即可.
【解答过程】集合�= {1,2}, �= {2,4}，则�= {��∣�∈�, �∈�} = {2,4,8}，
所以集合C 的元素个数为3 个.
故选：C.
6．（2025·四川内江·一模）已知集合�= 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，�= 1,3,5 ，则集合∁U�的元素个数为（
）
A．0
B．3
C．6
D．8
【答案】C
【解题思路】根据补集的含义即可得到答案.
【解答过程】∁U�= 2,4,6,7,8,9 ，则集合∁U�的元素个数为6.
故选：C.
7．（25-26 高一上·江西九江·阶段检测）集合�= �|1 < �< �, �∈�，若集合�中恰有5 个元素，则（
）
A．6 < �< 7
B．6 ≤�< 7
C．6 < �≤7
D．6 ≤�≤7
【答案】C
【解题思路】根据集合�的元素可求得�的范围.
【解答过程】若集合�= �|1 < �< �, �∈�中恰有5 个元素，则�= 2,3,4,5,6 ，
所以6 < �≤7.
故选：C.
8．（2025·浙江丽水·一模）已知集合�= {�∣−2 ≤�< 1}, �= �, 3 ，且�∩�的元素个数是一个，则实数
�的取值范围是（
）
A．( −2,1)
B．[ −2,1]
C．[ −2,1)
D．( −2,1]
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】由�∩�的元素个数是一个，且3 ∉�，得�∈�，则−2 ≤�< 1，
所以实数�的取值范围是[ −2,1).
故选：C.
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】
9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合�= 0,2 ，�= −1,1,2 ，�= ���∈�, �∈�，则集合C 的子
集有（
）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【答案】C
【解题思路】根据题意，求得集合�= 0, −2,2,4 ，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【解答过程】由集合�= 0,2 ，�= −1,1,2 ，且�= ���∈�, �∈�，
因为�∈�，�∈�，可得集合�= 0, −2,2,4 ，所以集合�的子集有24 = 16 个.
故选：C.
10．（2025·四川绵阳·模拟预测）集合0，1，2 的子集有（
）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】D
【解题思路】有�个元素的集合，子集个数为2�.
【解答过程】集合{0,1,2}含有3 个元素，故子集个数为23 = 8，
故选：D.
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合�= 1,2 ，�= 1,2,3,4 ，则满足条件�⊆�⊆�的集合C 的个数
为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，列举出集合C 的可能情况即可.
【解答过程】依题意，集合�可以为：{1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4}，
所以集合C 的个数为4.
故选：D.
12．（2025·辽宁·三模）已知集合�= (�, �) �=
1
2 −�
, �= (�, �) �2 =−2�，则�∩�的子集个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】C
【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合�∩�中的元素个数，进而的集合�∩�的子集的个数，得到
答案.
【解答过程】根据题意，联立方程组�=
1
2 −�
�2 =−2�
，可得�2 −2�+ 1 = 0，
所以(�−1)2 = 0，解得�= 1, �=−
1
2，即集合�∩�=
1, −
1
2
，
所以集合�∩�的子集个数为2 个．
故选：C．
【题型4
判断集合间的关系】
13．（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合�= ��=
�
2 +
1
4 , �∈�, �= ��=
�
4 +
1
2 , �∈�，则（
）
A．�∩�= ∅
B．�= �
C．�⫋�
D．�⫋�
【答案】C
【解题思路】由集合�= {�|�=
2�−1
4
+
1
2 , �∈�}，即可判断集合间的关系.
【解答过程】由�= ��=
�
2 +
1
4 , �∈�= {�|�=
2�−1
4
+
1
2 , �∈�}，显然2�−1 为奇数，
而�= ��=
�
4 +
1
2 , �∈�，所以�⫋�.
故选：C.
14．（25-26 高一上·天津河北·阶段检测）已知集合�= {�|�= 2�+ 1, �∈�}，集合�= {�|�= �+ 2, �∈�}，
则（
）
A．�⊆�
B．�= �
C．�⊇�
D．�与�没有包含关系
【答案】A
【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解.
【解答过程】由�= 2�+ 1 = 2�−1 + 2，因为�∈�, 2�−1 ∈�，所以�⊆�，
又4 ∈�, 4 = 2�+ 1 ⇒�=
3
2 ∉�，所以�⊆�，
故选：A.
15．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合�= { −1,0,2}，�= {�|�2 = 1}，则（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．0 ∈�
B．0 ∈�
C．−1 ⊆�
D．�⊆�
【答案】C
【解题思路】先计算集合�，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项.
【解答过程】因为�2 = 1，所以�=± 1，可知�= −1,1
对于A，0 是集合不是集合�的元素，故0 ∈�错误，A 错误；
对于B，0 ∉�，B 错误；
对于C，−1 ⊆�，C 正确；
对于D，因为1 ∈�, 1 ∉�，不满足�⊆�，D 错误；
故选：C.
16．
（25-26 高一上·山东济宁·阶段检测）若集合�= �|�= �+
1
6 , �∈Z ,�= �|�=
�
2 −
1
3 ,�∈Z , �= �|�=
�
2 +
1
6 , �∈Z ，则A，B，C 之间的关系是（
）
A．�= �= �
B．�⊆�= �
C．�= �⊆�
D．�⊆�= �
【答案】B
【解题思路】分别将集合表示为��=
6�+1
6
, �∈Z ，�|�=
3�+1
6 , �∈Z 和�|�=
3�+1
6
, �∈Z 即可得结果.
【解答过程】∵�= �|�= �+
1
6 , �∈Z = ��=
6�+1
6
, �∈Z ，
�= �|�=
�
2 −
1
3 , �∈Z = �|�=
3�−2
6
, �∈Z = �|�=
3�+1
6 , �∈Z ，
�= �|�= �
2 + 1
6 , �∈Z = �|�= 3�+ 1
6
, �∈Z
显然�⊆�= �，
故选：B.
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】
17．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合�= { −2,0,1}，�= {�4 −��> 0}，若�⊆�，则a 的取值范围
是（
）
A．( −2, + ∞)
B．( −∞, 4)
C．( −∞, −2) ∪(4, + ∞)
D．( −2,4)
【答案】D
【解题思路】根据集合的包含关系直接得到答案.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】因为�⊆�，所以4 + 2�> 0,
4 −�> 0, 解得−2 < �< 4，
即a 的取值范围是( −2,4).
故选：D.
18．（2026·陕西铜川·三模）已知集合�= ��< �，�= �−2 < �< 3 ，若�⊇�，则实数�的取值范
围为（
）
A．−∞, −2
B．−∞, −2
C．3, + ∞
D．3, + ∞
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解.
【解答过程】集合�= ��< �，�= �−2 < �< 3 ，由�⊇�，得�≥3，
所以实数�的取值范围为3, + ∞.
故选：C.
19．（2025·陕西西安·一模）已知�∈�，�∈�，若集合�,
�
�, 1 = �2, �+ �, 0 ，则�2025 + �2025 =（
）
A．0
B．1
C．−1
D．1 或-1
【答案】C
【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为0 可求出�，再利用集合相等和互异性求�，代入计算�2025 +
�2025即可.
【解答过程】因为0 ∈�,
�
�, 1 ，�≠0，所以
�
�= 0，故�= 0，
此时集合为�, 0,1 = �2, �, 0 ，根据集合相等，必有�2 = 1，解得�= 1 或�=−1．
当�= 1 时，不满足集合元素的互异性，
当�=−1 时，集合为{ −1,0,1}，符合条件.
所以�2025 + �2025 = −1 2025 + 02025 =−1．
故选：C.
20．（2025·山西·三模）已知集合�= �∣0 ≤�≤3 ，�= �∣�−1 ≤�≤�+ 1 ，且�⊆�，则�的取值范
围是（
）
A．1,2
B．−∞, 1 ∪2, + ∞
C．1,2
D．2, + ∞
【答案】A
【解题思路】根据�⊆�，由此列出满足题意的不等式组，求解出m 的取值范围.
【解答过程】因为�⊆�，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以�−1 ≥0
�+ 1 ≤3 ，解得1 ≤�≤2．
所以�的取值范围是1,2 ．
故选：A.
【题型6
集合的交、并、补集运算】
21．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合�= �∈�|�2 < 9 , �= −2, −1,1,2,3 ，则�∩�=（
）
A．1,2
B．0,1,2
C．1,2,3
D．0,1,2,3
【答案】A
【解题思路】先求得集合�= 0,1,2 ，结合集合交集的定义与运算，即可求解.
【解答过程】由不等式�2 < 9，可得−3 < �< 3，所以�= 0,1,2 ，
又由集合�= −2, −1,1,2,3 ，所以�∩�= 1,2 .
故选：A.
22．（25-26 高三上·陕西西安·阶段检测）已知集合�= �|7 −�> 2 ，�= �|�< 3 ，则�∪�=（
）
A．�|�< 3
B．�|�< 5
C．{�|�< 3 或�> 5}
D．�| −5 < �< 3
【答案】B
【解题思路】解不等式化简集合A，然后利用并集运算求解即可.
【解答过程】集合�= �|7 −�> 2
= {�|�< 5}，又�= �|�< 3 ，所以�∪�= {�|�< 5}.
故选：B.
23．（2025·陕西·模拟预测）已知全集�= 1,7 ，集合�= 3,7 ，则∁��=（
）
A．1,3
B．1,3
C．1,3
D．1,7
【答案】B
【解题思路】根据补集的概念进行求解.
【解答过程】因为�= 1,7 ，�= 3,7 ，所以∁��= 1,3 ．
故选：B.
24．（2025·青海·模拟预测）已知全集�= 1,2,3,4,5 ，集合�= 1,2,5 ，集合�= 2,3,5 ，则∁�(�∩�) =
（
）
A．4
B．2,5
C．1,3,4
D．1,2,3,5
【答案】C
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】根据交集的定义以及补集的定义即可求解.
【解答过程】由题可知�∩�= 2,5 ，所以∁U(�∩�) = 1,3,4 ．
故选：C.
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】
25．（2025·山东威海·三模）已知集合�= {1,2,
�}, �= {1, �}，若�∩�= �，则�=（
）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
【答案】B
【解题思路】由�∩�= �得集合�，�之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解.
【解答过程】由�∩�= �，得�⊆�，
因为�= 1, �，所以�≠1，
因为集合�= 1,2,
�，
所以�= 2 或�=
�，解得�= 2 或�= 0（�= 1 不合题意舍去），
所以�= 0 或2.
故选：B.
26．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合�= {(�, �)∣�= 2��}, �= {(�, �)∣�= ��−�}, �∩�= {(1,2)}，则
�=（
）
A．2
B．
1
2
C．1
D．−1
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果列式计算即得.
【解答过程】由集合�= {(�, �)∣�= 2��}, �= {(�, �)∣�= ��−�}, �∩�= {(1,2)}，得
2 = 2�⋅1
2 = �⋅1 −�，
解得�= 1, �=−1，所以�=−1.
故选：D.
27．（2025·陕西西安·二模）已知集合�= �∣�2 + ��= 0 ，�= 1 .若�∪�= 0,1 ，则�=（
）
A．0
B．1
C．−1
D．0 或−1
【答案】D
【解题思路】解方程求出集合�，根据�∪�即可确定参数�的值.
【解答过程】由�2 + ��= 0 可得�= 0 或�=−�，
则当�≠0 时，�= {0, −�}；当�= 0 时，�= {0}；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因�= 1 ，且�∪�= 0,1 ，
则�= 0 或�=−1.
故选：D.
28．（2025·全国·模拟预测）已知集合�= 1, �，�= −1, �2 ，若�∩�= �，则实数�的取值集合为（
）
A．0
B．−1,0
C．0,1
D．−1,0,1
【答案】A
【解题思路】根据集合中元素的特性及交集运算求解即可.
【解答过程】由�∩�= �，得�=−1 或�= �2，
解得�=−1，�= 0 或�= 1.
当�=−1 时，�= �，不符合题意；
当�= 1 时，�= 1 ，这与集合�中有两元素相矛盾，不符合题意；
经检验�= 0 符合题意.
故选：A.
【题型8
集合中的新定义问题】
29．（2025·全国·模拟预测）定义集合运算：�⊕�=
�, �
�
2 ∈�,
2
�∈�.若集合�= �= �∈N 1 < �< 4 ，
�=
�, �
�=−
1
6 �+
5
3 ，则�⊕�∩�=（
）
A．∅
B．
4,1
C．
1,
2
3
D．
4,1 , 6,
2
3
【答案】D
【解题思路】求出�, �后可求得�⊕�∩�=
4,1 , 6,
2
3
，故可得正确的选项
【解答过程】由题设可得�= �= 2,3 ，�⊕�=
4,1 , 4,
2
3 , 6,1 , 6,
2
3
，
因为1 =−
1
6 × 4 +
5
3，
2
3 ≠−
1
6 × 4 +
5
3，1 ≠−
1
6 × 6 +
5
3，
2
3 =−
1
6 × 6 +
5
3，
故�⊕�∩�=
4,1 , 6,
2
3
，
故选：D.
30．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合�⊗�为阴影部分表
示的集合.若集合�= [0,2]，集合�= {�|�> 1}，则集合�⊗�=（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．{�|0 < �< 2}
B．{�|1 < �≤2}
C．{�|�≤1 或�≥2}
D．{�|0 ≤�≤1 或�> 2}
【答案】D
【解题思路】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.
【解答过程】集合�= [0,2]，集合�= {�|�> 1}，则�∪�= {�|�≥0}, �∩�= {�|1 < �≤2}，
由韦恩图得�⊗�= ∁�∪�(�∩�) = {�|0 ≤�≤1 或�> 2}.
故选：D.
31．（2025·北京·模拟预测）集合�= {1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为�1, �2, ⋯, ���∈N* .记��为集合
��(�= 1,2,3, ⋯, �)中的最大元素，则�1 + �2 + �3 + ⋯+ �10 =（
）
A．10
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【解题思路】由题列举出所有的集合A 的三元素子集，求出最大值，求和即可.
【解答过程】由题知：�1 = 1,2,3 , �1 = 3, �2 = 1,2,4 , �2 = 4,
�3 = 1,2,5 , �3 = 5, �4 = 2,3,4 , �4 = 4，�5 = 2,3,5 , �5 = 5，
�6 = 2,4,5 , �6 = 5，�7 = 3,4,5 , �7 = 5，
�8 = 1,4,5 , �8 = 5，�9 = 1,3,5 , �9 = 5，�10 = 1,3,4 , �10 = 4，
则�1 + �2 + ⋯+ �10 = 3 + 4 × 3 + 5 × 6 = 45
故选：C.
32．（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集�，�，定义�+ �= ��= �+ �, �∈�, �∈�，�÷ �= ��=
�
�, �∈
�, �∈�，若集合�= 1,2 ，则集合�+ �÷ �中所有元素之和为（
）
A．5
B．
15
2
C．
21
2
D．
23
2
【答案】D
【解题思路】根据集合的新定义求出�+ �和
�+ �÷ �，即可求出元素之和.
【解答过程】根据新定义，集合�= 1,2 ，则�+ �= 2,3,4 ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则�+ �÷ �= 1,2,3,4,
3
2
，则可知所有元素之和为
23
2 .
故选：D.
A 组
基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合�= �∈N| �−1 < 2 ，则集合�=（
）
A．1,2
B．0,1,2
C．0,1,2,3
D．−1,0,1,2,3
【答案】B
【解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.
【解答过程】集合�= �∈N| �−1 < 2 = �∈N| −1 < �< 3 = 0,1,2 .
故选：B.
2．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合�= 1,2,3,4,5 , �= �|�= 3�−2, �∈�* ，则�∩�=（
）
A．1,4
B．2,5
C．1
D．∅
【答案】A
【解题思路】应用集合的交运算求集合即可.
【解答过程】由�∩�= 1,2,3,4,5 ∩�|�= 3�−2, �∈�* = 1,4 .
故选：A.
3．（24-25 高三下·云南昆明·阶段检测）集合�= �| �≤
3, �∈Z ，则�的子集个数为（
）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【解题思路】根据�中元素的性质可得�，从而可求其子集个数.
【解答过程】因为�= �∣−
3 ≤�≤
3, �∈Z = −1,0,1 ，
故子集个数为23 = 8，
故选：C.
4．（2025·陕西榆林·一模）已知集合�= 1,2�+ 3 , �= 1, �2 ，若�= �，则实数�的值为（
）
A．−1 或3
B．0 或−1
C．3
D．−1
【答案】C
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可.
【解答过程】解：因为集合�= 1,2�+ 3 , �= 1, �2 ，�= �，
所以
�2 = 2�+ 3
2�+ 3 ≠1
�2 ≠1
，解得�= 3.
故选：C.
5．（2025·江苏·模拟预测）已知集合�= �∈R �2 = 3 ，下列式子错误的是（
）
A．3 ∈�
B．∅⊆�
C．�⊆∁��
D．−
3 ∈�
【答案】D
【解题思路】求出�= −
3,
3 可判断A；空集是任何集合的子集可判断B；结合常用集合的记法及补集的
运算可判断C；根据集合间的关系可判断D.
【解答过程】解方程�2 = 3 得�=±
3，所以�= −
3,
3 ，根据元素与集合的关系故A 正确；
空集是任何集合的子集，所以∅⊆�，故B 正确；
∁��表示无理数组成的集合，±
3均为无理数，所以�⊆∁��，故C 正确；
−
3 表示的是集合，所以−
3 ⊆�，故D 错误.
故选：D.
6．（2025·广西·模拟预测）已知集合�= �∈�|�= 3�+ 2, �∈�, �= �∈�|�= 6�−1, �∈�，则（
）
A．�= �
B．�⊆�
C．�⊆�
D．�∩�= ∅
【答案】C
【解题思路】先证明对任意�0 ∈�，则�0 ∈�，再证明2 ∈�，但2 ∉�，由此可得结论.
【解答过程】对任意�0 ∈�，存在�0 ∈�，使得�0 = 6�0 −1，
由于�0 = 6�0 −1 = 3(2�0 −1) + 2，令�′ = 2�0 −1，则�′ ∈�，所以�0 = 3�′ + 2 ∈�，故�⊆�，
又2 ∈�（当�= 0 时），但2 ∉�（由6�−1 = 2 解得�=
1
2 ∉�），所以�是�的真子集，
故选：C.
7．（2025·广东江门·模拟预测）若集合�= −1,2,3 ，�= −1, −2 ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�∩�= −2
D．�∪�= −2, −1,2,3
【答案】D
【解题思路】根据子集的概念判断AB 的真假；根据交集的概念判断C 的真假；根据并集的概念判断D 的真
假.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】对A，因为2 ∈�，但2 ∉�，所以�⊆�不成立，故A 错误；
对B，因为−2 ∈�，但−2 ∉�，所以�⊆�不成立，故B 错误；
对C，�∩�= −1 ，故C 错误；
对D，�∪�= −2, −1,2,3 ，故D 正确.
故选：D.
8．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合�、�、�是全集�的三个真子集，�、�、�的关系如Venn 图所示，则
图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．�∩�∩�
B．�∩�+ �∩�
C．�∩�+ �∩�−�∩�∩�
D．�∩∁��∪�
【答案】B
【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.
【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为�∩�∪�∩�，
即阴影部分表示集合为�∩�+ �∩�.
故选：B.
二、填空题
9．（2025·上海·模拟预测）已知集合�= 1,2,3,4,5 ，�= ��> 3 ，则�∩�=__________．
【答案】{4,5}
【解题思路】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.
【解答过程】由题意，�∩�= {4,5}.
故答案为：{4,5}.
10．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合�= {�, �}，�= 2�, 2�2 ，若�= �，则��=__________.
【答案】
1
2
【解题思路】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出�, �.
【解答过程】在�= 2�, 2�2 中，2�≠2�2，则�≠0 且�≠1，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
而�= {�, �}，�= �，显然�≠2�，因此�= 2�2
�= 2�，解得�=
1
2 , �= 1，
所以��=
1
2.
故答案为：
1
2.
11．（2025·山东潍坊·一模）已知集合�= 0,1, �+ 2 ，�= 1, �2 ，若�∪�= �，则实数�=__________．
【答案】0 或2
【解题思路】根据集合的包含关系及集合元素的互异性求参数的值.
【解答过程】因为�∪�= �，所以�⊆�.
根据集合中元素的互异性，可知�2 ≠1 ⇒�≠1 且�≠−1.
若�2 = 0 ⇒�= 0，此时�= 0,1,2 ，�= 0,1 ，满足�⊆�.
若�2 = �+ 2 ⇒�2 −�−2 = 0 ⇒
�−2
�+ 1 = 0 ⇒�= 2 或�=−1（舍去）.
此时�= 0,1,4 ，�= 0,4 ，满足�⊆�.
综上�= 0 或2.
故答案为：0 或2.
12．（2025·安徽合肥·一模）已知集合�= �∣−2 ≤�≤1 , �= {�∣�−1 ≤�< �+ 1}，若�∩�= �，则
实数�的取值范围为__________.
【答案】−1,0
【解题思路】根据集合的包含关系列不等式求解.
【解答过程】因为�∩�= �，故�⊆�，
因为�+ 1 > �−1 恒成立，所以�≠∅，
所以�−1 ≥−2
�+ 1 ≤1 ，即−1 ≤�≤0.
故答案为：−1,0 .
B 组
培优提升练
一、单选题
1．（25-26 高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）已知�∈R，�∈R，若集合�,
�
�,1 = �2,�+ �,0 ，则�2026 + �2025
的值为（
）
A．−2
B．1
C．−1
D．2
【答案】B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】由集合相等，确定�= 0，进而确定�2 = 1，再结合元素互异性即可求解.
【解答过程】由�,
�
�,1 = �2,�+ �,0 ，
可得�≠0,
�
�= 0，
所以�= 0，即�,0,1 = �2,�,0 ，
所以�2 = 1 ⇒�=± 1，
当�= 1 时，不符合元素互异性，舍去；
当�=−1 时，符合题意，
所以�2026 + �2025 = 1.
故选：B.
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集�= �∈��≤3 ，�= 1,2 ，�= 1,3 ，则集合∁��∩�的真
子集个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数.
【解答过程】�= 0,1,2,3 ，�∩�= 1 ，∁��∩�= 0,2,3 ，
则集合∁��∩�的真子集个数为7 个.
故选：C.
3．（25-26 高三上·北京东城·期中）全集U = R，集合A = �1 < �≤3 ，B = �2 ≤�< 4 ，图中阴影部
分表示集合为（）
A．�1 < �< 4
B．�2 ≤�< 3
C．��< 1 或�> 4
D．��≤1 或�≥4
【答案】D
【解题思路】由Venn 图可知，阴影部分表示集合∁R �∪�，进而可求解.
【解答过程】由Venn 图可知，阴影部分表示集合∁R �∪�，
由A = �1 < �≤3 ，B = �2 ≤�< 4 ，
得�∪�= �1 < �< 4 ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以∁R �∪�= ��≤1 或�≥4 ，
故选：D.
4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研
学参观、AI 技术培训3 类拓展课程．高三某班学生共有32 人报名参加拓展课程，其中有10 人报名参加劳
动实践，有18 人报名参加研学参观，有14 人报名参加AI 技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的
有4 人，同时报名参加研学参观和AI 技术培训的有5 人，只参加AI 技术培训的人数为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解题思路】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为�、只参加劳动实
践和AI 培训的人数为�，根据总人数列方程化简得�= 1，再结合AI 培训的总人数，算出只参加AI 培训的
人数．
【解答过程】设3 类课程全参加的有�人，同时只参加劳动实践和AI 技术培训的有�人，
列出韦恩图，则6 −�+ 4 −�+ �+ �+ 9 + �+ 5 −�+ 9 −�= 32，
可得�= 1，则只参加AI 技术培训的人数为9 −�= 8 人．
故选：C.
5．（24-25 高一上·重庆·阶段检测）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到
大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9 的“交替和”是9 −6 + 4 = 7；而5 的交
替和是5，则集合�= �∈Z∣−5 ≤�≤4 的所有非空子集的“交替和”的总和为（
）
A．2048
B．2024
C．1024
D．512
【答案】A
【解题思路】将集合�的子集两两配对�, �：使4 ∈�, 4 ∉�且�∪4 = �，从而有集合�与集合�的交替和
之和为4，再利用符合条件的集合对有29个，即可求解.
【解答过程】由题知�= −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4 ，
将集合�的子集两两配对�, �：使4 ∈�, 4 ∉�且�∪4 = �，则符合条件的集合对有29个，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
又由题设定义有集合�与集合�的交替和之和为4，
所以交替和的总和为4 × 29 = 211 = 2048.
故选：A.
6．（25-26 高一上·江苏无锡·期中）设�是实数集�的一个非空子集，如果对于任意的�, �∈�（�与�可以相
等，也可以不相等），�+ �∈�且�−�∈�，则称�是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（
）
①存在一个集合�，它既是“和谐集”，又是有限集；
②集合��= �3 , �∈�是“和谐集”；
③若�1，�2都是“和谐集”，则�1 ∩�2 ≠∅；
④对任意两个不同的“和谐集”�1，�2，总有�1 ∪�2 = �.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，
利用举例可证明③④.
【解答过程】对于①，存在�= 0 ，满足有限集，也满足和谐集，故①正确；
对于②，当�= {�∣�= �3, �∈�}时，
对于�=
3�1, �1 ∈Z, �=
3�2, �2 ∈Z，
总有�+ �=
3 �1 + �2 , �1 + �2 ∈Z, �−�=
3 �1 −�2 , �1 −�2 ∈Z,
所以�+ �∈�且�−�∈�，即满足“和谐集”，故②正确；
对于③，若�1, �2都是“和谐集”，
则当�= �时，由�−�= 0 可知，“和谐集”中必有元素0，即�1 ∩�2 ≠∅，故③正确；
对于④，存在“和谐集”�1 = {�∣�= �3, �∈�}, �2 = 0 ，此时�1 ∪�2 ≠�，故④错误；
故选：C.
二、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合�= 1,2, ⋯, �，�∈�∗，�、�是�的非空子集.记集合�+ �=
�+ �
除以�的余数�∈�, �∈�.若正整数�满足：存在非空集合�、�，使得�+ �两两的交集为空集，且�∪�∪
�+ �= 0,1,2, ⋯, �−1 ，则称�为“好的”.
(1)设�= 1 ，�= 2,4 ，当�= 5 时，求�+ �，并直接判断�= 5 是否为“好的”；
(2)证明：�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】(1)�+ �= 0,3 ，�= 5 是“好的”
(2)证明见解析
(3)除1、2、4 外的正整数
【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合�+ �，并由此作出判断；
（2）当�= 8 时，取集合�= 1,2 ，�= 3,6 ；当�= 16 时，取集合�= 1,2,9,10 ，�= 3,6,11,14 ，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数�是“好的”，则2�也是“好的”，再证：�≥3 为奇数是“好的”，�= 4 不是“好的”，
同理易知�= 1，2 不是“好的”，由此可得出结论.
【解答过程】（1）当�= 5 时，由题中定义可得�+ �= 0,3 ，且�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4 ，故�= 5 是
“好的”.
（2）�= 8 时，取�= 1,2 ，�= 3,6 ，则�+ �的值为4、7、5、8，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以�+ �= 4,5,7,0 ，此时�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4,5,6,7 ，合乎题意；
�= 16 时，取�= 1,2,9,10 ，�= 3,6,11,14 ，
�+ �的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，8，
13，0.
所以�+ �= 4,5,7,8,12,13,15,0 ，则�∪�∪�+ �= 0,1,2,3,4, ⋯, 15 ，满足条件.
故�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数�是“好的”，则2�也是“好的”.（*）
事实上，若正整数�是“好的”，
设�= �1, �2, ⋯, ��，�= �1, �2, ⋯, ��，�+ �= �1, �2, ⋯, ��，此时集合�、�满足�时条件.
2�时，考虑�= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �，�= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �，
则�+ �= �1, �2, ⋯, ��, �1 + �, �2 + �, ⋯, ��+ �也满足条件，（*）得证.
②再证：�≥3 为奇数是“好的”.（**）
事实上，取�= 1 ，�= 2,4,6, ⋯, �−1 ，则�+ �= 3,5,7, ⋯, �−2,0 满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：�= 4 不是“好的”.
对集合�，记�为�中元素个数，由条件，�+ �+ �+ �= �.
若�= �= 1，则�+ �= 1，矛盾.
若�≥2 或�≥2，则�+ �≥2，则�+ �+ �+ �≥5，矛盾.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
于是�= 4 不是“好的”.
同理易知�= 1，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
8．（2025·北京海淀·二模）记�表示有穷集合�的元素个数．已知�, �是正整数，集合�= 1,2, ⋯, �．若
集合序列�: �1, �2, ⋯, ��满足下列三个性质，则称�是“平衡序列”：
①��≥2，其中�= 1,2, ⋯, �；
②��⫋�，其中�= 1,2, ⋯, �；
③对于�中的任意两个不同元素�, �，都存在唯一的�∈1,2, ⋯, �，使得�, �⊆��．
(1)设�= �= 5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
�1: 1,2 , 1,3,4,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5
�2: 1,2,3 , 1,4,5 , 2,4 , 3,4 , 3,5
(2)已知�≥3 且集合序列�: �1, �2, ⋯, ��是“平衡序列”，对于�= 1,2, ⋯, �，定义：��= �∣�∈��, �= 1,2, ⋯, �.
证明：
（i）当1 ∉�1时，�1 ≥�1 ；
（ii）�≥�．
【答案】(1)�1是平衡的，�2不是平衡的；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解题思路】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断�1，找到反例2,5 ，即可判断�2；
（2）（i）考虑�2，根据性质③知若�≠�′，则会得到矛盾点，即可证明；
（ii）设�1 , �2 , …, ��中最小的（之一）为��，且��= {1,2, …, �}，设�∈��(�= 1,2, …, �)，根据（i）的证
明方法知当�∉��时，��≥��，则��+1 , ��+2 , …, ��都不大于��，最后相加即可证明.
【解答过程】（1）�1是平衡的，�2不是平衡的．
理由：�= 1,2, ⋯, 5 ，
�1: 1,2 , 1,3,4,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 ，�1 = 2，�2 = 4，�3 = 2，�4 = 2，�5 = 2，满足��≥2，
显然��⫋�，且对于�中的任意两个不同元素�, �，1,2 ，1,3 ，1,4 ，1,5 ，2,3 ，2,4 ，2,5 ，3,4 ，
3,5 ，4,5 ，
都存在唯一的�∈1,2, ⋯, �，使得�, �⊆��．
故�1是平衡的，
�2: 1,2,3 , 1,4,5 , 2,4 , 3,4 , 3,5 ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2,5 并不是��的子集，故�2不是平衡的．
（2）（i）当1 ∉�1时，对于�1中的每个元素�，考虑{1, �}．
由③知存在唯一的��≠1，满足1, �⊆���，则��∈�1．
将每一个�∈�1对应到��∈�1，
若�≠�′，就有��≠��，否则�, �′ ⊆�1且�, �′ ⊆���与③矛盾．
所以�1 ≤�1 ．
（ii）对�1, �2, …, ��中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是�1 + �2 + ⋯+ ��，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是�1 + �2 + ⋯+ ��，
所以�1 + �2 + ⋯+ ��= �1 + �2 + ⋯+ ��．（＊）
不妨设�1 , �2 , …, ��中最小的（之一）为��，
且��= {1,2, …, �}，由②③知1 < �< �．
再不妨设�∈��(�= 1,2, …, �)．
由（i）的证明方法可证：当�∉��时，��≥��，
由③知�∉��+1(�= 1,2, …, �−1), �∉�1，
所以��+1 ≤��(�= 1,2, …, �−1), ��≤��，
又因为�∉��+1, ��+2, …, ��，所以��+1 , ��+2 , …, ��都不大于��，
全部相加得�1 + �2 + ⋯+ ��≤�1 + �2 + ⋯+ ��+ (�−�) ��∣，
由��的最小性知�1 + �2 + ⋯+ ��≥�1 + �2 + ⋯+ �1 + (�−�) ��，
结合（＊）可得
�1 + �2 + ⋯+ �1 + (�−�) ��≥�1 + �2 + ⋯+ �1 + (�−�) ��，
所以�≥�．
C 组
真题·实战演练
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合�= { −4,0,1,2,8}, �= �∣�3 = �，则�∩�=（
）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
【答案】D
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】求出集合�后结合交集的定义可求�∩�.
【解答过程】�= �|�3 = �= 0, −1,1 ，故�∩�= 0,1 ，
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合�= {��是小于9 的正整数}，�= {1,3,5}，则∁��中元素个数为
（
）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【解题思路】根据补集的定义即可求出．
【解答过程】因为�= 1,2,3,4,5,6,7,8 ，所以∁��= 2,4,6,7,8 ，∁��中的元素个数为5，
故选：C．
3．（2025·天津·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5 , �= 1,3 , �= 2,3,5 ，则∁��∪�=（
）
A．1,2,3,4
B．2,3,4
C．2,4
D．4
【答案】D
【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【解答过程】由�= 1,3 , �= 2,3,5 ，则�∪�= 1,2,3,5 ，
集合�= 1,2,3,4,5 ，
故∁��∪�= 4
故选：D.
4．（2025·北京·高考真题）已知集合�= {�∣2�−1 > 5}, �= {1,2,3}，则�∩�=（
）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
【答案】D
【解题思路】先求出集合�，再根据集合的交集运算即可解出.
【解答过程】因为�= �|2�−1 > 5 = �|�> 3 ，所以�∩�= ∅，
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合�= 1,2,3,4,5,9 ，�= ��+ 1 ∈�，则�∩�=（
）
A．1,2,3
B．3,4,9
C．1,2,3,4
D．2,3,4,5
【答案】C
【解题思路】根据集合�的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【解答过程】依题意得，对于集合�中的元素�，满足�+ 1 = 1,2,3,4,5,9，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则�可能的取值为0,1,2,3,4,8，即�= {0,1,2,3,4,8}，
于是�∩�= {1,2,3,4}.
故选：C.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5,9 , �= �
�∈�，则∁��∩�=（
）
A．1,4,9
B．3,4,9
C．1,2,3
D．2,3,5
【答案】D
【解题思路】由集合�的定义求出�，结合交集与补集运算即可求解.
【解答过程】因为�= 1,2,3,4,5,9 , �= �
�∈�，所以�= 1,4,9,16,25,81 ，
则�∩�= 1,4,9 ，∁��∩�= 2,3,5
故选：D.
二、填空题
7．（2025·上海·高考真题）已知集合�= �|�> 0 ，�= −1,0,1,2 ，则�∩�等于________．
【答案】{1,2}
【解题思路】根据交集运算，即可求解.
【解答过程】�∩�= {�|�> 0} ∩{ −1,0,1,2} = {1,2}，
故答案为：{1,2}.
三、解答题
8．（2025·北京·高考真题）已知集合�= 1,2,3,4,5,6,7,8 , �=
�, �∣�∈�, �∈�，从M 中选取n 个不同
的元素组成一个序列：�1, �1 , �2, �2 , …, ��, ��，其中��, ��称为该序列的第i 项�= 1,2, …, �，若该序列
的相邻项��, ��, ��+1, ��+1 满足：��+1 −��= 3,
��+1 −��= 4 或��+1 −��= 4,
��+1 −��= 3
�= 1,2, …, �−1 ，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项��, ��
�= 1,2, …, �满足：当i 为奇数时，��∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，��∈{3,4,5,6}.
判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
【答案】(1) 6,7 或7,6
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【解题思路】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（3）假设全体元素构成一个K 列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【解答过程】（1）根据题目定义可知，��+1 = ��± 3
��+1 = ��± 4 或��+1 = ��± 4
��+1 = ��± 3 ，
若第一项为3,3 ，显然�2 = 0 或−1 不符合题意（不在集合�中），所以下一项是6,7 或7,6 ；
（2）假设二者同时出现在Γ中，由于K 列取反序后仍是K 列，故不妨设3,2 在4,4 之前.
显然，在K 列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从3,2 到4,4 必定要向下一项走奇
数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在Γ中，所以从3,2 到4,4 必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.
（3）法1：若�中的所有元素构成K 列，考虑K 列中形如��, ��
��, ��∈{1,2,7,8} 的项，
这样的项共有16 个，由题知其下一项为��+1, ��+1 , ��+1, ��+1 ∈{3,4,5,6}，共计16 个，
而��+1, ��+1 ≠(3,3), (6,3), (3,6), (6,6)，因为只能6 由2 来，3 只能由7 来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12 个点，
即对于16 个��, ��，有12 个��+1, ��+1 与之相对应，矛盾．
综上，由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
法2：假设全体元素构成一个K 列，则�= 64.
设�1 =
�, ��∈1,2,7,8 , �∈1,2,3,4,5,6,7,8 ，�2 =
�, ��∈3,4,5,6 , �∈1,2,3,4,5,6,7,8
.
则�1和�2都包含32 个元素，且�1中元素的相邻项必定在�2中.
如果存在至少两对相邻的项属于�2，那么属于�2的项的数目一定多于属于�1的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于�2.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2�和2�+ 1，
否则将导致属于�2的项的个数比属于�1的项的个数多2，此时�= 1,2,3, ⋯, 31.
从而这个序列的前2�项中，第奇数项属于�1，第偶数项属于�2；
这个序列的后64 −2�项中，第奇数项属于�2，第偶数项属于�1.
如果不存在相邻的属于�2的项，那么也可以看作上述表示在�= 0 或�= 32 的特殊情况.
这意味着必定存在�∈0,1,2, . . . , 32 ，使得
�2�−1, �2�−1 ∈�1, �2�, �2�∈�2, 1 ≤�≤�
�2�−1, �2�−1 ∈�2, �2�, �2�∈�1, �+ 1 ≤�≤32 .
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故�1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是�和32 −�（不一定对应）.
但容易验证，�1和�2都包含16 个横纵坐标之和为奇数的点和16 个横纵坐标之和为偶数的点，所以�=
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
32 −�= 16，得�= 16.
从而有
�2�−1, �2�−1 ∈�1, �2�, �2�∈�2, 1 ≤�≤16
�2�−1, �2�−1 ∈�2, �2�, �2�∈�1, 17 ≤�≤32 .
这就得到�1 =
��, ���= 1,3,5, . . . , 29,31,34,36, . . . , 62,64 .
再设�3 =
�, ��∈1,2,3,4,5,6,7,8 , �∈1,2,7,8 ，�4 =
�, ��∈1,2,3,4,5,6,7,8 , �∈3,4,5,6 .
则同理有
�2�−1, �2�−1 ∈�3, �2�, �2�∈�4, 1 ≤�≤16
�2�−1, �2�−1 ∈�4, �2�, �2�∈�3, 17 ≤�≤32 .
这意味着�3 =
��, ���= 1,3,5, . . . , 29,31,34,36, . . . , 62,64 .
从而得到�3 = �1，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
