专题13
三角恒等变换压轴题
1.两角和与差的正余弦与正切
①sin(
)
sin
cos
cos
sin
；
②cos(
)
cos
cos
sin
sin
；
③
tan
tan
tan(
)
1
tan
tan
；
2.二倍角公式
①sin 2
2sin
cos
；
②
2
2
2
2
cos2
cos
sin
2cos
1
1
2sin
；
③
2
2tan
tan 2
1
tan
；
3.降次（幂）公式
2
2
1
1 cos2
1
cos2
sin
cos
sin 2 ;sin
;cos
;
2
2
2
4.辅助角公式
)
sin(
cos
sin
2
2
b
a
b
a
（其中
a
b
b
a
a
b
a
b
tan
cos
sin
2
2
2
2
，
，
）．
5.常见拆分方法
①
=2 2
；
=( + )
-
；②
(
)
；③
1[(
)
(
)]
2
；
④
1[(
)
(
)]
2
；⑤
(
)
4
2
4
．
注意特殊的角也看成已知角，如
(
)
4
4
．
题型一
给角求值
例1（1）下列化简不正确的是（
）
A．
2
2
3
cos 15
sin 15
2
B．tan 48
tan 72
3
1
tan 48 tan 72
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C．
1
cos82 sin52
sin82 cos128
2
o
o
o
o
D．
1
sin15 sin 30 sin 75
8
【答案】B
【分析】利用余弦的二倍角公式可计算得A 正确；由两角和的正切公式可知B 错误；利用两角和的正弦公
式可求出C 正确；利用正弦的二倍角公式可计算得D 正确.
【详解】A 选项，
2
2
3
cos 15
sin 15
cos30
2
，A 选项正确.
B 选项，
tan 48
tan 72
tan 48
72
tan120
3
1
tan 48 tan 72
，B 选项错误.
C 选项，
cos82 sin52
sin82 cos128
cos82 sin52
sin82 cos 1 80
52
o
o
o
o
o
o
o
o
o
cos82 sin52
sin82 cos52
2
sin 52
8
1
sin30
2
，所以C 选项正确.
D 选项，易知sin30
1
2
，所以
1
sin15 sin30 sin 75
sin15 sin 75
2
1
1
1
1
sin
sin 90
sin
cos
sin30
2
2
4
8
15
15
15
15
，D 选项正确.
故选：B
（2）化简cos 40 (1
3 tan10 )
的值为（
）
A．1
B．1
2
C．
3
D．2
【答案】A
【分析】先切化弦变形，再结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式化简求值即可.
【详解】cos 40 (1
3 tan10 )
cos10
3sin10
cos40
cos10
1
3
2
cos10
sin10
2
2
cos40
cos10
2sin(10
30 )
cos40
cos10
2sin 40 cos40
cos10
sin80
1
cos10
故选：A.
练习题
（1）9tan10
2tan 20
4tan 40
tan80
等于（
）
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A．0
B．
3
3
C．1
D．
3
【答案】A
【分析】由
1
2
tan
tan
tan 2
可求三角函数式的值.
【详解】由于
1
2
tan
tan
tan 2
，
于是tan10
tan80
2cot 20
，
2 tan 20
cot 20
4cot 40
，
4 tan 40
cot 40
8cot80
，
三式相加即得9tan10
2tan 20
4tan 40
tan80
0
．
故选：A
（2）
1
1
2tan 20
2cos10
（
）
A．
2
B．
3
2
C．
3
D．2
【答案】B
【分析】利用同角的三角函数关系将切化弦，再根据二倍角公式以及两角和差的正余弦公式，化简求值，
即得答案.
【详解】
1
1
cos20
1
2tan 20
2cos10
2sin 20
2cos10
cos20
2sin10
cos(30
10 )
2sin10
2sin 20
2sin 20
cos30 cos10
sin30 sin10
2sin10
2sin 20
3
3
1
3
cos10
sin10
3(
cos10
sin10 )
2
2
2
2
2sin 20
2sin 20
3sin(30
10 )
3
2sin 20
2
，
故选：B
（3）下列代数式的值为1
4 的是（
）
A．
2
2
cos 75
sin 75
B．
2
tan15
1
tan 15
C．cos36 cos72
D．2cos20 cos40 cos80
【答案】BCD
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【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A 选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B 选项；利用二
倍角的正弦公式可判断CD 选项.
【详解】对于A 选项，
2
2
3
cos 75
sin 75
cos150
cos 180
30
cos30
2
；
对于B 选项，
2
2
2
2
2
sin15
tan15
sin15 cos15
1
1
cos15
sin30
sin 15
1
tan 15
cos 15
sin 15
2
4
1
cos 15
；
对于C 选项，
1 sin 72 cos72
1 sin144
1
2
sin36
4 sin144
4
7
si
c
n
o
1
s
8
c
0
sin36 cos36
o 72
s36 co
44
2
1
s
；
对于D 选项，
2cos20 sin 20 cos40 cos80
2cos20 cos40 cos80
sin 20
1 sin80 cos80
sin 40 cos40 cos80
1 sin160
1
2
sin 20
4 sin160
4
sin 180
160
.
故选：BCD.
题型二
给值求值
例2．（1）已知π
3π
2
2
，且
2π
1
cos
3
3
，则sin的值为（
）
A．2 2
3
6
B．2 6
1
6
C．1
2 6
6
D．
3
2 2
6
【答案】A
【分析】根据条件求出
2π
sin
3
的值，令
2π
2π
sin
sin(
)
3
3
，按两角差的公式展开，计算即可.
【详解】因为π
3π
2
2
，所以7π
2π
13π
6
3
6
，又
2π
1
cos
3
3
又
13π
π
3
1
cos
cos
6
6
2
3
，
所以
2π
2 2
sin
3
3
，
则
2π
2π
sin
sin(
)
3
3
2π
2π
2π
2π
sin(
)cos
cos(
)sin
3
3
3
3
2 2
1
1
3
2 2
3
(
)
3
2
3
2
6
，
故选：A.
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（2）已知
π
0
2
，0
π
，
3
5
cos
，若
1
sin
3
，则cos 的值为（
）
A．4 2
6
15
B．4 2
6
15
C．6 2
4
15
D．6 2
4
15
【答案】D
【分析】由同角三角函数关系求
4
sin
5
，注意判断
的范围并求得
2 2
cos
3
，最后由差角余
弦公式求cos .
【详解】因为
π
0
2
，
3
5
cos
，所以
2
4
sin
1
cos
5
．
因为
π
0
2
，0
π
，所以
3π
0
2
，
因为
1
4
sin
sin
3
5
，若
为锐角，则
与
矛盾，
所以
不可能是锐角，故
2
2 2
cos
1 sin
3
，
所以
6 2
4
cos
cos
cos
cos
sin
sin
15
．
故选：D
（3）已知角是第一象限角，
3
cos
5
，则
π
cos
3
（
）
A．3
10
B．3
4 3
10
C．4 3
3
10
D．3
4 3
10
【答案】B
【分析】根据同角三角函数基本关系及两角和余弦公式求解即可.
【详解】因为角是第一象限角，
3
cos
5
，
所以
2
4
sin
1
cos
5
=
-
=
，
所以
π
π
π
1
3
4
3
3
4 3
cos
cos
cos
sin
sin
3
3
3
2
5
5
2
10
.
故选：B
（4）已知
2 5
sin
,
5
为钝角，
1
tan
3
，则tan（
）
A．5
7
B．
5
7
C．7
D．7
【答案】D
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【分析】利用同角公式求出tan，再利用差角的正切公式即可求解.
【详解】由
2 5
sin
,
5
为钝角，得
2
2
2 5
5
cos
1 sin
1 (
)
5
5
，
sin
tan
2
cos
，
所以
1
2
tan
tan(
)
3
tan
tan[
(
)]
7
1
1
tan
tan(
)
1 ( 2)
3
.
故选：D
（5）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于
,
A B 两点．点A 的横坐标
是3
5 ，点B 的纵坐标是12
13 .
(1)求cos2的值；
(2)求
sin
的值.
【答案】(1)
7
25
；
(2) 16
65 .
【分析】（1）根据题意结合任意角三角函数的定义求出cos的值，然后利用二倍角公式可求得答案；
（2）根据题意结合任意角三角函数的定义求出cos，sin 的值，再利用同角三角函数的关系求出
sin
,cos
，然后利用两角和的正弦公式可求得结果.
【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于A 两点，且点A 的横坐标是3
5 ，
所以
3
cos
5
，
所以
2
9
7
cos2
2cos
1
2
1
25
25
；
（2）因为在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于
,
A B 两点，点A 的横坐标是
3
5 ，点B 的纵坐标是12
13 ，
所以
3
cos
5
，
12
sin
13
，
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所以
2
co
9
4
sin
5
s
1
1
25
，
2
144
5
cos
1 sin
1 169
13
，
所以
sin
sin
cos
cos
sin
4
5
3
12
16
5
13
5
13
65
.
练习题
（1）已知为锐角，若
π
4
cos
6
5
，则
7π
sin 2
12
的值为（
）
A．
2
10
B．7 2
10
C．17 2
50
D．31 2
50
【答案】D
【分析】根据为锐角，
π
4
cos
6
5
，得到
π
sin
6
，再利用二倍角公式得到
π
sin 2
3
，
π
cos 2
3
，
然后再由
7π
π
π
sin 2
sin
2
12
3
4
求解.
【详解】
为锐角，π
π
2π
π
4
,cos
6
6
3
6
5
，
π
3
sin
6
5
，
π
π
π
24
sin 2
2sin
cos
3
6
6
25
，且
2
π
π
7
cos 2
2cos
1
3
6
25
．
故
7π
π
π
sin 2
sin
2
12
3
4
，
π
π
π
π
sin 2
cos
cos 2
sin
3
4
3
4
，
24
2
7
2
31 2
25
2
25
2
50
，
故选：D．
（2）已知
π
1
tan
6
2
，
π
1
tan 12
3
，则
)
t n(
a
2
（
）
A．
9
13
B．
2
11
C．10
11
D．2
5
【答案】B
【分析】利用二倍角正切公式求得
π
tan 6
2
，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】由
π
1
tan 12
3
得，
2
2
π
1
2tan
2
π
12
3
tan
2
1
π
4
1 ( )
1
tan
3
2
6
1
3
，
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而
π
1
tan
6
2
，
故
π
π
tan(
)
tan(2
)
π
π
6
6
tan
2
tan (
)
(2
)
π
π
6
6
tan(
) tan(2
)
)
6
(
1
6
1
3
2
2
4
1
3
11
1
2
4
，
故选：B
（3）已知
π
1
sin 6
4
x
，则
π
sin 2
6
x
（
）
A．
7
8
B．
1
8
C．1
8
D．7
8
【答案】D
【分析】根据
π
π
π
π
sin 2
sin
2
cos
2
6
2
3
3
x
x
x
结合二倍角的余弦公式计算即可.
【详解】
π
π
π
π
π
sin 2
sin
2
cos
2
cos2
6
2
3
3
6
x
x
x
x
2 π
1
7
1
6
8
8
1 2sin
x
.
故选：D.
（4）已知
π π,
2
a
，
5
cos
5
．(1)求
π
cos
4
的值；(2)求
5π
sin 2
6
的值．
【答案】(1)
3 10
10
(2) 4 3
3
10
【分析】（1）根据角的范围，结合同角的三角函数的平方关系、两角和正弦公式求值即可；
（2）由二倍角正余弦公式求sin 2 ,cos 2
，应用两角差余弦公式求值即可.
【详解】（1）因为
π π,
2
a
，
5
cos
5
，则
2
2 5
sin
1 cos
5
，
所以
π
π
π
5
2
2 5
2
3 10
cos
cos
cos
sin
sin
4
4
4
5
2
5
2
10
.
（2）由（1）可知：
5
cos
5
，
2 5
sin
5
，
可得
2 5
5
4
sin 2
2sin
cos
2
5
5
5
，
2
2
5
3
cos2
2cos
1
2
1
5
5
，
且
5π
π
π
1
5π
π
π
3
sin
sin π
sin
,cos
cos
π
cos
6
6
6
2
6
6
6
2
，
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所以
5π
5π
5π
4
3
3
1
4 3
3
sin 2
sin 2
cos
cos2 sin
6
6
6
5
2
5
2
10
题型三
给值求角
例3（1）已知π
π
4
，
3π
π
2
，
4
sin 2
5
，
2
cos(
)
10
，则
（
）
A．π
4 或3π
4
B．π
4
C．3 π
4
D．5π
4
【答案】C
【分析】根据角度范围得到
3
cos2
5
，
7 2
sin(
)
10
，计算
2
cos
2
，得到答案.
【详解】π
π
4
，π
2
2
2π
，
4
sin 2
0
5
，故π
2
π
2
，故
3
cos2
5
；
π
π
4
2
，
3π
π
2
，5 π<
2π
4
，
2
cos(
)
0
10
，
故5
3π
π<
4
2
，
7 2
sin(
)
10
；
cos
cos
2
cos
cos 2
sin
sin 2
3
2
4
7 2
2
5
10
5
10
2
，π
5π
2
4
，故
3 π
4
.
故选：C
（2）若
1
5 3
cos
,sin(
)
,0
,0
7
14
2
2
，则角的值为（
）
A．3
B．5
12
C．6
D．4
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin，cos(
)
的值，然后利用和差角公式及特殊角函数值，
可得的值．
【详解】∵0
,0
2
2
，
0
，
由
1
cos
7
，
5 3
sin
14
，得
4 3
sin
7
，
11
cos(
)
14
，
若
11
cos(
)
14
，
则sin
sin[(
)
]
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sin(
)cos
cos(
)sin
5 3
1
11
4 3
0
14
7
14
7
，
与sin
0
矛盾，故舍去，
若
11
cos(
)
14
，
则cos
cos[(
)
]
cos(
)cos
sin(
)sin
11
1
5 3
4 3
14
7
14
7
1
2
，
又
(0,
)
2
，
3
.
故选：A.
（3）已知
cos
tan
1 sin
，
1
sin
tan
cos
，若
π
0, 2
，则（
）
A．π
12
B．π
6
C．4
D．π
3
【答案】C
【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解.
【详解】因为
tan(
)
tan
tan =tan
1
tan(
) tan
，
又因为
cos
tan
1 sin
，
1
sin
tan
cos
，
所以
(1 sin
) (1 sin
)
cos
cos
1 sin
cos
cos
(1 sin
)
cos
1 sin
tan
1 sin
cos
cos
(1 sin
)
cos
(1 sin
)
1
cos
1 sin
cos
(1 sin
)
，
所以
2
2
(1 sin
) (1 sin
)
cos
cos
1 sin
cos
tan
cos
(1 sin
)
cos
(1 sin
)
2cos
因为
2
2
sin
cos
1
，所以tan
0
，
所以
π,
Z
k k
，
所以当k 为奇数时，cos
1
，sin
0
，
当k 为偶数时，cos
1
，sin
0
，
因为
cos
tan
1 sin
，所以tan
1
，
因为
π
0, 2
，所以
π
4
.
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故选：C.
（4）已知
9
tan(
)
13
，
π
1
tan(
)
4
3
，
3 10
cos
10
其中，为锐角．
(1)求tan的值；
(2)求
2
的值．
【答案】(1) 1
7
(2) π
4
【分析】（1）用已知表示未知.首先用
和
π
4
表示
π
4
，即
π
π
(
)
(
)
4
4
，求出
π
tan(
)
4
，
再根据
π
π
tan
tan[(
)
]
4
4
即可求出；
（2）由题意求出tan及tan 2，再求出tan(
2 )
+
，根据题意求出
2
的取值范围，根据正切函数即可
解决.
【详解】（1）由题意知
π
tan(
)
tan(
)
π
π
4
tan(
)
tan[(
)
(
)]
π
4
4
1
tan(
) tan(
)4
9
1
4
13
3
9 1
3
1 13 3
所以
4
π
1
tan(
) 1
π
π
1
3
4
tan
tan[(
)
]
π
4
4
4
7
1
tan(
)
1
4
3
.
（2）由题意知
3 10
cos
10
且为锐角，
所以
2
2
3 10
10
sin
1
cos
1
(
)
10
10
=
-
=
-
=
，
所以
sin
1
tan
cos
3
=
=
，所以
2
2
1
2
2tan
3
3
tan 2
1
tan
4
1
1
3
´
=
=
=
-
骣
琪
- 琪
琪
桫
，
所以
1
3
tan
tan 2
7
4
tan(
2 )
1
1
3
1
tan
tan 2
1
7
4
+
+
+
=
=
=
-
-
´
，
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因为
,
为锐角，
所以0
2
π
且
3
tan 2
0
4
=
>
，
所以
π
0
2
2
，则0
2
π
，
故
π
2
4
.
练习题
（1）已知
2 5
cos
5
，
10
sin
10
，且
0, 2
，
0, 2
，则
的值是（
）
A．3
4
B．4
C．7
4
D．5
4
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得sin
,cos
，利用两角和差余弦公式可求得
cos
，结合
0,
可得结果.
【详解】
0, 2
，
0, 2
，
2
5
sin
1 cos
5
，
2
3 10
cos
1 sin
10
，
2 5
3 10
5
10
2
cos
cos
cos
sin
sin
5
10
5
10
2
，
又
0,
，
4
.
故选：B.
（2）已知，均为锐角，且
4 3
sin
7
，
11
cos(
)
14
，则等于（
）
A．3
B．4
C．6
D．12
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos和sin(
)
的值，再利用两角差的余弦公式求得
cos
cos (
)
的值，进而可得的值.
【详解】
，均为锐角，且
4 3
sin
7
，
11
cos(
)
14
，
2
1
cos
1 sin
7
，
2
5 3
sin(
)
1
cos (
)
14
，
cos
cos (
)
cos(
) cos
sin
sin(
)
11 1
4 3 5 3
14 7
7
14
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1
2
，
因为为锐角，所以
3
.
故选：A .
（3）若
π ,0
2
，
π
0, 2
，且
1
tan
2
，
1
tan
7
，则2
的值为（
）
A．
3π
4
B．
π
4
C．π
4
D．3π
4
【答案】B
【分析】求出2
的正切值及2
的取值范围，即可得出2
的值.
【详解】因为
π ,0
2
，
π
0, 2
，则π
0
，
又因为
1
tan
1
2
，则
π
0
4
，
由二倍角正切公式可得
2
2
1
2
2tan
4
2
tan 2
1
tan
3
1
1
2
，
所以，
4
1
tan 2
tan
3
7
tan 2
tan 2
1
4
1
1 tan 2
tan
1
3
7
，
因为
π
0
4
，
π
0
2
，则
π
π
2
2
2
，即
π
π
2
2
2
，
因此，
π
2
4
.
故选：B.
（4）已知
4
cos2
5
，
1
tan
7
，其中
π
0
4
，5π
π
6
．
(1)求
π
sin
4
的值；
(2)求
2
的值．
【答案】(1) 2 5
5
(2) 3π
4
【分析】（1）根据题意利用倍角公式可得cos
,sin
，再结合两角和差公式运算求解；
（2）根据同角三角关系可得
3
tan 2
4
，利用两角和差公式求
tan
2
，并结合角的范围分析求解.
【详解】（1）因为
2
2
4
cos2
2cos
1
1
2sin
5
，可得
2
2
9
1
cos
,sin
10
10
，
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又因为
π
0
4
，则cos
0,sin
0
，可得
3 10
10
cos
,sin
10
10
，
所以
π
π
π
10
2
3 10
2
2 5
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
10
2
10
2
5
.
（2）因为
π
0
4
，则
π
0
2
2
，且
4
cos2
5
，可得sin 2
1
cos2
5
3
，
所以
sin 2
3
tan 2
cos 2
4
，
可得
1
3
tan
tan 2
7
4
tan
2
1
1
3
1
tan
tan 2
1
7
4
，
又因为5π
π
6
，可得π
2
π
3
，所以
3π
2
4
.
题型四综合应用题
例4（1）如图，在半径为R 、圆心角为π
3 的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q 在
OA 上，点M 、N 在OB 上，则这个矩形面积的最大值为（
）
A．
2
(2
3
R
）
B．
2
3
6 R
C．
2
3
4 R
D．
2
3
3 R
【答案】B
【分析】设
POB
a
，矩形PNMQ面积为S，求面积的函数的表达式，结合正弦函数性质求其最大值即可.
【详解】设
POB
a
，矩形PNMQ面积为S，
扇形AB 的半径为R ，圆心角为π
3 ，
所以
sin
QM
PN
R
，
cos
ON
R
，
π
3
tan
sin
6
3
OM
QM
R
，
所以
2
2
3
1
3
1 cos2
sin
cos
sin
sin 2
3
2
3
2
S
R
R
R
R
R
．
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化简得：
2
2
3
π
3
sin 2
3
6
6
S
R
R
，
π
0, 3
，
当
π
6
，即
π
6
AOP
时，
S取最大值
2
3
6 R ．
故选：B.
（2）某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征
集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1 所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2 所示，若圆O 的半径
为10cm，AB
BC
CD
，
//
BC
AD ，
120 .
ABC
BCD
甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB
越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD （
）
A．10cm
B．10 2cm
C．10 3cm
D．5 6cm
【答案】B
【分析】根据已知条件及直角三角形中锐角函数，结合勾股定理及三角函数的性质即可求解.
【详解】过O 点作OE
BC
，分别交BC，AD 于E，F 两点，如图所示
设
AOF
，则
10cos
OF
，
20sin
AD
，
由
//
BC
AD ，
120
ABC
BCD
，得
1
10sin
2
AB
BC
CD
AD
，
则
1
5sin
2
BE
BC
，
3
5 3sin
EF
BE
，
2
2
2
2
2
25sin
(5 3 sin
10cos )
100
50 3 sin 2
OB
OE
BE
，
当
π
2
2
，即
π
4
时，OB 取得最大值，
此时
20sin
10 2cm.
AD
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故选：B.
（3）如图，某城市有一条公路从正西方沿MO 通过市中心O后转到北偏东30的ON 上，为了缓解城市交通
压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在MO 、ON 上分别设置两个出口A 、B ．若要求市中心O与AB
的距离为10千米，则线段AB 最短为（
）
A．10 2 千米
B．20 2 千米
C．10 3 千米
D．20 3 千米
【答案】D
【分析】过点O作OD
AB
，垂足为点D ，设
OAB
，
OBA
，且
60
，0
60
，计算得
出
1
10 3
1
tan
tan
AB
，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得AB 的最小值.
【详解】过点O作OD
AB
，垂足为点D ，设
OAB
，
OBA
，且
60
，0
60
，
由题意可得
10
tan
tan
OD
AD
，
10
tan
tan
OD
BD
，
所以，
10 tan
tan
10tan
1 tan
tan
10
10
tan
tan
tan
tan
tan
tan
AB
AD
BD
1
10 3
1
tan
tan
，
因为
tan
3
tan
tan
tan
tan
tan 60
1
3 tan
，
令
1
3 tan
1,4
t
，则
tan
3
tan
3 tan
3
3 tan
1
4
0
tan
tan
3
1
3 tan
3 1
3 tan
t
t
t
2
5
4
1
4
1
4
1
5
5
2
3
3
3
3
t
t
t
t
t
t
t
，
当且仅当
2
t
时，等号成立，
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故
1
10 3
1
10 3
2
20 3
tan
tan
AB
（千米）.
故选：D.
（4）设函数
π
4cos sin
3
3
f
x
x
x
，xR ．
(1)求函数
f
x 的单调增区间；
(2)当
π
0, 2
x
时，求函数
f
x 的值域；
(3)已知函数
y
f x
的图象与直线
1
y 有交点，求相邻两个交点间的最短距离．
【答案】(1)
π
5π
π,
π ,
Z
12
12
k
k
k
(2)
3,2
(3) π
3
【分析】（1）先根据两角差正弦公式、二倍角公式、倍角公式将函数
f
x 化为
π
2sin 2
3
f
x
x
，再根
据正弦函数的单调性求解；
（2）利用（1）中结论，结合三角函数性质即可求其值域；
（3）由题意可得方程
π
1
sin 2
3
2
x
，解方程出交点坐标，再根据交点间距离求最小值.
【详解】（1）由
π
π
π
4cos sin
3
4cos
sin cos
cos sin
3
3
3
3
f x
x
x
x
x
x
2
2sin cos
2 3 cos
3
x
x
x
1
3
sin 2
3 cos2
2
sin 2
cos2
2
2
x
x
x
x
π
2sin 2
3
x
，
令
π
π
π
2 π
2
2 π
2
3
2
k
x
k
，解得
π
5π
π
π
12
12
k
x
k
，
Z
k
，
函数
f
x 的单调递增区间是
π
5π
π,
π
12
12
k
k
k Z .
（2）
π
0, 2
x
，
π
π
2π
2
3
3
3
x
，
3
π
sin 2
1
2
3
x
，即
3
2
f
x
，
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( )
f
x
\
的值域是
3,2
.
（3）依题意可得，
π
2sin 2
1
3
x
，即
π
1
sin 2
3
2
x
，
π
π
2
2 π
3
6
x
k
或
π
5π
2
2 π
3
6
x
k
，
Z
k
，
π
π
4
x
k
或
7π
π
12
x
k
，
Z
k
，
故函数
f
x 的图像与直线
1
y 的两个相邻交点间的最短距离为π
3 .
练习题
（1）如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为1的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积
之和的最大值为（
）
A．2 2
2
B．2
2 2
C．4 2
D．6
【答案】B
【分析】设等腰三角形的底角为，其中0
2
，将正方形与四个等腰三角形面积之和用的三角函数式
表示出来，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】设等腰三角形的底角为，其中0
2
，则等腰三角形的高为sin，其底边长为2cos，
所以，正方形与四个等腰三角形面积之和为
2
1
4
2cos
sin
4cos
2sin 2
2cos 2
2
2 2 sin 2
2
2
4
S
，
0
2
，则
5
2
4
4
4
，故当2
4
2
时，即当
8
时，
S取得最大值2 2
2
.
故选：B.
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（2）有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，准备从这个扇形中切割出一个矩形（矩形的各个顶点都在
扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（
）
A．2 2
2
B．2
2
C．2
2
D．
2
1
【答案】A
【分析】设
COB
,以为参数表示矩形ABCD的面积，求以为自变量的三角函数的最值即可
【详解】
如图, 在Rt
OCB
△
中, 设
COB
, 则
2cos
OB
,
2sin
BC
.
在Rt
OAD
△
中,
tan45
1,
2sin
DA
OA
DA
OA
.
2cos
2sin
AB
OB
OA
.
设矩形ABCD的面积为S,
则
2cos
2sin
2sin
S
AB BC
2
1
4
sin 2
sin
2
2 sin 2
cos2
2
2 2sin 2
2
4
3
0
,
2
,
4
4
4
4
故当2
4
2
, 即
8
时,
max
2 2
2
S
.
故选：A
（3）已知函数
2
2 3sin
cos
2cos
0
f x
x
x
x
的周期为π .
(1)求；
(2)求函数
f
x 的对称轴；
(3)已知
0
11
5
f
x
，
0
π π
,
6 2
x
，求
0
cos2x 的值.
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【答案】(1)
1
(2)
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
(3) 3
4 3
10
【分析】（1）先根据降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解；
（2）根据正弦函数的对称性求解即可；
（3）将所求角用已知角表示，再结合两角差的余弦公式即可得解.
【详解】（1）
2
1 cos2
2 3sin
cos
2cos
3sin 2
2
2
x
f x
x
x
x
x
π
3sin 2
cos2
1
2sin 2
1
6
x
x
x
，
因为函数的周期为π ，
所以2π
π
2
，所以
1
；
（2）由（1）得
π
2sin 2
1
6
f x
x
，
令
π
π
2
π
6
2
x
k
，得
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
，
所以函数
f
x 的对称轴为
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
；
（3）
0
11
5
f
x
，即
0
π
11
2sin 2
1
6
5
x
，
所以
0
π
3
sin 2
6
5
x
，
又
0
π π
,
6 2
x
，所以
0
π
π 7π
2
,
6
2
6
x
，
所以
2
0
0
π
π
4
cos 2
1 sin
2
6
6
5
x
x
，
所以
0
0
π
π
4
3
3
1
3
4 3
cos 2
cos
2
6
6
5
2
5
2
10
x
x
题型五创新提升能力题
1.在△ABC 中，
2
,
3
ACB
AB 边上的高
1,
,
CD
AD
x DB
y
，则x
y
的最小值为
.
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【答案】2 3
【分析】根据几何关系得AB
x
y
1
1
tan
tan
A
B
3
2
1
1
sin(2
)
2
6
4
A
，利用0
3
A
即可求出其最小值.
【详解】
2
3
ACB
，
3
A
B
，∴
3
B
A
，0
3
A
，
AB
x
y
1
1
tan
tan
A
B
cos
cos
sin
sin
A
B
A
B
sin(
)
sin
sin
A
B
A
B
3
2
sin
sin(
)
3
A
A
3
2
3
1
sin
(
cos
sin
)
2
2
A
A
A
3
2
3
1
1
sin 2
cos2
4
4
4
A
A
3
2
1
1
sin(2
)
2
6
4
A
，
∵0
3
A
，∴
5
2
6
6
6
A
，∴当2
6
2
A
时，x＋y 的最小值为2 3 .
故答案为：2 3 .
2.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，
其中
0,
0
25
E
t
t
；曲线BC 是抛物线
2
50
0
y
ax
a
的一部分；CD
AD
，且CD 恰好等于圆E 的
半径.假定拟建体育馆的高
50
OB
（单位：米，下同）.
（1）若
20
t
，
1
49
a
，求CD 、AD 的长度；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；
（3）若
1
25
a
，求AD 的最大值.
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【答案】（1）
30
CD
，
24 5
AD
；（2）
1 ,
100
；（3）25 5 米.
【分析】（1）由CD
OB
OE
可求出CD 的长，在抛物线方程中，令
30
y
，可求出OD 的长，在圆E 的方
程中，令
0
y
，可求出AO 的长，相加即可得出AD 的长；
（2）问题转化为
1
25
t
a
t
恒成立，根据基本不等式解出即可；
（3）先求得
5
OD
t
，在圆E 的方程中，令
0
y
，可得出
10 25
OA
t
，从而得出
10 25
5
AD
t
t
，
令
10 25
5
0
25
f t
t
t
t
，将问题转化为求函数
y
f t
在
0,25
t
上的最大值.
法一：令
2
25cos
t
，
0, 2
，利用三角函数知识可求出
y
f t
的最大值；
法二：令
25
x
t
，y
t
，将问题转化为已知
2
2
25
0,
0
x
y
x
y
，求
5 2
z
AD
x
y
的最大值，
利用数形结合思想可求出AD 的最大值.
【详解】（1）因为圆E 的半径为
50
30
OB
OE
t
，所以
30
CD
米，
在
2
1
50
49
y
x
中令
30
y
，得
14 5.
OD
在圆
2
2
2
:
20
30
E x
y
中，令
0
y
得
10 5
AO
，
所以
10 5
14 5
24 5
AD
AO
OD
米；
（2）由圆E 的半径为
50
OB
OE
t
，得
50
.
CD
t
在
2
50
y
ax
中，令
50
y
t
，得
t
OD
a
，
50
.
t
DF
OF
OD
t
a
由题意知50
75
t
t
a
对
0,25
t
恒成立，所以
1
25
t
a
t
恒成立.
当
25
t
t
时，即当
25
t
时，
25
t
t
取得最小值10，故
1
10
a
，解得
1
100
a
.
因此，实数a 的取值范围是
1 ,
100
；
（3）当
1
25
a
时，
5
.
OD
t
又圆E 的方程为
2
2
2
50
x
y
t
t
，令
0
y
，得
10 25
x
t
，
所以
10 25
OA
t
，从而
10 25
5
.
AD
t
t
下求
10 25
5
0
25
f t
t
t
t
的最大值.
方法一：令
2
25cos
t
，
0, 2
，
则
10 25
5
10 5sin
5 5cos
25 5 sin
AD
t
t
，
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其中是锐角，且
1
tan
2
，从而当
2
时，AD 取得最大值25 5 ；
方法二：令
25
x
t
，y
t
，则题意相当于：已知
2
2
25
0,
0
x
y
x
y
，求
5 2
z
AD
x
y
的最
大值.
当直线
2
5
z
y
x
与圆弧
2
2
25
0,
0
x
y
x
y
相切时，直线
2
5
z
y
x
在y 轴上的截距最大，此时z 取
最大值，且有
2
2
5
10
5
z
，
0
z
，解得0
25 5
z
，
因此，z 的最大值为25 5.
答：当
5
t
米时，AD 的最大值为25 5 米.
3.已知ABC
为斜三角形．
(1)证明：tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
；
(2)若ABC
为锐角三角形，sin
2sin
sin
C
A
B
，求tan
tan
tan
A
B
C
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；
（2）推导出tan
tan
2 tan
tan
A
B
A
B
，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得tan
tan
tan
A
B
C
的最小
值.
【详解】（1）证明：
180
A
B
C
，所以
tan
tan
A
B
C
．
因为
90
C
，所以tan
tan
1
A
B ，所以
tan
tan
tan
1
tan
tan
A
B
A
B
A
B
．
由tan
tan
tan
1
tan
tan
A
B
C
A
B
，可得tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
．
（2）解：因为
sin
sin
o
si
c s
cos sin
n
C
A
B
A
B
A
B
，
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所以sin
cos
cos
sin
2sin
sin
A
B
A
B
A
B
，可得tan
tan
2 tan
tan
A
B
A
B
．
由（1）得tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
2
2 tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
1
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
．
因为ABC
为锐角三角形，由tan
tan
tan
0
1 tan
tan
A
B
C
A
B
可知tan
tan
1
0
A
B
，
设tan
tan
1
A
B
t
，则
2
2
1
1
1
tan
tan
tan
2
2
2 2
2
8
t
A
B
C
t
t
t
t
t
，
当且仅当
1
t 时取等号，再由（1）可得
tan
tan
2tan
tan
2 2
tan
4
tan
tan
1
tan
tan
1
2 1
A
B
A
B
C
A
B
A
B
，
此时
tan
tan
4
tan
tan
2
A
B
A
B
，解得
tan
2
2
tan
2
2
A
B
或
tan
2
2
tan
2
2
A
B
时，
即当
tan
2
2
tan
2
2
tan
4
A
B
C
或
tan
2
2
tan
2
2
tan
4
A
B
C
时，等号成立，
故tan
tan
tan
A
B
C
的最小值为8.
4.雨过天晴时，我们常能见到天空的彩虹，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现
象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线1l 经折射进入该球体内部，折射光线2l 经一次内部反射形成反射光线3l ，再折射出球
体外得到折射光线4l ．当
1l ∥4l 时，则称为光线4l 为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线1l 经折射进入该球体内部，折射光线2l 经两次内部反射形成反射光线3l ，4l ．再折射
出球体外得到折射光线5l ，当
1l ∥5l 时则称为光线5l 为霓．
图1
图2
图3
可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
III．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入
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射角与反射角，则入射角等于反射角；
IV．从介质1 射入介质2 发生折射时，入射角与折射角折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2
相对介质1 的折射角，即
sin
sin
．
设球半径r=1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为．圆弧对光线入射或折射时，其
反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3 中，入射光线1l 经入射点P 进入球内得到折射光线2l ，过P 的圆O切线为l ，过点P 的半径所在
直线为法线，设入射角
3
，若球介质的折射率
3
，求折射角大小；
（2）图1 中，设初始入射光线1l 的入射角为，球介质的折射率=1.5．折射光线4l 为虹，求cos；
（3）图2 中，设初始入射光线1l 的入射角为，球介质的折射率
46
39
，折射光线5l 为霓，求cos．
【答案】（1）
6
π
β
；（2）1
8 ；（3）9 13
169
或
3
2
443
1116
2
1368
712
4 443
.
【分析】（1）根据
sin
sin
，代入数据，即可得答案.
（2）根据圆的对称性、反射及虹的性质可得
2
，进而可求得答案；
（3）根据圆的对称性、反射及虹的性质可得,
的关系，结合三角恒等变换即可得解.
【详解】（1）由题意得
sin
3
sin
，所以
3
sin
1
2
sin
2
3
3
，
因为
0, 2
，所以
6
π
β
（2）连接AO 并延长，如图，由圆的对称性、反射及虹的性质，可得
1
2
/ / / /
OH
l
l ，
所以
2
2
POH
APO
，
所以
2
sin
sin 2
3
3
1
2cos
cos
cos
2cos
1
sin
sin
2
4
8
；
（3）过点O 作
1
2
/ / / /
OH
l
l ，如图，由圆的对称性、反射及虹的性质，
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可得
/ /
,
,
AB
PQ
POH
APO
PAO
OAB
，
所以
,
2
OPQ
OPQ
APO
PAO
OAB
，
所以
3
2
，
3
2
，
所以
3
2
2
sin
cos
sin
cos
sin
2sin
cos
sin
3
3
cos
sin
sin
2
sin
2
3
2
3
2
2
3sin
cos
cos
3tan
1
46
tan
tan
39
sin
sin
cos
，
所以
2
2
46tan
117 tan
46tan
39
0
，
所以
2
2tan
3
23tan
24tan
13
0
，
因为
3
,
2
2
，所以
,
4 2
，所以
tan
1, 3
，
所以
3
tan
2
或12
443
23
，
又
2
2
3
2
3sin
sin
tan
cos
cos
3
sin 3
3sin
cos
sin
2
1
tan
，
当
3
tan
2
时，
3 13
sin
13
，
9 13
cos
169
；
当
12
443
tan
23
时，
2
587
24 443
tan
529
，
12
443
sin
1116
24 443
，
所以
36
3 443
12
443
587
24 443
529
1116
24 443
1116
cos
24 443
1116
24 443
529
3
2
443
1116
1368
71
3
2
24 44
.
5.英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用
一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，
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如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固
定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，
激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上
的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用
此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P 处，
从P 出发的光线经过镜面（点M 处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q 处，镜面绕M 点顺时针旋转a
角后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，若△PMQ 是正三角形．PQ
a
QQ
b
，
（如图3），则下列等式
中成立的是（
）
A．
3
tan
2
b
a
b
B．
3
tan
2
a
a
b
C．
3
tan 2
2
b
a
b
D．
3
tan 2
2
a
a
b
【答案】C
【分析】过点M 作MD
PQ
，则
1
2
DQ
a
b
，
3
2
MD
a
，
60
2
MQ D
，所以
3
tan 60
2
2
a
a
b
，
即可求解tan 2．
【详解】过点M 作MD
PQ
，因为△PMQ 是正三角形．PQ
a
QQ
b
，
则
1
2
DQ
a
b
，
3
2
MD
a
，
60
2
MQ D
所以
3
3
2
tan
tan 60
2
2
2
a
MD
a
MQ D
a
DQ
a
b
b
则tan 60
tan 2
3
tan 2
3
1
tan 60
tan 2
2
1
3 tan 2
a
a
b
，解得
3
tan 2
2
b
a
b
故选：C
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1.已知α为锐角，
1
cos
3
7
π
，则cos（
）
A．11
14
B．13
14
C．3 3
14
D．5 3
14
【答案】B
【分析】确定角度范围得到sin
3
7
π
4 3
，变换
π
π
cos
cos
3
3
，展开计算得到答案.
【详解】α为锐角，则
π
π 5π
,
3
3
6
，故
2
sin
1 co
π
s
3
3
7
π
4 3
，
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
sin
3
3
3
3
3
3
1
1
4 3
3
13
7
2
7
2
14
.
故选：B
2．已知
π
3
sin
cos 6
3
，则
π
cos 2
3
（
）
A．
7
9
B．7
9
C．
1
3
D．1
3
【答案】B
【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式、二倍角公式求解即可.
【详解】因为
π
π
π
sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
6
6
6
3
3
π
3
sin
cos
3sin
2
2
6
3
，
所以
π
1
sin
6
3
，
所以
2
π
π
π
7
cos 2
cos 2
1 2sin
3
6
6
9
.
故选：B.
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3．已知锐角
、
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，则
等于（
）
A．3π
4
B．π
4 或3π
4
C．π
4
D．π
2
【答案】C
【分析】由
π
0,
)
2
，
（
，利用同角三角函数的关系算出cos、sin 的值，进而根据两角和的余弦公式算
出
2
cos(
)
2
，结合
0,π)
（
可得
的值．
【详解】因为
π
0,
)
2
、
（
满足
5
3 10
sin
,cos
5
10
，
所以
2
2 5
cos
1
sin
5
，
2
10
sin
1 cos
10
.
由此可得
3 10
2 5
10
5
2
cos(
)
cos
cos
sin
sin
10
5
10
5
2
.
又因为
0,π)
（
，所以
π
4
，
故选：C.
4．已知
π
0
2
，且
12
cos
13
，
3
cos2
5
，则
cos
（
）
A．16
65
B．33
65
C．56
65
D．63
65
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用同角公式及和角的余弦公式求解作答.
【详解】由
π
0
2
，得
π
0
2
，又
12
cos
13
，则
2
12
5
sin
1 (
)
13
12
，
而0
2
π
，
3
cos2
5
，则
2
3
4
sin 2
1 ( )5
5
，
所以
cos
cos[(
)
2 ]
cos(
)cos2
sin(
)sin 2
12
3
5
4
16
13
5
13
5
65
.
故选：A
5．已知，均为锐角，且tan
3
，
3
sin
5
，则cos （
）
A．13 10
50
B．
10
10
C．9 10
50
D．
10
10
或13 10
50
【答案】B
【分析】由条件结合三角函数同角关系式求sin
,cos
，再由三角函数的性质求出
的范围，再利用两
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角差的余弦公式，由
cos
cos
求出结果.
【详解】因为为锐角，且tan
3
，所以sin
3cos
，又
2
2
sin
cos
1
，
所以
3 10
sin
10
，
10
cos
10
.
因为
sin
sin
，且0
π
，所以
为钝角.
因为
3
sin
5
，所以
4
cos
5
，
则
cos
cos
cos
cos
sin
sin
4
10
3
3 10
10
5
10
5
10
10
.
故选：B.
6．已知
3
cos
75
2
3
，则
cos
30
的值为（
）
A．1
3
B．
1
3
C．2
3
D．
2
3
【答案】A
【分析】由二倍角公式可求得
cos 150
的值，结合诱导公式
cos 30
cos 150
即可求得结果.
【详解】因为
3
cos
75
2
3
，
所以
2
2
3
1
cos 150
2cos
75
1
2
1
2
3
3
，
所以
1
1
cos 30
cos 180
150
cos 150
3
3
.
故选：A.
7．已知
π
2
cos
4
3
，则sin 2等于（
）
A．1
3
B．
1
3
C．
1
9
D．1
9
【答案】C
【分析】利用
π
π
2
2(
)
4
2
、诱导公式、余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】
2
π
π
π
π
1
sin 2
sin[2(
)
]
cos2(
)
2cos (
) 1
4
2
4
4
9
.
故选：C
8.已知
7π
π, 4
，
3π
π, 2
，
π
3
cos
4
5
，
π
5
sin
4
13
，则sin(
)
的值为（
）
A．16
65
B．
16
65
C．56
65
D．
56
65
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【答案】C
【分析】根据同角关系，结合三角函数的性质可得
π
4
sin
4
5 ，
π
12
cos
4
13
，即可根据和差
角公式求解.
【详解】
π
π
π
sin(
)
cos
cos
2
4
4
π
π
π
π
cos
cos
sin
sin
4
4
4
4
，
因为
7π
π, 4
，所以
π
3π 3π
,
4
4
2
，
因为
π
3
cos
4
5
，当
π
4
在第二象限时，由于
3π
2
cos 4
2
，
又
cos
y
x
在
π ,π
2
x
上递减，且
3
2
5
2
，不符合题意．
所以
π
4
在第三象限，因为
π
3
cos
4
5
，所以
π
4
sin
4
5 ．
因为
3π
π, 2
，所以
π
3π 5π
,
4
4
4
，则
π
cos
0
4
．
因为
π
5
sin
4
13
，所以
π
12
cos
4
13
．
所以
π
π
π
π
3
12
4
5
56
cos
cos
sin
sin
4
4
4
4
5
13
5
13
65
，
即
56
sin(
)
65
．
故选：C．
9.若
5
sin 2
5
，
10
sin
10
，且
π ,π
4
，
3
π,
π
2
，则
（
）
A．7π
4
B．9
4
C．4π
3
D．5π
3
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有
cos
cos 2
，根据三角函
数值确定
的值.
【详解】
sin 2
2sin
cos
0
，
sin
,cos
符号相同，
又
π ,π
4
，
π π
,
4 2
，
π
2
, π
2
，
由
5
sin2
5
可得
2 5
cos2
5
，
又
3π
π, 2
，
π 5π
,
2
4
，
10
sin
0
10
，
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所以
π ,π
2
，
3 10
cos
10
，
cos
cos 2
cos2 cos
sin 2 sin
2 5
3 10
5
10
2
5
10
5
10
2
，
由
π π
,
4 2
，
3π
π, 2
，得
5π ,2π
4
，
7π
4
，
故选：A．
11.已知
0,π
，若
5π
sin2
cos
4
，则
π
tan 2
2
（
）
A．1
B．
3
3
C．
3
D．
3
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换可得出关于
π
cos
4
的二次方程，求出
π
4
的取值范围，求出
π
cos
4
的
值，可求得角的值，代值计算可得出
π
tan 2
2
的值.
【详解】因为
5π
π
π
sin2
cos
cos
cos 2
4
4
2
，
所以，
2
π
π
2cos
cos
1
0
4
4
，
因为
0,π
，则π
π
5π
4
4
4
，所以，
π
2
1
cos
4
2
，
故
π
1
cos
4
2
，所以，
π
2π
4
3
，则
5π
12
，
故
π
5π
π
4π
π
π
tan 2
tan
tan
tan
π
tan
3
2
6
2
3
3
3
.
故选：C.
12.设
π
0
2
，且
π
3
sin
6
5
，则
π
sin
12
．
【答案】7 2
10
/ 7
2
10
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出
π
cos
6
的值，再利用两角和的正弦公式可求得
π
sin
12
的
值.
【详解】因为
π
0
2
，则
π
π
π
6
6
3
，
因为
π
3
sin
6
5
，所以
2
2
π
π
3
4
cos
1 sin
1
6
6
5
5
，
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所以，
π
π
π
π
π
π
π
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
6
4
6
4
6
4
3
2
2
4
7 2
5
2
2
5
10
.
故答案为：7 2
10
.
13．已知α，β都是锐角，
5
cos
13
，
3
sin
5
=
，则sin
.
【答案】9 130
130
【分析】先确定
,
的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得
cos
和sin(
)
的
值，然后根据2
(
)+(
)
，并结合两角和的余弦公式，得解；
【详解】因为与都是锐角，
所以
π π
,
2 2
，
0,π
，
又
5
3
cos(
)
,sin(
)
13
5
，
所以
π
0, 2
，
π
0 2
，
，
所以
2
4
cos
1 sin
5
，
2
12
sin(
)
1
cos (
)
13
，
所以
4
5
3
12
16
cos2
cos
5
13
5
13
65
；
2
16
cos2
1
2sin
65
,因为都是锐角，
所以
9 130
sin
130
.
故答案为: 9 130
130
.
14.已知函数
2
π
π
3
sin
sin
3 cos
2
3
4
f x
x
x
x
，xR .
(1)求
f
x 的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
(2)求
f
x 在闭区间
π π
,
4 4
上的最大值和最小值，
【答案】(1)最小正周期为π ，对称轴方程为
5π
π
Z
12
2
k
x
k
，对称中心坐标为
π
π ,0
Z
6
2
k
k
(2)最大值为1
4 ，最小值为
1
2
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得
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出结论.
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得
f
x 在闭区间
π π
,
4 4
上的最大值和最小值.
【详解】（1）解：因为函数
2
π
3
cos
sin
3 cos
3
4
f x
x
x
x
2
2
1
3
3
1
3
3
cos
sin
cos
3 cos
sin 2
cos
2
2
4
4
2
4
x
x
x
x
x
x
1
3 1
cos2
3
1
3
1
π
sin 2
sin 2
cos2
sin 2
4
2
2
4
4
4
2
3
x
x
x
x
x
所以函数
f
x 的最小正周期为
2π
π
2
T
，
令
π
π
2
π,
Z
3
2
x
k
k
，可得对称轴方程为
5π
π ,
Z
12
2
k
x
k
；
再令
π
π,
Z
x
k
k
2
3
，解得
π
π ,
Z
6
2
k
x
k
，
所以函数
f
x 对称中心坐标为π
π ,0 ,
Z
6
2
k
k
.
（2）解：由（1）知，函数
1
π
sin 2
2
3
f x
x
，
因为
π π
,
4 4
x
，可得
π
5π π
2
,
3
6
6
x
，则
π
1
sin 2
1,
3
2
x
，
可得
1
π
1 1
sin 2
,
2
3
2 4
f x
x
.
所以函数
f
x 在闭区间
π π
,
4 4
上的最大值为1
4 ，最小值为
1
2
.
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