七下习题8.1:平方与开方能抵消吗?连续开方有何规律

教材原题｜习题8.1 拓广探索

10.（1）求(√0)²，(√4)²，(√25)²，(√36)²的值。对于任意非负数a，(√a)²等于多少？ （2）求√(0²)，√(2²)，√((－3)²)，√(5²)，√((－6)²)的值。对于任意数a，√(a²)等于多少？

11. 任意找一个正数，比如1.234，利用计算器对它开平方，再对得到的算术平方根开平方……如此进行下去，你有什么发现？

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第八章《实数》第47页。两道题围绕算术平方根展开：先开方再平方，是否一定回到原数？把一个正数连续开平方，又会出现什么变化？关键是分清运算顺序和结果的符号。

先猜一猜

√((－3)²)等于－3，还是3？如果你觉得平方与根号可以直接抵消，就很容易掉进陷阱。再猜一猜：连续开平方，数会一直变小吗？用一个小于1的正数试试。

01 · 第10题（1）：从定义出发

先开方再平方，结果为什么等于原数？

第10题第（1）问，先求算术平方根，再平方：√0＝0，√4＝2，√25＝5，√36＝6，因此四个式子的值依次是0、4、25、36。

这里要抓住定义：一个非负数a的算术平方根，是平方等于a的那个非负数。所以把√a再平方，自然得到a，即(√a)²＝a，前提是a≥0。

例如面积为25的正方形，边长为5；把边长平方，仍得到面积25。这个过程是先从面积找到边长，再从边长回到面积。

为什么一定要写a≥0？

在实数范围内，负数没有算术平方根。比如(√(－4))²不能先写出来再说“抵消后等于－4”，因为里面的开方原本就没有意义。先检查式子有没有意义，再进行运算。

02 · 第10题（2）：先平方，再取非负结果

先平方再开方，为什么要写绝对值？

第（2）问先算根号里面的平方：0²＝0，2²＝4，(－3)²＝9，5²＝25，(－6)²＝36。再求算术平方根，结果依次为0、2、3、5、6。

特别看第三个：负三的平方是九，九的算术平方根是三，所以√((－3)²)＝3，不是－3。平方会让互为相反数的两个数得到相同结果，而算术平方根只取非负的那个。

√(a²)的完整结论

对于任意实数a，√(a²)＝|a|。当a≥0时，结果为a；当a＜0时，结果为－a。这里的－a不一定是负数：例如a＝－6时，－a＝6。

可以把绝对值理解为数轴上的点到原点的距离。a与－a到原点一样远，平方后也相同；再开算术平方根，得到的是这个非负的距离。

两个常见失分点

一是把√9写成±3。九的平方根是正负三，但九的算术平方根只有三，根号表示的是后者。二是看到√(a²)就直接写a：如果不知道a的符号，必须保留绝对值。

03 · 第11题：换几类数，才能发现完整规律

连续开平方，为什么越来越接近1？

第11题可先照教材输入1.234，每次对上一次的结果取算术平方根。开始几次约为1.110856、1.053971、1.026631。数逐渐变小，但仍然大于1。配图给出了更多次数的数值供你核对。

不要只试一个数。换成0.25，会得到0.5，再得到约0.707107、0.840896……这次数越来越大，却仍小于1。再输入1，每次得到的都是1。

任意正数，要分三种情况说明

起始数大于1，连续开平方后逐渐减小并越来越接近1；起始数在0与1之间，结果逐渐增大并越来越接近1；起始数等于1，结果始终是1。不能只写“越来越小”。

为什么方向不同？大于1的数，平方比自身大，所以开平方会把它往小处拉；在0与1之间的数，平方比自身小，开平方反而把它往大处推。两类数都朝着1靠近。

计算器显示1，就真的等于1了吗？

不一定。屏幕能显示的小数位数有限，非常接近1的数可能显示成1。若起始正数不等于1，精确计算中有限次开平方不会恰好得到1：假如某一步等于1，把它平方，前一步也必须是1，依次倒推就与起始条件矛盾。

因此，记录实验时要区分“显示为1”和“精确等于1”。题目要求正数，零不在范围内；如果额外试零，它会一直保持零，不能用来否定正数的规律。

换个问法｜怎样检验自己真的理解了？

如果有人说“开平方与平方永远互相抵消”，你不必举很多例子，只要代入一个负数，就能指出问题。反例的作用，是推翻带有“永远”“任意”等字眼的错误结论；而只验证几个正数，不能证明所有数都成立。

也可以把字母换成一个整体来判断。例如根号内是某个式子的平方，开方后先写这个整体的绝对值，再根据它的正负决定是否去掉绝对值。不要只看其中一个字母的符号，更不能凭外观直接删去根号。

做计算器实验时，建议把起始数、开方次数和显示结果分栏记录。同样的次数，比较大于一和小于一的两组数，观察变化方向，再补上起始数等于一的情况。表里的小数是观察工具，结论中的条件则需要我们用数学语言说明。

名师方法｜看顺序、查符号、分情况

先确认平方是在根号内还是根号外；再检查根号是否有意义、结果是否非负；最后遇到字母或实验规律，按不同取值分类。算对几道例题之后，还要把成立条件说完整。

当堂检测

1. √((－8)²)等于多少？ 2. a＜0时，√(a²)等于a还是－a？ 3. 从0.04开始连续开平方，结果向哪个数靠近？

想好再看：8；－a；逐渐增大并接近1。

内容依据：用户提供的新人教版七年级下册数学第八章《实数》第47页，习题8.1“拓广探索”第10、11题。表中小数为计算所得的近似值。

根号看非负，规律看条件。