等差数列
1．（2025·四川成都·一模）在等差数列
na
中，
3
3
a = ，
4
6
2
a
a
+
=
，则
7a = （ ）
A．2
-
B．1
-
C．1
D．2
【答案】B
【详解】在等差数列
na
中，
4
6
3
7
a
a
a
a
+
=
+
，
7
4
6
3
1
a
a
a
a
+
-
\
=
= - .
故选：B
2．（24-25 高二下·河北衡水·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
10
100
S
=
，
10
19
a
=
，则
20
S
= （ ）
A．320
B．400
C．480
D．560
【答案】B
【详解】由
10
100
S
=
，得
1
10
10(
)
100
2
a
a
+
=
，而
10
19
a
=
，解得
1
1
a = ，公差
10
1
2
10 1
a
a
d
-
=
=
-
，
所以
20
1
20(20 1)
20
400
2
S
a
d
-
=
+
=
.
故选：B
3．（24-25 高二下·广东韶关·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
3
6
2
6
S
S
=
=
，则
9
S = （ ）
A．9
-
B．6
-
C．3
-
D．9
【答案】A
【详解】由题意可得
3
6
S =
，
3
3
S =
，
因为等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
由等差数列片断和的性质可知
3S 、
6
3
S
S
-
、
9
6
S
S
-
成等差数列，
所以
6
3
3
9
6
2 S
S
S
S
S
-
=
+
-
，所以
9
6
3
3
3
3 3
3 6
9
S
S
S
=
-
= ´ - ´
= - .
故选：A.
4．（24-25 高二下·四川资阳·期末）在等差数列
na
中，若
2
8
10
a
a
+
=
，
4
4
a =
，则公差d =（ ）
A．2
-
B．1
-
C．1
D．2
【答案】C
【详解】由等差数列的性质可得
2
8
5
2
10
a
a
a
+
=
=
，则
5
5
a =
，故
5
4
5
4
1
d
a
a
=
-
=
-
= .
考点一
等差数列通项公式、求和公式、特征值的计算
故选：C.
5．（24-25 高二下·江西·阶段练习·多选）等差数列
na
的前n 项和为
2
4
10
15
,
20,
n
S a
a
S
S
+
=
=
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
8
5
a =
B．
7
na
n
=
+
C．当
12
n =
时，
n
S 取得最大值
D．若
cos π
n
n
b
a
n
=
，则数列
nb
的前36 项和
36
18
T
= -
【答案】ACD
【详解】在等差数列
na
中，有
2
4
3
3
2
20,
10
a
a
a
a
+
=
=
\
=
，
15
10
11
12
13
14
15
13
13
5
0,
0
S
S
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
+
+
+
=
=
\
=
，
所以
8
3
13
8
2
10,
5
a
a
a
a
=
+
=
\
=
，故A 正确；
又
13
na
n
=
-
，故B 错误．
当1
12
n
£
£
时，
0
na >
；当
13
n =
时，
0
na =
；
当
14
n ³
时，
0
na <
，
故当
12
n =
或13 时，
n
S 取得最大值， C 正确，
易得
( 1) (13
)
n
nb
n
= -
-
，
则
36
12
11 10
9
22
23
( 1) 18
18
T
= -
+
-
+
-
+
-
= -
´
= -
L
，D 正确．
故选：ACD.
6．（24-25 高二下·甘肃张掖·期末·多选）数列
na
为等差数列，
n
S 为其前n 项和.已知
4
5
a = - ，
10
1
a
= ，则下列结
论正确的有（ ）
A．
7
2
a = -
B．公差
1
d =
C．
5
30
S =
D．当
8
n = 或
9
n =
时，
n
S 最小
【答案】ABD
【详解】因为
4
5
a = - ，
10
1
a
= ，所以
4
10
7
5 1
4
2
a
a
a
+
= - + = - =
，解得
7
2
a = - ，故A 正确.
设等差数列
na
的公差为d，则
10
4
1
5
1
10
4
6
a
a
d
- -
-
=
=
=
-
，故B 正确.
对于选项C，D，法一：因为
1
4
3
5
3
8
a
a
d
=
-
= - -
= - ，
所以
2
1
1
17
8
2
2
2
n
n n
S
n
n
n
-
= -
+
=
-
，
而
5
5 4
8 5
30
2
S
´
= - ´ +
= -
；由于二次函数
2
1
17
2
2
y
x
x
=
-
的图象开向上，
且对称轴为直线
17
2
x =
，所以当
8
n = 或
9
n =
时，
n
S 最小，故C 错误，D 正确.
法二：因为
1
4
3
5
3
8
a
a
d
=
-
= - -
= - ，
所以
1
1
9
na
a
n
d
n
=
+
-
=
-
，故
3
6
a = - ，
则
1
5
5
3
5
5
5
6
30
2
a
a
S
a
+
´
=
= ´
= ´ -
= -
；
因为
9
na
n
=
-
，所以当
8
n £
时，
0
na <
，且
9
0
a =
，
当
9
n >
时，
0
na >
，所以当
8
n = 或
9
n =
时，
n
S 最小，故C 错误，D 正确.
故选：ABD.
7．（2024·上海·三模）设
na
是等差数列，其前n 项和为
n
S ．若
5
6
a =
，
5
20
S =
，则
9a =
．
【答案】10
【详解】根据等差数列的前n 项和公式
1
2
n
n
n a
a
S
+
=
已知
5
6
a =
，
5
20
S =
，代入可得：
1
5
1
1
5
6
20
5
6
40
2
2
a
S
a
a
+
=
=
Þ
+
=
Þ
=
由等差数列的通项公式
1
1
na
a
n
d
+
-
=
将
5
1
6,
2
a
a
=
=
代入：
2
5 1
6
1
d
d
+
-
=
Þ
=
则
9
1
8
2
8 1
10
a
a
d
=
+
=
+ ´ =
.
故答案为：10.
8．（24-25 高一下·上海浦东新·期末）等差数列
na
中
2
4
5,
26
a
S
=
=
，则通项公式
na =
．
【答案】3
1
n -
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，所以
2
1
1
4
1
5
2
4
6
26
3
a
a
d
a
S
a
d
d
=
+
=
=
ì
ì
Þ
í
í
=
+
=
=
î
î
，
所以
2
1
3
3
1
na
n
n
+
+
-
´ =
- ，
故答案为：3
1
n - .
9．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
2
4
a =
，
7
0
S =
，则
na
的公差
为 .
【答案】2
-
【详解】设等差数列
na
的公差为d ，
因为
7
0
S =
，所以
4
7
0
a =
，即
4
0
a =
，
又
2
4
a =
，所以
4
2
2
4
a
a
d
-
=
= - ，解得
2
d = - .
故答案为：2
- .
10．（24-25 高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
1
5
2
15 ,2
4
3
2
S
a
a
a
=
+
=
+ ，则
4
a =
.
【答案】4
【详解】由等差数列的性质可知
2
3
15
2
3a
S
=
=
，即
2
5
2
a =
，
由
1
5
2
2
4
3
a
a
a
+
=
+ ，得
3
2
4
4
3
a
a
=
+ ，
即
3
13
4
a =
，又
4
2
3
2
a
a
a
+
=
，
所以
4
4
a =
.
故答案为：4.
11．（24-25 高二下·河南开封·期末）在等差数列
na
中，
2
6
6,
2
a
a
=
=
．
(1)求
8a ；
(2)记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，求
n
n
S
a
=
时n 的值．
【答案】(1)0
(2)1 或16
【详解】（1）由
2
6
6,
2
a
a
=
=
，所以公差
6
2
2
6
1
6
2
6
2
a
a
d
-
-
=
=
= -
-
-
，
所以
2
2
1
8
na
a
n
n
=
+
-
´ -
= - + ，所以
8
0
a =
.
（2）由（1）可得
1
7
8
15
2
2
2
n
n
n a
a
n
n
n
n
S
+
-
+
-
=
=
=
，
当
n
n
S
a
=
时，即
15
8
2
n
n
n
-
= - +
，
即
2
17
16
0
n
n
-
+
=
，解得
16
n =
或
1
n = .
故当
n
n
S
a
=
时，n 为16或1.
12．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列
na
的前n 项和
n
S 满足
5
2
5
25,
12
S
a
a
=
+
=
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
4
1
n
n
b
S
=
- ，求
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
n
n
T
n
=
+
【详解】（1）由
1
5
5
3
5
25
5
2
a
a
S
a
+
=
=
=
可得
3
5
a =
，
由
2
5
3
4
12
a
a
a
a
+
=
+
=
可得，
4
7
a =
，
2
=
d
，
故
7
2
4
2
1
na
n
n
=
+
-
=
- .
（2）由（1）得
2
1
2
1
2
n
n
n
S
n
+
-
=
=
，
故
2
1
1
1
1
1
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
æ
ö
=
=
=
=
-
ç
÷
-
-
-
+
-
+
è
ø
n
n
b
S
n
n
n
n
n
则
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
1
n
n
T
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
-
+
+
è
ø
L
.
13．（24-25 高二下·海南·阶段练习）已知等差数列
na
满足
3
17
5
8,
3
a
a
a
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
1
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
2
2
na
n
=
+
；
(2) 2(
1)
n
n +
.
【详解】（1）若等差数列的公差为d ，结合题设有
3
3
14
3(
2 )
a
d
a
d
+
=
+
，
所以8 14
24
6
d
d
+
=
+
，可得
2
=
d
，
故
3
(
3)
2
2
na
a
n
d
n
=
+
-
=
+
.
（2）由（1）得
1
1 1
1
(
)
2 (
1)
2
1
nb
n n
n
n
=
=
-
+
+
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(1
)
2
2
2
3
1
2
1
2(
1)
n
n
T
n
n
n
n
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
+
+
+
L
.
14．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0 的等差数列
na
中，已知
1a ，
2a ，
5a 成等比数列，
2
2
1
N
n
n
a
a
n
*
=
+
Î
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
π
sin
cos π
2
n
n
n
b
a
a
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T ．
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
2
n
T
n
= -
【详解】（1）解：设等差数列
na
的公差为
0
d d ¹
，
因为
*
2
2
1
n
n
a
a
n
N
=
+
Î
，所以
2
1
2
1
a
a
=
+ ，即
1
1
2
1
a
d
a
=
+
+ ，即
1
1
d
a
=
+
又因为
1
2
5
,
,
a a a 成等比数列，所以
2
2
1
5
a
a a
=
，即
2
1
1
1
4
a
d
a
a
d
+
=
+
，即
1
2
d
a
=
，
联立方程组
1
1
1
2
d
a
d
a
=
+
ì
í
=
î
，解得
1
1
a = ，
2
=
d
，
所以数列
na
的通项公式是
2
1
na
n
=
- .
（2）解：由（1）知，
1
π
π
sin
cos π
sin
2
1
cos π 2
1
cos π
cos2 π
2
2
n
n
n
b
a
a
n
n
n
n
+
æ
ö
é
ù
é
ù
=
+
=
×
+
+
-
=
-
ç
÷
ë
û
ê
ú
è
ø
ë
û
，所以
2
1
2
2
cos π
cos2π
cos 2
1 π
cos2 π
n
n
T
b
b
b
n
n
=
+
+
+
=
+
+
+
-
+
L
L
cos2π
cos4π
cos 4
2 π
cos4 π
n
n
é
ù
-
+
+
+
-
+
ë
û
L
，
因为
cos
2
1 π
cos2 π
cos2 π
cos2 π
0
n
n
n
n
é
ù
-
+
= -
+
=
ë
û
，即cos2 π
1
n = ，
可得
cos π
cos2π
2
co
1 π
cos2
s
π
0
n
n
+
+×××+
-
+
ù
ë
û =
é
，
cos2π
cos4π
cos
4
2 π
cos4 π
2
n
n
n
é
ù
+
+×××+
-
+
=
ë
û
，
所以
2
2
n
T
n
= -
，所以数列
nb
的前2n 项的和为
2
2
n
T
n
= -
．
1．（24-25 高二下·云南·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
4
4
a =
，则
7
S = （ ）
A．21
B．23
C．28
D．30
【答案】C
【详解】由题意，
*
N
nÎ
，
在等差数列
na
中，前n 项和为
n
S ，若
4
4
a =
，
1
7
2
6
3
5
4
2
2 4
8
a
a
a
a
a
a
a
+
=
+
=
+
=
=
´
=
，
∴
7
1
2
3
4
5
6
7
3 8
4
28
S
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
= ´ +
=
，
故选：C.
2．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正
一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305 石，分给正一
品、从一品、正二品、从二品、正三品这5 位官员，依照品级递减13 石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”
在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m 石，正一品官员的俸粮为n 石，且m，3a，n 组成新的等差数列，则实
数a 的值为（ ）.
A．146
B．145
2
C．45
2
D．91
【答案】C
【详解】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为,
13,
26,
39,
52
n n
n
n
n
-
-
-
-
，
则
13
26
39
52
305
n
n
n
n
n
+
-
+
-
+
-
+
-
=
，解得
87
n =
，
39
48
m
n
=
-
=
，
又
,3 ,
m
a n 组成新的等差数列，得6a
n
m
=
+
，解得a= 45
2 .
故选：C
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知等比数列
na
的公比
1
q ¹ ，前n 项和为
n
S ，若
3
14
S =
，
1
2
3
3 ,
,
a a
a
-
成等差数
列，则
na = （ ）
A．
1
2 3n-
´
B．3n
C．
1
2
3
n-
´ -
D．
3
n
-
【答案】C
【详解】设等比数列
na
的首项为
1
1
0
a a ¹
，公比为
1
q q ¹
，
考点二
等差数列通项公式的性质
由题意可得
3
2
1
1
1
3
2
2
1
3
1
1
14
2
14
1
3
2
3
2
3
a
q
a
q
q
a
S
q
q
q
q
a
a
a
ì
-
ì
+
+
=
=
ì
ï
=
=
ï
Þ
Þ
í
í
í
-
= -
=
-
î
ï
ï
î
=
-
î
，
所以
1
2
3
n
na
-
=
´ -
.
故选：C
4．（24-25 高二下·北京海淀·期末）设
na
是所有项都不为0 的无穷等差数列，则“
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为递减数列”是“
na
为递
增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若
1
{
}
na
递减，则
1
1
1
1
1
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
d
a
a
a a
a a
+
+
+
+
-
-
-
=
=
<
因此需要满足：
0
d >
且
1
0
n
n
a a + >
恒成立；
若
1
0
a >
，
0
d >
，则
0
na >
对所有n 成立，
若
1
0
a <
，，
0
d >
则存在n 使得
1
0,
0
n
n
a
a +
<
>
，与
1
0
n
n
a a + >
矛盾
1
{
}
na
递减的充要条件是
1
0
a >
且
0
d >
，
即若
1
{
}
na
递减，则
na
为递增数列，充分性成立；
若
na
为递增数列，则
1
0
n
n
a
a
+ -
>
，
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+
+
+
-
-
=
，
由于不知道
1
n
n
a
a
+
的正负，故无法判断
1
1
1
n
n
a
a
+
-
的正负，
故不能得到
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为递减数列，必要性不成立，
例如
na
为以下数列：1,1,3,5,
-
L，
则
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为
1 1
1,1,
,
,
3 5
-
L ，不是递减数列，
所以“
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为递减数列”是“
na
为递增数列”的充分也不必要条件.
故选：A.
5．（2025·广西·三模）在公差不为0 的等差数列
na
中，若
3a 是
xa 与
y
a 的等差中项，则1
4
x
y
+
的最小值为（ ）
A．3
2
B．5
3
C．6
5
D．9
5
【答案】A
【详解】因为在公差不为0 的等差数列
na
中，
3a 是
xa 与
y
a 的等差中项，
所以
3
2
x
y
a
a
a
=
+
，所以
6
x
y
+
=
，
所以
1
4
1
1
4
1
4
1
4
3
5
5
2
6
6
6
2
x
x
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
y
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
当且仅当
4
y
x
x
y
=
，即
2
x =
，
4
y =
时等号成立，
所以1
4
x
y
+
的最小值为3
2 .
故选：A .
6．（24-25 高二下·湖北孝感·期中·多选）设等差数列
na
的前n 项和
1
,
0
n
S a >
，公差为
7
8
,
0
d a
a
+
>
且
7
8
0
a a <
，下
列结论正确的是（ ）
A．
0
d <
B．
7
8
0,
0
a
a
>
<
C．
8
n = 时，
n
S 最大
D．
14
15
0,
0
S
S
>
<
【答案】ABD
【详解】在等差数列
na
中，由
7
8
0
a a <
，可得
7
8
,
a a 异号，
若
0
d ³
，由
1
0
a >
，则
0
na >
，不满足题意，则
0
d <
，故A 正确；
由于
0
d <
，则数列
na
为递减数列，所以
7
8
0,
0
a
a
>
<
，故B 正确；
由于
7
n £
时，
0
na >
；
8
n ³
时，
0
na <
，
所以
7
n =
时，
n
S 最大，故C 错误；
又
1
14
14
7
8
14
7
0
2
a
a
S
a
a
+
=
=
+
>
，
1
15
15
8
15
15
0
2
a
a
S
a
+
=
=
<
，故D 正确.
故选：ABD.
7．（24-25 高二下·河北保定·期末·多选）已知等差数列
na
的公差
0
d >
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
0
na ¹
，则
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
是单调递减数列
B．若
na
*
ÎN ，则
na
是单调递增数列
C．
na
是单调递增数列
D．
2 n
a
是单调递增数列
【答案】BCD
【详解】对于A 选项，不妨取
2
7
n
a
n
=
- ，则
2
=
d
，且对任意的n
*
ÎN ，
0
na ¹
，
但
2
3
1
1
1
1
3
a
a
= -
> - =
，
3
4
1
1
1 1
a
a
= - < =
，此时数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
不单调，A 错；
对于B 选项，若
na
*
ÎN ，由于
1
0
n
n
a
a
d
+ -
=
>
，故数列
na
是单调递增数列，B 对；
对于C 选项，对任意的n
*
ÎN ，由于
1
0
n
n
a
a
d
+ -
=
>
，故数列
na
是单调递增数列，C 对；
对于D 选项，对任意的n
*
ÎN ，2
0
n
a >
，
因为
1
1
0
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
a
a
a
d
a
+
+ -
=
=
>
= ，所以
1
2
2
n
n
a
a
+ >
，故数列
2 n
a
是单调递增数列，D 对.
故选：BCD.
8．（2025·上海金山·二模）已知
na
是等差数列，若
3
7
a a
､
分别是函数
2
4
2
y
x
x
=
-
+
的两个零点，则
5a =
.
【答案】2
【详解】由题意得
3
7
a a
､
是
2
4
2
0
x
x
-
+
=
的两个根，
由韦达定理得
3
7
4
a
a
+
=
，
因为
na
是等差数列，所以
3
7
5
2
2
a
a
a
+
=
=
.
故答案为：2
9．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
5
4
2
a a
a
=
，且
3a 与
6
2a 的等差中项为5
4 ，则
4
S =
.
【答案】15
【详解】由题意可得
2
5
3
4
4
2
a a
a a
a
=
=
，解得
3
2
a =
，
因为
3a 与
6
2a 的等差中项为5
4 ，所以
3
6
5
2
2
a
a
+
=
，则
6
1
4
a =
，
得到
3
3
6
1
8
a
q
a
=
=
，解得
1
2
q =
，故
3
1
2
8
a
a
q
=
=
，
由等比数列求和公式得
4
4
1
8
1 ( )
2
15
1
1
2
S
é
ù
´
-
ê
ú
ë
û
=
=
-
.
故答案为：15.
10．（24-25 高二下·北京昌平·期末）已知
na
为等差数列，
n
S 为前n 项和. 若10 为
3a 与
8a 的等差中项， 则
10
S
=
【答案】100
【详解】由题意有
3
8
2 10
20
a
a
+
=
´
=
，所以
1
10
3
8
20
a
a
a
a
+
=
+
=
，
所以
1
10
10
10
10 20
100
2
2
a
a
S
´
+
´
=
=
=
，
故答案为：100.
11．（2025·河南·二模）已知数列
na
的各项均为正数，前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
n
S + 是1
n
S
-
与
1
n
S + 的等差中项.
(1)证明：数列
n
S
是等差数列；
(2)设
1
n
n
n
n
b
S
a
= -
×
+
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
3
n
n
+
【详解】（1）因为
1
n
S + 是1
n
S
-
与
1
n
S + 的等差中项，所以
1
1
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
= -
+
，
所以
2
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
+
= +
-
=
-
，
因为数列
na
的各项均为正数，所以
0
n
S >
，
所以
1
1
n
n
S
S +
=
- ，所以
1
1
n
n
S
S
+ -
= ，
所以数列
n
S
是公差为1，首项为
1
1
1
S
a
=
= 的等差数列；
（2）因为数列
n
S
是公差为1，首项为
1
1
S = 的等差数列，
所以
1
1
1
n
S
n
n
= +
-
´ =
，
所以
2
n
S
n
=
，当
1
n = 时，
1
1
a = ，
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
2
1
n
n
n
a
S
S
n
n
n
-
=
-
=
-
-
=
- ，
所以
2
1
na
n
=
- ,
所以
1
n
n
n
n
b
S
a
= -
×
+
，
2
1
1
2
2
3
3
4
4
2
2
n
n
n
T
S
a
S
a
S
a
S
a
S
a
= -
-
+
+
-
-
+
+
+
+
+
L
2
1
4
3
2
2
1
1
2
2
n
n
n
S
S
S
S
S
S
a
a
a
-
=
-
+
-
+
+
-
-
-
+
-
L
L
2
4
2
1
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
-
-
+
-
L
L
1
3
2
1
2
4
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
-
= -
+
+
+
+
+
+
+
L
L
1
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n a
a
n a
a
-
+
+
= -
+ ´
1
4
3
3
4
1
2
2
2
n
n
n
n
+
-
+
-
= -
+ ´
2
2
1
4
2
2
3
n
n
n
n
n
n
= -
-
+
+
=
+
12．（24-25 高二下·湖北武汉·阶段练习）已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，且满足
2S 是
2
3
,
a a 的等差中项，
3
1
a +
是
2
5
,
a a 的等差中项.
(1)求数列
na
的通项公式
(2)记
( 1)n
n
n
b
a
= -
，求数列
nb
的前n 项和
nT
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
,
,
n
n n
T
n n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
【详解】（1）设数列
na
的公差为d ，由
2S 是
2
3
a a
､
的等差中项得
2
2
3
2S
a
a
=
+
，即
1
1
2 2
2
3
a
d
a
d
+
=
+
，整理得
1
2
d
a
=
3
1
a + 是
2
5
a a
､
的等差中项得
3
2
5
2
1
a
a
a
+
=
+
，即
1
1
2
2
1
2
5
a
d
a
d
+
+
=
+
，解得
2
=
d
代入
1
2
d
a
=
，求得
1
1
a = ，故
1
1
2
1
na
a
n
d
n
=
+
-
=
-
（2）由（1）得，
( 1)
2
1
n
nb
n
= -
-
当n 为偶数时，
1
2
3
4
1
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
-
=
+
+
+
+
+
+
=
L
1 3
5
7
2
3
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
é
ù
- +
+ - +
+
-
-
+
-
=
+
+
+
=
´
=
ë
û
L
L
当n 为奇数时，则
1
n + 为偶数，
1
1
1
1,
( 1)
2
1
1
2
1
n
n
n
T
n
b
n
n
+
+
+
é
ù
=
+
= -
+
-
=
+
ë
û
1
1
1
2
1
n
n
n
T
T
b
n
n
n
+
+
=
-
=
+
-
+
= -
综上
,
,
n
n n
T
n n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
1．（24-25 高二下·河南·期中）已知等差数列
na
和
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若
3
4
2
n
n
S
n
T
n
+
=
+
，则
6
6
a
b = （ ）
A．111
13
B．37
13
C．111
26
D．37
26
【答案】B
【详解】根据等差数列性质可得
1
2
1
2
1
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
n
n
n
n
a
S
n
a
a
a
a
n
a
a
-
-
-
-
=
+
+
+
=
=
××
-
+
×+
；
所以
6
11
11
6
6
6
11
3 11
4
37
11
11
2
13
a
a
S
b
b
T
´
+
=
=
=
=
+
.
故选：B
2．（24-25 高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列
na
，
nb
的前n 项和分别为
n
S ，
nT ，若
1
2
3
n
n
S
n
T
n
+
=
+
，则
6
5
a
b =
（ ）
A．7
13
B．9
17
C．4
7
D．13
23
【答案】C
【详解】根据已知及等差数列前n 项和，设
(
1)
n
S
kn n
=
+
，
(2
3)
nT
kn
n
=
+
，
则
6
6
5
5
5
4
42
30
4
65
44
7
a
S
S
k
k
b
T
T
k
k
-
-
=
=
=
-
-
.
故选：C
3．（24-25 高二下·江西上饶·阶段练习）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
3
12
S =
，
6
3
24
S
S
-
=
，则
12
9
S
S
-
=
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．120
【答案】B
【详解】由等差数列片段和的性质，
3S ，
6
3
S
S
-
，
9
6
S
S
-
，
12
9
S
S
-
成等差数列，
故
9
6
6
3
3
2(
)
36
S
S
S
S
S
-
=
-
-
=
，则
12
9
9
6
6
3
2(
(
)
48
)
S
S
S
S
S
S
-
=
-
-
-
=
.
故选：B
4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
2
3,
0,
4
m
m
m
S
S
S
+
+
= -
=
=
，则m = （ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【详解】方法一：由题意得：
1
1
3
m
m
m
a
S
S
+
+
=
-
=
，
2
2
1
4
m
m
m
a
S
S
+
+
+
=
-
=
，
考点三
等差数列求和公式的性质
则等差数列的公差
2
1
1
m
m
d
a
a
+
+
=
-
= ，
则
1
3
a
m
=
-
，
1
3
3
2
m
m m
S
m
m
-
=
-
+
= - ，
所以
6
m =
.
方法二：因为等差数列的性质即
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列，
则
2
1
2
2
1
m
m
m
S
S
S
m
m
m
+
+
+
=
+
+
，得3
4
0
2
m
m
- +
=
+
，解得
6
m =
.
故选：C
5．（24-25 高二下·福建福州·期末）等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
3
6
9,
36
S
S
=
=
，则
9S 为（
）
A．45
B．81
C．90
D．162
【答案】B
【详解】等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
则
3
6
3
9
6
,
,
S S
S S
S
-
-
成等差数列，所以
6
3
3
9
6
2 S
S
S
S
S
-
=
+
-
，
即
9
2
36
9
9
36
S
´
-
=
+
-
，解得
9
81
S =
.
故选：B.
6．（24-25 高二下·四川甘孜·期末）已知等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
4
8
8,
40
S
S
=
=
，则
12
S
= （ ）
A．52
B．96
C．106
D．12
【答案】B
【详解】由等差数列
na
的性质可知：
4
8
4
12
8
,
,S
S
S
S
S
-
-
成等差数列，即
12
8,32,
40
S
-
成等差数列，
所以
12
12
8
40
2 32
96
S
S
+
-
=
´
Þ
=
.
故选：B.
7．（24-25 高二下·重庆·期末·多选）等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
2
n
S
n
Bn
C
=
-
+
，
1
8
a = - ，则下列选项
中正确的是（ ）
A．
0
C =
，
9
B = -
B．等差数列
na
的公差
2
=
d
C．使
0
n
S >
成立的n 最小为10
D．当
9
2
n =
时，
n
S 取得最小值
【答案】BC
【详解】对于A 选项，因数列
na
为等差数列，
2
n
S
n
Bn
C
=
-
+
，则
0
C =
，且
1
8
a = - ，
则
1
1
8
S
B
= -
= - ，所以
9
B =
，A 错误；
对于B 选项，由A 知
2
9
n
S
n
n
=
-
，则
2
1
2
4
18
14
S
a
a
=
-
= -
=
+
，则
2
6
a = - ，
则公差
2
1
2
d
a
a
=
-
=
，B 正确；
对于C 选项，由
2
9
0
n
n
-
>
，得
9
n >
或
0
n < ，因为n 为正整数，所以n 最小值为10，C 正确；
对于D 选项，因为n 为正整数，所以D 错误.
故选：BC.
8．（24-25 高二下·河南驻马店·期末·多选）设
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，若
15
0
S
<
，
7
8
1
a
a < - ，则下列结论正
确的是（ ）
A．
0
d <
B．
7
8
a
a
<
C．
7
n =
时，
n
S 最大
D．使
0
n
S >
的n 的最大值为13
【答案】AC
【详解】对于AB，由题意
1
15
15
8
15
15
0
2
a
a
S
a
+
=
=
<
，即
8
0
a <
，
又
7
8
1
0
a
a < - <
，所以
7
0
a >
，且
7
8
0
a
a
+
>
，则
7
8
a
a
>
，
故
na
为递减数列，即
0
d <
，故A 正确，B 错误；
由于
7
n £
时，
0
na >
，
8
n ³
时，
0
na <
，
则
7
n =
时，
n
S 最大，故C 正确；
由
1
14
14
7
8
15
14
7
0,
0
2
a
a
S
a
a
S
+
=
=
+
>
<
，
所以使
0
n
S >
的n 的最大值为14，故D 错误.
故选：AC．
9．（24-25 高二下·海南·阶段练习·多选）设等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
3
6
12
10,
0,
0
a
a
S
= -
<
>
，则（ ）
A．
5
50
S = -
B．
7
0
a >
C．
11
n
S
S
³
D．
3
10
a
a
<
【答案】AB
【详解】A：因为数列
na
是等差数列，
所以
1
5
3
5
5
5 2
10
5 2
50
2
2
2
a
a
a
S
+
´ ´ -
×
=
=
=
= -
，因此本选项正确；
B：因为数列
na
是等差数列，
所以由
1
12
12
1
12
6
7
12
0
0
0
0
2
a
a
S
a
a
a
a
+
>
Þ
>
Þ
+
>
Þ
+
>
，而
6
0
a <
，
所以
7
0
a >
，因此本选项正确；
C：由上可知：
6
0
a <
，且
7
0
a >
，设等差数列公差为d ，所以
0
d >
，
而且从首项到第六项均为负，从第七项起，均为正数，因此前六项和最小，故
6
n
S
S
³
，因此本选项不正确；
D：由上可知：
6
0
a <
，且
7
0
a >
，可得
10
10
3
0
10
10
70
70
10
40
10
40
7
10
7
10
6
0
6
3
6
3
6
3
6
3
d
d
d
d
a
d
-
+
<
ì
Þ
<
<
Þ
<
<
Þ
< -
+
<
Þ
<
<
í-
+
>
î
10
10
40
6
3
a
Þ
<
<
，因此无法判断
3
10
,
a
a
之间的大小关系，
故选：AB
10．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
na
中，
1
10
a =
，
1
4
2
n
n
a
a
n
-
=
-
³
，则数列
na
的前n 项和的最大值
等于
【答案】18
【详解】当
2
n ³
时，
1
4
n
n
a
a -
-
= - ，且
1
10
a =
，
所以，数列
na
是首项为10，公差为4
- 的等差数列，
则数列
na
的前n 项和为
2
2
1
10
4
2
12
2
3
18
2
n
n n
S
n
n
n
n
-
=
+
´ -
= -
+
= -
-
+
，
因
*
N
nÎ
，故当
3
n =
时，
n
S 取得最大值18．
故答案为：18．
11．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）已知
n
S 是等差数列
na
的前 n 项和，
1
7
4
1
a
S
S
=
=
，
，则
n
S 的
最大值为 .
【答案】3
【详解】由等差数列性质可得：
7
4
5
6
7
6
3
0
S
S
a
a
a
a
-
=
+
+
=
=
,即
6
0
a =
，
因为
1
0
a >
,所以当且仅当
5
n <
时,
0
na >
,
所以
n
S 的最大值为
5S 或
6
S ，则
5
6
1
6
1
1
6
1
0
6
3
2
2
S
S
a
a
=
=
+
´
=
+
´
=
，
故答案为：3
12．（24-25 高二下·广东茂名·期中）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
1
2
16
n
n
S
a
=
-
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
3log
n
n
b
a
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，求数列
nb
的前n 项和
nT ，并求
nT 的最大值.
【答案】(1)
5
2n
na
-
=
(2)
2
3
27
2
2
nT
n
n
= -
+
，30
【详解】（1）
1
1
1
1
2
16
S
a
a
=
-
=
，故
1
1
0
16
a =
¹
，
由
1
2
16
n
n
S
a
=
-
，得
1
1
1
2
16
n
n
S
a
+
+
=
-
，
两式相减并整理得
1
2
n
n
a
a
+ =
，
所以
na
为等比数列，公比为2，首项
1
1
16
a =
，
所以数列
na
的通项公式为
5
2n
na
-
=
.
（2）
5
2
2
1
3log
3log 2
15
3
n
n
n
b
n
a
-
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
nb
为等差数列，首项为12，公差为3
- .
所以
2
1
3
27
12
3
2
2
2
n
n n
T
n
n
n
-
=
+
´ -
= -
+
.
由
0
nb ³
Þ 15
3
0
n
-
³
Þ
5
n £
.
所以当
4
n =
或
5
n =
时，
nT 取得最大值.
且
1
5
5
5
2
b
b
T
+
=
5 12
0
2
+
=
30
=
.
所以当
4
n =
或5 时，
nT 取得最大值30.
13．（24-25 高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知
n
S 是等差数列
na
的前n 项和，且
2
2
15
n
S
n
n
= -
+
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)判断
na
是否为等差数列.
(3) n 为何值时，
n
S 取得最大值并求其最大值．
【答案】(1)
17
4
na
n
=
-
(2)答案见解析
(3) n 为4 时，
n
S 取得最大值，最大值28．
【详解】（1）由题意可知：
2
2
15
n
S
n
n
= -
+
，当
1
n = 时，
1
1
2 15
13
a
S
=
= - +
=
，
当
2
n ³
时，
2
2
1
2
15
[ 2(
1)
15(
1)]
17
4
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
=
-
= -
+
- -
-
+
-
=
-
，
当
1
n = 时，显然成立，∴数列
na
的通项公式
17
4
na
n
=
-
；
（2）因为
17
4
na
n
=
-
，所以
1
17
4
1
17
4
4
n
n
a
a
n
n
+ -
=
-
+
-
-
= - ，
所以
na
是以4
- 为公差的等差数列；
（3）
2
2
15
225
2
15
2(
)
4
8
n
S
n
n
n
= -
+
= -
-
+
，
由
N
n
*
Î
，则
4
n =
时，
n
S 取得最大值28，
∴当n 为4 时，
n
S 取得最大值，最大值28．
14．（24-25 高二下·广东江门·期中）设
n
S 为等差数列
na
的前n 项和，若
1
3
7,
15
a
S
=
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ，并求当n 为何值时，数列
na
前n 和
n
S 最大，求其最大值；
(3)若数列
nb
的通项公式
nb
n
=
，求证：
1 2
2 3
3 4
1
1
1
1
1
1
n
n
b b
b b
b b
b b +
+
+
+
+
<
L
【答案】(1)
9
2
na
n
=
-
(2)
2
8
n
S
n
n
= -
+
，
4
n =
，最大值为16
(3)证明见解析
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d，由题意得：
所以
3
1
3 2
3
21 3
15
2
S
a
d
d
´
=
+
=
+
=
，解得
2
d = - ，
所以
7
2
1
9
2
na
n
n
=
-
-
=
-
；
（2）法一：由
9
2
0
na
n
=
-
>
得
9
2
n <
，又等差数列
na
的公差
0
d <
，
所以等差数列
na
是递减数列，因为
4
5
1
0,
1
0
a
a
= >
= - <
，所以等差数列
na
前4 和最大，
此时
4
1
4 3
4
28 12
16
2
d
S
a
´
=
+
=
-
=
；
法二：因为
2
2
1
1
8
4
16
16
2
n
n n
d
S
na
n
n
n
-
=
+
= -
+
= -
-
+
³
，
所以当
4
n =
时，
n
S 取到最大值16.
（3）
1 2
2 3
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2 3
(
1)
n
n
b b
b b
b b
n n
+
+
+
+
=
+
+
+
´
´
+
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
1
1
n
n
n
= -
+
-
+
+
-
= -
+
+
L
，
因为
1
0
n + >
，所以
1
1
1
1
n
-
<
+
，即
1 2
2 3
3 4
1
1
1
1
1
1
n
n
b b
b b
b b
b b +
+
+
+
+
<
L
.
1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列
na
中，
1
9
a =
，
4
3
a =
，设
1
2
|
|
|
|
|
|
n
n
T
a
a
a
=
+
+ ×××+
，则
21
T
= （ ）
A．245
B．263
C．281
D．290
【答案】C
【详解】等差数列
na
中，由
1
9
a =
，
4
3
a =
，得公差
4
1
2
4 1
a
a
d
-
=
= -
-
，
则
1
(
1)
2
11
na
a
n
d
n
=
+
-
= -
+
，显然当
5
n £
时，
0
na >
，当
6
n >
时，
0
na <
，
所以
21
1
2
21
1
2
5
6
7
21
|
|
|
|
|
| (
)
(
)
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+×××+
=
+
+
+
-
+
+
+
L
L
1
2
5
1
2
21
5(9 1)
21(9
31)
2(
)
(
)
2
281
2
2
a
a
a
a
a
a
+
-
=
+
+
+
-
+
+
+
=
´
-
=
L
L
.
故选：C
2．（2025·天津·高考真题）
2
8
nS
n
n
= -
+
，则数列
na
的前12项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
【答案】C
【详解】因为
2
=
8
n
S
n
n
-
+
，
所以当
1
n = 时，
2
1
1=
1
8 1
7
a
S
=
-
+ ´ =
，
当
2
n ³
时，
2
2
1=
8
1
8
1
2
9
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
n
-
é
ù
=
-
-
+
- -
-
+
-
= -
+
ë
û
，
经检验，
1
7
a =
满足上式，
所以
*
2
9
N
na
n
n
= -
+
Î
，令
2
9
0
4
na
n
n
= -
+
³
Þ
£
，
2
9
0
5
na
n
n
= -
+
£
Þ
³
，
设数列
na
的前n 项和为
nT ，
则数列
na
的前4 项和为
2
4
4
4
8 4
16
T
S
=
= -
+ ´
=
数列
na
的前12项和为
2
1
2
3
4
5
6
12
1
2
12
n
T
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
=
+
+
+
-
-
-
-
L
L
2
4
12
2
2 16
12
8 12
80
S
S
=
-
=
´
- -
+ ´
=
.
故选：C
3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列
na
是公差为2 的等差数列，且
4
7
3
a
a
=
，则数列
na
的前20 项之和为
考点四
含绝对值的等差数列求和
（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
【答案】B
【详解】因为
4
7
1
1
3
3
3
6
a
a
a
d
a
d
=
Þ
+
=
+
，即
1
1
3 2
3
6 2
a
a
+ ´
=
+ ´
，解得
1
15
a = -
，
所以
17
2
na
n
= -
+
，前n 项和
2
15
16
2
17
2
n
n
S
n
n
n =
-
-
=
-
+
，
所以数列
na
的前20 项中，前8 项为负数，后12 项为正数，
所以
1
2
20
1
2
8
9
10
20
20
8
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
S
S
+
+
+
= -
-
-
-
+
+
+
+
=
-
L
L
L
2
2
20
16 20
2
8
16 8
208
=
-
´
- ´
-
´
=
.
故选：B．
4．（24-25 高三上·天津·期中）在数列
na
中，
1
60
a = -
，
1
3
n
n
a
a
+ =
+ ，则
1
2
25
|
|
|
|
|
|
a
a
a
+
+
+
L
等于（ ）
A．630
B．648
C．660
D．675
【答案】C
【详解】依题意，由
1
3
n
n
a
a
+ =
+ ，得
1
3
n
n
a
a
+ -
=
，数列
na
是首项
1
60
a = -
，公差
3
d =
的等差数列，
则
1
(
1)
3
63
na
n
a
d
n
=
+
-
=
-
，当
21
n £
时，
0
na £
，当
21
n >
时，
0
na >
，
所以
5
1
2
1
2
25
21
2
22
|
|
|
|
(
)
|
|
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
= -
+
+
+
+
+
+
L
L
L
2
1
21
22
5
21
4
21
(
(
)
(
2(
)
660
)
2
2
2
)
60
0
3 12
a
a
a
a
= -
+
= -
+
-
+
=
+
+
+
.
故选：C
5．（24-25 高二上·天津·阶段练习）在数列
na
中，已知
1
1
20
4
n
n
a
a
a
+
= -
=
+
，
，则
1
2
3
20
a
a
a
a
+
+
+
+
=
L
.
【答案】480
【详解】由
1
4
n
n
a
a
+ =
+
，得
1
4
n
n
a
a
+ -
=
，
所以数列
na
是公差为4 的等差数列，且
1
20
a =-
，
所以
20
1
4
4
24
na
n
n
= -
+
-
´
=
-
，
2
20
4
24
2
22
2
n
n
n
S
n
n
-
+
-
=
=
-
，
当
*
1
6,
N
n
n
£
£
Î
时，
0
na £
，
*
7,
N
n
n
³
Î
时，
0
na >
，
所以
1
2
3
20
1
6
7
8
20
...
...
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
= -
-
-
+
+
+
+
L
2
2
6
20
6
20
6
2
2 20
22 20
2
2 6
22 6
480
S
S
S
S
S
= -
+
-
=
-
=
´
-
´
- ´
´
-
´
=
.
故答案为：480
6．（24-25 高二下·四川遂宁·阶段练习）已知数列
nb 满足
2
21,
n
n
b
n
T
= -
+
为
nb 的前n 项和，则
12
T =
.
【答案】104
【详解】
2
21
nb
n
= -
+
，令
0
nb =
，得
1
10 2
n =
，
又
*
nÎN ，所以当
10
n £
时，
0
nb >
，当
11
n ³
时，
0
nb <
.
当
10
n £
时，
1
2
20
2
n
n
n
n b
b
T
S
n
n
+
=
=
= -
+
；
当
11
n ³
时，
1
2
10
11
n
n
T
b
b
b
b
b
=
+
+
+
+
+
+
L
L
1
2
10
11
12
n
b
b
b
b
b
b
=
+
+
+
-
+
+
+
L
L
10
10
10
2
n
n
S
S
S
S
S
=
-
-
= -
+
2
2
2
20
2
10
20 10
20
200.
n
n
n
n
= - -
+
+ ´ -
+
´
=
-
+
综上所述，
2
2
20
10 ,
20
200
11 .
n
n
n n
T
n
n
n
ì
-
+
£
ï
= í
-
+
³
ïî
所以
2
12
12
20 12
200
104
T =
-
´
+
=
.
故答案为：104.
7．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知数列
na
、
nb
的各项均不为零，若
nb
是单调递增数列，且
1
2
n
n
n
a
b
b +
=
×
，
2
1
1
n
n
n
a
a
b
+
+
+
=
，
1
2
a
b
=
，
2
6
a
b
=
.
(1)求
1b 及数列
nb
的通项公式；
(2)设
| 9
|
n
n
c
b
=
-
，求数列
nc
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
1
2
b =
，
2
nb
n
=
；
(2)
2
2
8
,1
4
8
32,
5
n
n
n
n
T
n
n
n
ì
-
£
£
= í
-
+
³
î
【详解】（1）
1
2
n
n
n
a
b
b +
=
×
，
2
1
1
n
n
n
a
a
b
+
+
+
=
，
故
2
1
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
b
b
b
b
b
+
+
+
+
×
×
+
=
，即
2
1
2
1
2
n
n
n
n
b
b
b
b
+
+
+
+
=
，
nb
的各项均不为零，故
2
1
2
n
n
n
b
b
b
+
+
+
=
，
所以
nb
为等差数列，且公差d 大于0，
1
2
n
n
n
a
b
b +
=
×
中，令
1
n = 得
1
1
2
2a
b b
=
×
，
又
1
2
a
b
=
，故
1
2
b =
，
2
1
1
n
n
n
a
a
b
+
+
+
=
中，令
1
n = 得
2
1
2
2
a
a
b
+
=
，
其中
1
2
a
b
=
，
2
6
a
b
=
，故
2
2
6
2
b
b
b
+
=
，
即
2
2
2
5
2
d
d
d
+
+
+
=
+
，解得
2
=
d
或0（舍去），
故
1
1
2
2
1
2
nb
b
n
d
n
n
=
+
-
=
+
-
=
；
（2）
9
2
nc
n
=
-
，
故当1
4
n
£
£
时，
9
2
nc
n
=
-
，当
5
n ³
时，
2
9
nc
n
=
- ，
设
9
2
nt
n
=
-
的前n 项和为
n
S ，
当1
4
n
£
£
时，
1
2
7
9
2
8
2
2
n
n
n
n t
t
n
n
T
S
n
n
+
+
-
=
=
=
=
-
，
当
5
n ³
时，
2
2
4
4
4
2
2 16
8
8
32
n
n
n
T
S
S
S
S
S
n
n
n
n
=
-
-
=
-
=
´
-
-
=
-
+
，
综上，
2
2
8
,1
4
8
32,
5
n
n
n
n
T
n
n
n
ì
-
£
£
= í
-
+
³
î
.
8．（24-25 高二上·湖北武汉·期末）设
na
是公差不为零的等差数列，
2
2
2
2
2
3
4
5
a
a
a
a
+
=
+
，
7
7
S =
.
(1)求
na 和
n
S ；
(2)求
na
的前n 项和
nT .
【答案】(1)
2
7
n
a
n
=
- ，
2
6
n
S
n
n
=
-
.
(2)
2
2
6
3
6
18
3
n
n
n n
T
n
n
n
ì-
+
£
ï
= í
-
+
>
ïî
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d ，
∵
2
2
2
2
2
3
4
5
a
a
a
a
+
=
+
，∴
2
2
2
2
2
5
4
3
a
a
a
a
-
=
-
，即
2
5
2
5
4
3
4
3
a
a
a
a
a
a
a
a
-
+
=
-
+
，
由等差数列的性质得，
4
3
4
3
3d a
a
d a
a
-
+
=
+
，
由
0
d ¹
得，
4
3
0
a
a
+
=
，即
1
2
5
0
a
d
+
=
，
由
7
7
S =
得，
1
7 6
7
7
2
a
d
´
+
=
，
联立方程可得
1
5
a = - ，
2
=
d
，
∴
5
2
1
2
7
na
n
n
= - +
-
=
-
，
2
1
5
2
6
2
n
n n
S
n
n
n
-
= -
+
´
=
-
.
（2）由
2
7
n
a
n
=
- 得，
3
n £
时，
0
na <
，
3
n >
时，
0
na >
.
当
3
n £
时，
2
6
n
n
T
S
n
n
= -
= -
+
，
当
3
n >
时，
2
2
3
3
3
2
6
2
5
3 1
6
18
n
n
n
T
S
S
S
S
S
n
n
n
n
= -
+
-
=
-
=
-
- ´ - - -
=
-
+
，
∴
2
2
6
3
6
18
3
n
n
n n
T
n
n
n
ì-
+
£
ï
= í
-
+
>
ïî
.
9．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知数列
na
为等差数列，首项
1
1
a = ，公差
2
=
d
．
(1)若
1
3 n
a
nb
+
=
，证明：
nb
是等比数列；
(2)若
1
1
n
n
n
c
a a +
=
，设数列
nc
的前n 项和为
n
S ，求满足
12
25
n
S >
的n 的最小值．
(3)若
12
n
n
d
a
=
-
，求数列
n
d
的前n 项和
nT ；
【答案】(1)证明见详解
(2)13
(3)
2
2
12 ,
6
12
72,
7
n
n
n n
T
n
n
n
ì-
+
£
= í
-
+
³
î
【详解】（1）因为数列
na
为等差数列，首项
1
1
a = ，公差
2
=
d
，
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- .
对于
1
2
3
3
0
n
a
n
nb
+
=
=
¹
，且
2
2
1
2
3
9
3
n
n
n
n
b
b
+
+ =
=
，
所以
nb
是等比数列.
（2）由（1）可知：
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
n
c
a a
n
n
n
n
+
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ，
可得
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
n
S
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+×××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
è
ø，
令
1
1
12
1
2
2
1
25
n
S
n
æ
ö
=
-
>
ç
÷
+
è
ø
，解得
12
n >
，
所以满足
12
25
n
S >
的n 的最小值为13.
（3）由（1）可知：
13
2
12
n
n
d
n
a =
-
-
=
，
则
1
11 2
13
2
2
n
n
d
d
n
n
+ -
=
-
-
-
= - ，可知数列
n
d
为等差数列，
设数列
n
d
的前n 项和为
n
D ，则
2
11 13
2
12
2
n
n
n
D
n
n
+
-
=
= -
+
，
令
13
2
0
n
n
d
-
>
=
，解得
13
2
n <
，
当
6
n £
时，
0
n
d >
，则
2
1
2
1
2
12
n
n
n
n
T
d
d
d
d
d
d
D
n
n
=
+
+×××
=
+
+×××+
=
= -
+
；
当
7
n ³
时，
0
n
d <
，则
1
2
n
n
T
d
d
d
=
+
+×××
1
6
7
n
d
d
d
d
=
+×××+
-
+×××+
2
6
6
6
2
12
72
n
n
D
D
D
D
D
n
n
=
-
-
= -
+
=
-
+
；
综上所述：
2
2
12 ,
6
12
72,
7
n
n
n n
T
n
n
n
ì-
+
£
= í
-
+
³
î
.
10．（24-25 高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列
na
的首项为1，其前n 项和为
n
S ，满足
1
2
n
n
n
a
S
S
n
-
+
³
=
.
(1)求证：数列
n
S
为等差数列，并求出
n
S ；
(2)设
10
n
n
b
a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
【答案】(1)证明见解析，
2
*
,
N
n
S
n
n
=
Î
；
(2)
2
2
10 ,
5
10
50,
6
n
n
n
n
T
n
n
n
ì -
+
£
= í
-
+
³
î
【详解】（1）因
1
n
n
n
a
S
S -
=
+
，则
1
1,
2
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
n
-
-
=
-
=
+
³
，
即
1
1
1
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
-
-
-
+
-
=
+
，
又因数列
na
为正项数列，则
1
0
n
n
S
S -
+
>
，则
1
1,
2
n
n
S
S
n
-
-
=
³
，
又由
1
1
1
S
a
=
= ，则数列
n
S
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
1
1 1
n
S
n
n
= +
-
× =
，则
2
*
,
N
n
S
n
n
=
Î
，
（2）由（1）可得，
2
2
1
(
1)
2
1
2
n
n
n
a
S
S
n
n
n
n
-
=
-
=
-
-
=
-
³
，
又
1
1
a = 满足上式，所以
*
2
1,
N
na
n
n
=
-
Î
，
则
10
2
11
n
n
b
a
n
=
-
=
-
，
1
9
b = - ，
所以当
5
n £
时，
0
nb <
，当
6
n ³
时，
0
nb >
，
记数列
nb
的前n 项和为
n
B ，则
2
2
11
9
10
2
n
n
n
B
n
n
-
-
=
=
-
，
从而当
5
n £
时，
2
1
10
n
n
n
T
b
b
B
n
n
= -
-
-
= -
= -
+
L
；
当
6
n ³
时，
2
1
2
3
4
5
6
5
2
10
50
n
n
n
T
b
b
b
b
b
b
b
B
B
n
n
= -
-
-
-
-
+
+
+
=
-
=
-
+
L
，
所以
2
2
10 ,
5
10
50,
6
n
n
n
n
T
n
n
n
ì -
+
£
= í
-
+
³
î
.
