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决胜2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(9)
(函数性质的综合应用)
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】A 选项，
是奇函数，但在
上单调递增，在
上单调递减，故A 错误；
B 选项，
是奇函数，且在
上单调递增，故B 正确；
C 选项，
，定义域
是非奇非偶函数，故C 错误；
D 选项，
为奇函数，在
和
上单调递增，故D 错误.
故选：B.
2.已知定义在R 上的函数
f x 的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：
f x 是奇函数；
乙：
f x 的图象关于直线
1
x
对称；
丙：
f x 在区间
1,1
上单调递减；
丁：函数
f x 的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】由连续函数
f x 的特征知：由于区间
1,1
的宽度为2，
所以
f x 在区间
1,1
上单调递减与函数
f x 的周期为2 相互矛盾，
即丙、丁中有一个为假命题；
1
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若甲、乙成立，即
f
x
f x
，
1
1
f x
f
x
，
则
2
1 1
1
1
f x
f x
f
x
f
x
f x
，
所以
4
2
2
2
f x
f x
f x
f x
，即函数
f x 的周期为4，
即丁为假命题.
由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，
故选：D.
3.（2023 秋·江苏苏州常熟·高三常熟中学月考）已知函数
在
上的最大值
和最小值分别为M，N，则
（ ）
A.
B. 0
C. 2
D. 4
【答案】D
【解析】令
，所以
最大值和最小值分别为
，
又
，故
为奇函数，
故
的图象关于原点对称，故
,
故选：D
4.函数
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】令
，该函数的定义域为
，
，
2
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所以，函数
为偶函数，排除AB 选项，
当
时，
，则
，排除C 选项.
故选：D.
5.已知定义域是R 的函数
满足：
，
，
为偶函数，
，
则
（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -3
【答案】B
【解析】因为
为偶函数，所以
的图象关于直线
对称，所以
，又由
，得
，所以
，所以
，所以
，故
的周期为4，所以
．
故选:B．
6.已知函数
2
2
3
4
x
f x
x
x
，且
2
log
3
f
a
f
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
,2
8,
B．
0,2
C．
0,2
8,
D．
8,
【答案】C
【解析】∵
2
2
2
2
4
3
4
4 4
3
4
x
x
f
x
x
x
x
x
f x
，∴
f x 的图像关于直线
2
x
对称，
∵
2
3
x
y
和
2
4
y
x
x
都在
,2
上是减函数，在
2,上是增函数，∴
f x 在
,2
上为减函
数，在
2,上为增函数．
又
2
log
3
f
a
f
，∴
2
log
2
3
2
1
a
，即
2
log
1
a
或
2
log
3
a
，解得0
2
a
或
8
a
．
故选：C．
7.（2023 秋·江苏扬州高邮·高三统考）若
是定义域为
上的单调函数，且对任意实数
都有
，其中是自然对数的底数，则
（ ）
3
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A. 4
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵
是定义域为
上的单调函数，且
，
∴在
上存在唯一一个实数使得
，
于是
.
令
，得
，即
.
画出
与
的图像如图所示：
由图像可知，
与
的图像在
上只有1 个交点，
且
是方程
的解，
所以
，故
.
故选:B.
4
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8.（2023 秋·湖南省长沙市·高三雅礼中学月考）已知函数
的定义域为R，
，且
在
上递增，则
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】函数
，满足
，则
关于直线
对称，
所以
，即
，
又
在
上递增，所以
在
上递减，
则可得函数
的大致图象，如下图：
所以由不等式
可得，
或
，解得
或
，
故不等式
的解集为
.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.已知函数
，则（ ）
A.
B. 对任意实数a，函数
为奇函数
C. 存在实数a，使得
为偶函数
D.
时，
在区间
上为单调递增函数
【答案】BCD
【解析】对于A，
，A 错误；
5
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对于B，
的定义域为
，关于原点对称，
且
，故对任意实数a，函数
为奇函数，B 正确；
对于C，当
时，
，
，此时
为偶函数，
故存在实数a，使得
为偶函数，C 正确；
对于D，
时，
，则
，
因为
在
上单调递减，故
在
上单调递增，D 正确，
故选：BCD
10.给出下列说法，错误的有（ ）
A. 若函数
在定义域上为奇函数，则
B. 已知
的值域为
，则a 的取值范围是
C. 已知函数
满足
，且
，则
D. 已知函数
，则函数
的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，函数
为奇函数，
所以，
，即
，即
，
即
，整理可得
，即
，
所以，
，解得
，
当
时，
，该函数的定义域为
，满足
，合乎题意，
6
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当
时，
，
由
可得
，此时函数
的定义域为
，满足
，合乎题意.
综上所述，
，故A 错误；
对于B，因为
的值域为
，
则函数
的值域
满足
，
则
，解得
，故B 错误；
对于C，函数
满足
，则
，
故
的周期为
，因为
，则
，故C 正确；
对于D，因为
，
，
由
，得
，解得
，
即函数
的定义域为
．则
，
又
，
故函数
的值域为
，故D 错误：
故选：ABD.
11.（2023 秋·江苏南通海安·高三海安市实验中学月考）定义在R 上的奇函数
满足
，且
当
时，
，则（ ）
A.
是周期函数
B.
在（－1，1)上单调递减
C.
的图象关于直线
对称
D.
的图象关于点（2，0)对称
【答案】ACD
【解析】对于A，因为定义在R 上的奇函数
满足
，
所以
，
，所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，所以A 正确，
7
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对于B，当
时，
，则
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
，所以
，
所以当
时，
为减函数，且当
时，
，
当
时，
为减函数，且当
时，
，所以
在（－1，1)上不是单调递
减，所以B 错误，
对于C，因为
是周期为4 的周期函数，所以
，
所以
，即
，所以
的图象关于直线
对称，所以C 正
确，
对于D，因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
的图象关于点
对称，即
的图象关于点（2，0)对称，所以D 正确，
故选：ACD
12.记函数
与
的定义域的交集为I．若存在
I，使得对任意
I，不等式
恒成立，则称(
，
)构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M
函数对”的有（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】AC
【解析】选项A ：
在
单调递增，
在
单调递减，所以
与
在
有交点，符合新定义，
选项B：满足
，故不成立；
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选项C：在区间
；在区间
满足
，所以存在
符合题意.
选项D，
存在两个非零的零点，故不成立．
故选：AC
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学月考）定义在
上的奇函数
，当
时，
，当
时，
________．
【答案】
【解析】因为函数
为奇函数，所以
，解得
.
设
，则
，所以
，
又
为奇函数，所以
，
即当
时，
.
故答案为：
14.（2023 秋·江苏镇江·高三期初统考）已知函数
，
的最大值为M，最小值为m，则
___________.
【答案】
【解析】令
，且
，
，
所以
为奇函数，且在
上连续，
根据奇函数的对称性：
在
上的最大、最小值关于原点对称，
则
，故
．
故答案为：
．
15.已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是偶函数，
恰有
四个零点，则这四个零点的和为________．
【答案】4
9
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【解析】将函数
向左平移1 个单位，所以
，
因为
是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，
是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则
为偶函数，
所以
为偶函数，
又因为函数
恰有四个零点，即函数
恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于
轴对称，其四个零点之和为0，
而
是由
向左平移了1 个单位，
所以
的四个零点之和为4.
故答案为：4
16.已知
的定义域为
且
对于任意正数
都有
，且当
时，
，则不等式
的解集为_________．
【答案】
【解析】因为
对于任意正数
都有
，
所以
，即
，
，即
，
，即
，
所以
是函数
的零点，
令
，则
，即
是函数
的零点，
因为当
时，
，
所以
时，
，
且
，
任取
，且
，
10
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，
即
，
因为
，且
，
所以
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
因为
，
所以
，
故答案为：
．
11
