解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题专项训练
考点目录
边角互化问题
周长与周长最值问题
面积与面积最值问题
解多三角形问题
1．（2025·辽宁大连·一模）在
ABC
V
中， 已知
2
2
2
2
b
c
a
c
a
c
+
-
-
=
，下列说法正确的是（ ）
A．
π
6
B =
B．若
3
b =
， 则
ABC
V
面积最大值为 9 3
4
C．记
ABC
V
的内切圆半径为R ， 设
R
f b
=
， 则
f b 在
1,
bÎ
+¥ 上单调递增
D．若
2
2
sin
cos
1
A
B
+
> ，若a 和c 的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形
2．（25-26 高二上·贵州黔南·开学考试）在
ABC
V
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
cos
cos
a
c
B
b
c
A
-
=
-
，且
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
-
，则
ABC
V
的形状为（ ）
A．钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
3．（2025·四川巴中·模拟预测）在
ABC
V
中，若
cos
3 sin
c
c
A
a
A
B
+
=
+
，则A = （ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
4．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）在
ABC
V
中，则下列条件不是A
B
>
的充要条件的为（ ）
A．sin
sin
A
B
>
B．cos
cos
A
B
<
C．cos2
cos2
A
B
<
D．sin2
sin2
A
B
>
考点一
边角互化问题
5．（25-26 高三上·江苏·阶段练习·多选）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
π
cos sin
sin
6
6
A
B
C
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
2
a
c
+
=
，则（ ）
A．cos
cos cos
3sin cos
C
A
B
A
B
+
=
B．
ABC
V
的面积的最大值为
3
2
C．b 的一个可能的取值为8
5
D．b 的一个可能的取值为4
5
6．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试·多选）
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且
cos
2
cos
C
a c
B
b
-
=
，下列说法正确的是（ ）
A．
π
3
B =
B．若
2
b =
且
ABC
V
存在且唯一，则0
2
a
<
£
或
2 2
a =
C．若sin
2 sin
C
A
=
，则b
a
=
D．若
2
b =
，则
ABC
V
面积最大值为1
2
+
7．（25-26 高二上·湖南邵阳·阶段练习·多选）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2 cos
cos
cos
0
a
A
c
B
b
C
+
+
=
，点D 在线段BC 上，且
4
=
AD
，则（ ）
A．角A 的大小为2π
3
B．若AD 为
BAC
Ð
的角平分线，则1
1
1
4
b
c
+
=
C．若
0
AD AC
×
=
uuur uuur
，则线段BD 的长度的取值范围为4 3 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．若
0
AD BC
×
=
uuur uuur
，则
ABC
V
的周长的最大值为16
8 3
+
8．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知
ABC
V
中，
1
c = ，若sin
cos
cos
C
a
B
b
A
=
+
，
1
cos
cos
sin
4
A
B
C =
，则（ ）
A．
2
2
sin
sin
sin
C
A
B
=
+
B．
6
sin sin
8
A
B =
C．
6
2
AC
BC
+
=
D．
ABC
V
的面积是1
8
9．（25-26 高三上·广东湛江·阶段练习）设
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin
5sin
b
A
B
=
，
则a = .
10．（25-26 高二上·广西来宾·阶段练习）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
3 cos
sin
a
B
b
A
=
．则B 的值为 ．
11．（2025·河北衡水·模拟预测）在
ABC
V
中，若
3
2
AC
BC
=
，sin
2cos
A
B
=
，则cos A =
.
12．（25-26 高二上·四川绵阳·开学考试）在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为
ABC
V
的外
心，且有
2 3
3
AB
BC
AC
+
=
，sin
(cos
3)
cos
sin
0
C
A
A
A
-
+
= ，若AO
xAB
yAC
=
+
uuur
uuur
uuur
，,x y ÎR ，则
2
x
y
-
=
．
13．（25-26 高三上·河北保定·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
3 sin
A
B
C
c
a
b
c
B
+
+
-
+
=
．
(1)若
2 3
a =
，求
ABC
V
外接圆的半径；
(2)若
3,
2,
2
b
c
BD
DC
=
=
=
uuur
uuur
，求线段AD 的长．
14．（25-26 高二上·河北衡水·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2 cos
cos
cos
0
b
A
c
A
a
C
+
+
=
．
(1)求A 的大小；
(2)若
5,
7
AB AC
b
c
= -
+
=
uuur uuur
g
，求a 的值．
15．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2
2 cos
b
c
a
C
=
+
.
(1)求A；
(2)若
ABC
V
的周长为9，面积为3 3
4
，求a.
16．（25-26 高三上·上海·阶段练习）在
ABC
V
中，
2
π
2 6
3,
,
sin
3
3
a
A
b
a
B
=
=
=
.
(1)求sinB ；
(2)求c 以及
ABC
SV
的值.
1．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·期末）已知
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边，已知
π ,
1
2cos
,
1
6
B
c
b
A
a
=
=
+
= ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．1
3
+
B．2
2
3
+
C．3
3
+
D．4
3
4
+
2．（24-25 高一下·黑龙江大庆·期末）在
ABC
V
中，已知
4
AC =
，
2
AB =
，
ABC
V
的周长为9，则sin B = （ ）
A．
1
4
-
B．
3
4
C．15
4
D．
15
4
-
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
7
a =
，
ABC
V
的面积为
6 3 ，且cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．15
B．16
C．18
D．20
4．（25-26 高二上·浙江·开学考试）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对应的边分别为, ,
a b c ，其面积
1 sin sin sin
8
S
A
B
C
=
，
若sin
sin
sin
2
A
B
C
+
+
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．1
B．
1
2
C．2
D．3
4
5．（2025·河南·模拟预测）在
ABC
V
中，
π ,
2 7,
3
A
BC
ABC
=
=
V
的面积为6 3 ，则
ABC
V
的周长为
.
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）在
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边.已知
ABC
V
是一个面积为
5 的锐角三
角形，且
2,
3
a
b
=
=
，则
ABC
V
的周长为
.
考点二
周长与周长最值问题
7．（24-25 高一下·黑龙江·阶段练习）
ABC
V
中，角A 、B 、C 的对边分别为a、b、c，若
6
sin
sin
sin
sin
,
9
4
,
3 cos
C
A
B
B
C
A
a
A
-
=
-
=
=
，则
ABC
V
的周长为
．
8．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
,
3 .
a
b
c
ab C
B
A
+
-
=
+
=
(1)求
;
B
(2)C 的角平分线交AB 于点D ，若
2
CD =
，求
BCD
△
的周长．
9．（25-26 高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD 中，已知
ABC
V
的面积为
2
2
2
1
3 (
)
4
S
AC
BC
AB
=
-
-
，记ACD
V
的面积为
2S .
(1)求
ABC
Ð
的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆半径为
3 ，求
ABC
V
的周长最大值.
(3)设
2π
π
,
3
6
BCD
CAD
Ð
Ð
=
=
，若
3
CD
BC
=
，且满足
1
2
S
S
l
=
成立，求常数l 的值.
10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）记
ABC
V
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
cos
cos
a
b
c
a
B
b
A
abc
+
-
+
=
．
(1)求C；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，
2
c =
，求
ABC
V
周长范围．
11．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
三个内角, ,
A B C 的对边，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
.
(1)证明：, ,
B A C 成等差数列；
(2)若
2
a =
，
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
12．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
13．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 满足
1
sin2
sin
sin
2
B
A
B
C
A
B
C
+
+
-
=
+
-
-
，且
ABC
V
的面积大小为4.
(1)求边BC 长的最大值；
(2)当边BC 长取到最大值时，求
ABC
V
的周长.
14．（2025·江苏宿迁·三模）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
三个内角, ,
A B C 的对边，且
3sin(
)
1
cos B
A
C
+
-
= .
(1)求B ；
(2)若
4
b =
，
ABC
V
的面积为4 3 ，D 为AC 边上一点，满足
3
AC
AD
=
uuur
uuur
，
①求
ABC
V
的周长；
②求BD 的长.
1．（2025·山西·三模）在
ABC
V
中，
45
A =
o，
10
BC =
，
3 2
2
AB
AC
=
，则
ABC
V
的面积是（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．12
2．（24-25 高一下·北京通州·期中）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知
2
b =
，
sin
3cos sin
A
B
C
=
，则
ABC
V
面积的最大值为（ ）
A．3
8
B．5
8
C．11
16
D．3
4
3．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若tan
2tan
B
C
=
，
2
b =
，则△ABC 面积的最大值为（ ）
A．3
4
B．
1
2
C．
3
2
D．3
2
4．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若
2
2
cos
bc
A
a
=
且
3
bc =
，则
ABC
V
的面积的最大值为（ ）
A．3
2
B．3 3
4
C．3
4
D．
3
4
5．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
ABC
V
中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin
3sin
A
C
=
，
60
B =
° ，
2
b =
，则
ABC
V
的面积是 .
6．（25-26 高二上·广西贵港·开学考试）若
ABC
V
的两条中线长均为2，则
ABC
V
面积的最大值为
．
考点三
面积与面积最值问题
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
a
c
A
B
a
b
C
-
-
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
8．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
2
a =
，且
2
sin
sin
sin
b
A
B
c
b
C
+
-
=
-
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
9．（25-26 高二上·河北邢台·开学考试）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且
3
3
4
sinC
sin
sin
a
b
c
b
A
B
-
-
=
+
．
(1)求sinA ；
(2)若
13
2
b
c
+
=
，
6
a =
，求
ABC
V
的面积S ．
10．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
b
ac
a
c
+
=
+
，
sin
2sin
A
C
=
.
(1)求角B 的大小；
(2)若
2 3
b =
，求
ABC
V
的面积.
11．（25-26 高三上·云南保山·开学考试）已知锐角
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．且
sin
sin
(2sin
sin
)
a
A
c
C
b
A
B
+
=
+
．
(1)证明：sin
tan
C
B
=
；
(2)若
2
a =
，求
ABC
V
的面积S 的取值范围．
12．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
ABC
V
的面积为S ，已知
2
2
2
4
3
S
a
b
c
=
+
-
.
(1)求C ；
(2)若
4
c =
，求
ABC
V
的面积的最大值.
13．（25-26 高二上·河南·开学考试）已知
ABC
V
的三个内角A，B，C 所对的边分别是, ,
a b c ，B 是钝角，且
3
2 sin
a
b
A
=
．
(1)求B 的大小；
(2)若
ABC
V
的面积为15 3
4
，且
7
b =
，求a
c
+ 的值；
(3)若
6
b =
，求
ABC
V
面积的最大值．
14．（25-26 高二上·甘肃天水·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c
A
Ð 为钝角，
3
7,sin2
cos
7
a
B
b
B
=
=
．
(1)求
A
Ð
；
(2)已知
13
cos
14
B =
，求
ABC
V
的面积．
15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
16．（25-26 高二上·上海杨浦·开学考试）设
2
2
1
cos
sin
2
f x
x
x
=
-
+
，
0,π
xÎ
，设
ABC
V
为锐角三角形，角A 所
对的边
19
a =
(1)求函数
y
f x
=
的单调增区间；
(2)若
0
f
A =
，求：
ABC
C
sinA+sinB+sinC
V
的值；
(3)在（2）的条件下，若角B 所对的边
5
b =
，求
ABC
V
的面积．
1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
ABC
V
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
ACB
Ð
的角平分线为CM
交AB 于M 且
2
a =
,
3
b =
,
1
c = ，则线段CM = （ ）
A．3 2
6
+
B．3 2
6
-
C．2
D．2 3
3
2．（25-26 高三上·湖南·开学考试）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin
3 cos
b
C
c
B
=
，
1
a
c
-
= ，且边b 上的高为1，则b = （ ）
A．
3
3
B．1
C．2 3
3
D．
3
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在
ABC
V
中，
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
.若
ABC
V
的角平分线AD 交边BC 于
点D ，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 3
5
C．9
5
D．3 2
4．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
π ,
4
3
C
c
=
=
，点D 为AB 的中点，则中线CD 的取值范围是（ ）
A．(2,2 3]
B．4 3
(
,2 3]
3
C．2 21
(
,2 3]
3
D．4 3 2 21
(
,
]
3
3
5．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）在
ABC
V
中，
2
BC =
，BC 边上的中线
2
AD =
，则下列说法错误的有
（ ）
A．AB AC
×
uuur uuur
为定值
B．
2
2
10
AC
AB
+
=
C．4
cos
1
5
BAC
<
Ð
<
D．
BAD
Ð
的最大值为30°
考点四
解多三角形问题
6．（24-25 高一下·江苏宿迁·期中·多选）中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜
幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以
上文字写成公式，即
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2
2
c
a
b
S
c a
+
-
=
-
（S 为三角形的面积，, ,
a b c 为三角形的三边）．现有
ABC
V
满足
sin
:sin
:sin
3:5:7
A
B
C =
，且
ABC
V
的面积15 3 ，则（ ）
A．
ABC
V
的最长边长为14
B．
ABC
V
的三个内角满足
1
2
A
B
C
+
=
C．
ABC
V
的三条高的和为8 3
D．
ABC
V
的中线CD 的长为19
7．（24-25 高一下·河南南阳·期中·多选）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，两条中线AE ，
CF 相交于点P （如图），已知
5
a =
，
2
b =
，sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
A
B
C
A
-
+
=
+
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
39
2
CF =
uuur
B．
15 3
8
ACEF
S
=
四边形
C．
3
AE CF
×
=
uuur uuur
D．
2 91
cos
91
EPF
Ð
=
8．（24-25 高一下·浙江宁波·期中·多选）在
ABC
V
中，
2 5,tan
2
AC
A
=
=
，向量AC
uuur
在向量AB
uuur 上的投影向量为
1
3 AB
uuur
，则（ ）
A．边BC 上的高为3 2
B．
3 10
sin
10
C =
C．边AB 上的中线为17
D．
8
AC BC
×
= -
uuur uuur
9．（24-25 高一下·河北邯郸·期中）在
ABC
V
中，AD 为边BC 上的中线，且
2 3
BC
AD
=
，则角A 的最小值
为
．
10．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线AD= 7
2 ，那么BC=
．
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
ABC
V
面积为1，边
,
AC AB 上的中线为
,
BD CE ，且
4
3
BD
CE
=
，则边AC 的
最小值为
．
12．（25-26 高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD 中，已知
ABC
V
的面积为
2
2
2
1
3 (
)
4
S
AC
BC
AB
=
-
-
，记ACD
V
的面积为
2S .
(1)求
ABC
Ð
的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆半径为
3 ，求
ABC
V
的周长最大值.
(3)设
2π
π
,
3
6
BCD
CAD
Ð
Ð
=
=
，若
3
CD
BC
=
，且满足
1
2
S
S
l
=
成立，求常数l 的值.
13．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边为a ，b ，c ，sin
cos
2 2 sin
A
A
B
+
=
，且
2
2
2
3
a
c
b
ac
+
-
=
.
(1)求A ；
(2)若
ABC
V
的周长为3
3
2
+
+
，求AB 边上的高.
14．（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
3
0
a
b
c
b
a
c
ac
+
-
-
+
-
=
.
(1)求B；
(2)若
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
2 7
2
3
AD
DC
=
=
，求BD．
15．（24-25 高一下·重庆·期末）
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，
(1)求A 的大小；
(2)若AC 边的中线为
7
,
,
6
2
BE BE
c b
=
=
，求BC 边上的高的大小；
16．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
．
(1)求角B；
(2)如图，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
3
a =
，
4
c =
，
（i）求BD 的长度；
（ii）若AB 边上的中线CE 与BD 相交于点F，求
DFE
Ð
的余弦值．
17．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段练习）凸四边形ABCD 的面积为S，
6,
8,
5 2
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=
(1)求S 的最大值；
(2)在（1）的条件下，若凸四边形ABCD 外接圆的圆心为O 点，求
CAD
Ð
所对的圆弧
CD 的长．
18．（24-25 高一下·陕西西安·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
，
3
b =
.
(1)求角B ；
(2)若
2
a
c
+
=
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
ABC
V
为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围.
19．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）如图，设
ABC
V
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，AD 为BC 边上的中
线，
4
b =
且
2
2
1
2
cos
4
ca
B
b
a
bc
+
-
=
，
21
cos
7
BAD
Ð
=
．
(1)求边c 的长度；
(2)求
BAC
Ð
；
(3)设E，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G，且
AEF
△
的面积为
ABC
V
面积的1
5 ，求AG EF
×
uuur uuur
的
取值范围．
