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重难专攻（二十）圆锥曲线之焦点三角形
重难点题型1 以焦点三角形的周长为情景命题
1．（2025·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆
（其中a＞b＞0）的离心率为
，两焦
点分别为F1，F2，M 为椭圆上一点，且△F1F2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·辽宁大连·统考二模）设椭圆
的左焦点为
，直线
与椭圆
交于
两点，则
周长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·山东青岛·统考三模）已知O 为坐标原点，双曲线C：
的左，右焦点分别
为
，
，过C 的右焦点
且倾斜角为
的直线交C 右支于A，B 两点，AB 中点为W，
目录●重难点题型分布
，△
的周长等于12，则（ ）
A．a＝3
B．双曲线C 的渐近线方程为
C．
D．
4．（24-25 高二上·陕西西安）已知点
分别为椭圆
的左、右焦点，过点
作
轴的垂线
交椭圆
于
两点，
分别为
的内切圆圆心，则
的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·江苏南京·期中）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心
率为
，过上顶点
和右焦点
的直线与椭圆
的另一个交点为
，且
的面积为
，则
的周长为（ ）
A．4
B．
C．
D．
6．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线
，左、右焦点分别为
、
，过
作倾斜角为
的直
线与双曲线
交于
两点，则
的周长为 ．
7．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线
：
的一条渐近线与圆O：
交于
两点，设圆O 在
两点处的切线与
轴分别交于
两点、若双曲线
的焦距为
，则四边形
周长的最大值为 ．
8．（2025·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆
的焦距为
，焦点三角形的周长为
，则椭圆
的方程是
__________．
重难点题型2 以焦点三角形的面积为情景命题
1．（2025 海南海口·模拟预测）已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为
上一动点，
且
，若
为
的内心，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川宜宾·统考三模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，以它的一个焦点为圆心，
半径为
的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于
两点，则四边形
的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（多选题）已知椭圆
的离心率为
，
为椭圆的左、右顶点，
为椭圆的左、右焦点，
是椭圆上异于
的任意一点，过
作直线
的垂线，垂足为
，直线
交
于点
，交椭圆于
两点，△
的面积最大值为12，则（ ）
A．
B．若
，则
的最大值为
C．
在圆上运动
D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点为
，
，直线
与C 交
于A，B 两点，若
的面积是
面积的2 倍，则
（ ）
A．
B．
或6
C．
D．
或
6．（24-25 高三上·云南）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
作双曲线
一条渐近线的垂线，垂足为
，若
的面积为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·辽宁·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，直线
与
交于另一点
，若
与
（
为原点）的面积之比为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·江苏扬州·期末）根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到
另一个焦点处．已知椭圆
分别是椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆
上的任意一点，
根据研究，我们知道直线
、直线
与在
点处的切线所成的角相等．过
作直线
，垂足为
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
重难点题型3 以焦点弦为情景命题
1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）椭圆
，过原点O 斜率为
的直线与椭圆交
于C，D，若
，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 湖南永州·校联考二模）已知椭圆
的左焦点为
，过点
作斜率为
的直线交椭圆
于
两点，则
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为F，过点F 且斜率为1 的直线l 交
C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西铜川·一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆
的长半轴长和短半轴长乘积的
倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆
的面积为
，离心率
为
，
，
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆
上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆
的标准方程可以为
②若
，则
③存在点
，使得
④
的最小值为
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
5．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过
的直线与
的两条渐
近线分别交于
两点.若
为直角三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·山东青岛·三模）已知O 为坐标原点，双曲线C：
的左，右焦点分别为
，
，过C 的右焦点
且倾斜角为
的直线交C 右支于A，B 两点，AB 中点为W，
，△
的周长等于12，则（ ）
A．a＝3
B．双曲线C 的渐近线方程为
C．
D．
7．已知过抛物线C：
的焦点F 的直线l 交C 于A，B 两点，O 为坐标原点，点
为C
上一点，记
的面积分别为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．16
B．20
C．25
D．28
重难点题型4 以焦点三角形与其它知识综合为情景命题
1．（2024·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，
形制原始，它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的
神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也
正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐
肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的
看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现
有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分
的正视图.若按对称建立如图所示坐标系，
恰为左焦点，
均匀对称分布在上半
个椭圆弧上(
在
上的投影把线段
八等分)，
为琴弦，记
，数列
前n 项和为
，椭圆方程为
，且
，则
的最小值为
2．（2025·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选题）如图，已知双曲线：
的左右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接
，
，
与双曲线左支交于点P，与渐
近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过
的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B 到两条渐近线的距离的积为
3．（多选题）如图，类似“心形”的曲线
，可以看成由上部分曲线
：
，下部分曲线
：
构成，过曲线
的焦点
的直线与曲线
交于M，N 两点，
是“心形”
曲线E 上的动点，下列说法正确的是（ ）
A．
的方程为
B．
的最大值为
C．直线
与曲线E 有4 个交点，则m 的取值范围为
D．
面积的最大值为
4．（2024·云南大理·一模）（多选题）法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何
之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该
椭圆的蒙日圆.若椭圆
的蒙日圆为圆
，过
上的动点
作
的两条互相垂直的切线，分别
与
交于
两点，直线
交
于
两点，则（ ）
A．椭圆
的蒙日圆方程为
B．
面积的最大值为7
C．
的最小值为
D．若动点
在
上，将直线
的斜率分别记为
，则
5．（2025·山西晋中·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，
，
分别是椭圆柱
的上、下底面椭圆的长轴，
，且底面椭圆的离心率为
，
分别为下底
面椭圆的左、右焦点，
为母线
上的动点，
为线段
上的动点，
为过点
的下底面椭圆的一
条动弦（不与长轴重合），则三棱锥
体积的最大值为 .
