【高三一轮重难点考点汇总】空间向量及其应用知识点考点总结

一、 【考点预测】

(一) 空间向量及其加减运算

1. 空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作(AB)，其模记为||或|(AB)|．

2. 零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作(0)．当有向线段的起点A与终点B重合时，(AB)=(0)．

模为1的向量称为单位向量．

3. 相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为-．

4. 空间向量的加法和减法运算

①(OC)=(OA)+(OB)=+，(BA)=(OA)-(OB)=-．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

(二) 空间向量的数乘运算

1. 数乘运算

实数λ与空间向量的乘积λ称为向量的数乘运算．当λ>0时，λ与向量方向相同；当λ<0时，向量λ与向量方向相反．λ的长度是的长度的|λ|倍．

2. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

λ(+)=λ+λ，λ(μ)=(λμ)．

3. 共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作⎳．

4. 共线向量定理

对空间中任意两个向量，(≠(0))，⎳的充要条件是存在实数λ，使=λ．

5. 直线的方向向量

如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使(OP)=(OA)+t①，其中向量叫做直线l的方向向量，在l上取(AB)=，则式①可化为(OP)=(OA)+t(AB)=(OA)+t((OB)-(OA))=(1-t)(OA)+t(OB)②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当t=(1)/(2)，即点P是线段AB的中点时，(OP)=(1)/(2)((OA)+(OB))，此式叫做线段AB的中点公式．

6. 共面向量

如图8-154所示，已知平面α与向量，作(OA)=，如果直线OA平行于平面α或在平面α内，则说明向量平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

7. (共面向量定理

如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使=x+y．

推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使(AP)=x(AB)+y(AC)；或对空间任意一点O，有(OP)-(OA)=x(AB)+y(AC)，该式称为空间平面ABC的向量表达式．

②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式(OP)=x(OA)+y(OB)+z(OC)(其中x+y+z=1)的点P与点A，B，C共面；反之也成立．

(三) 空间向量的数量积运算

1. 两向量夹角

已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作(OA)=，(OB)=，则∠AOB叫做向量，的夹角，记作〈,〉，通常规定0≤〈,〉≤π，如果〈,〉=(π)/(2)，那么向量，互相垂直，记作⊥．

2. 数量积定义

已知两个非零向量，，则||||cos〈,〉叫做，的数量积，记作⋅，即⋅=||||cos〈,〉．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，⋅=||^(2)．

3. 空间向量的数量积满足的运算律：

(λ)⋅=λ(⋅)，⋅=⋅(交换律)；

⋅(+)=⋅+⋅(分配律)．

(四) 空间向量的坐标运算及应用

(1)设=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，则{+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)；,-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)；,λ=(λa1,λa2,λa3)；,⋅=a1b1+a2b2+a3b3；,⎳(≠(0))⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3；,⊥⇒a1b1+a2b2+a3b3=0．

(2)设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则(AB)=(OB)-(OA)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)．

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．

(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式．

①已知=(a1,a2,a3)，=(b1,b2,b3)，则{||=sqrt(^(2))=sqrt(a1^(2)+a2^(2)+a3^(2))；,||=sqrt(^(2))=sqrt(b1^(2)+b2^(2)+b3^(2))；,⋅=a1b1+a2b2+a3b3；,cos〈,〉=(a1b1+a2b2+a3b3)/(sqrt(a1^(2)+a2^(2)+a3^(2))sqrt(b1^(2)+b2^(2)+b3^(2)))；

②已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|(AB)|=sqrt((x1-x2)^(2)+(y1-y2)^(2)+(z1-z2)^(2))，

或者d(A,B)=|(AB)|．其中d(A,B)表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．

(4)向量在向量上的投影为||cos〈,〉=(⋅)/(||)．

(五) 法向量的求解与简单应用

1. 平面的法向量

如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．

几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有⋅=0．

第一步：写出平面内两个不平行的向=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)；

第二步：那么平面法向量=(x，y，z)，满足{⋅=0,⋅=0⇒{xx1+yy1+zz1=0,xx2+yy2+zz2=0．

2. 判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为，．

{若∥，即=λ，则a∥b；,若⊥，即⋅=0，则a⊥b．

②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l⊥α．

{若∥，即=λ，则l⊥α；,若⊥，即⋅=0，则∥α．                       

(3)平面与平面的位置关系

平面α的法向量为1，平面β的法向量为2．

{若1∥2，即1=λ2，则α∥β；,若1⊥2，即1⋅2=0，则α⊥β．                   

(六) 空间角公式．

1. 异面直线所成角公式

设，分别为异面直线l1，l2上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cosθ=|cos〈,〉|=(|⋅|)/(||||)．

2. 线面角公式

设l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量，θ为l与α所成角的大小，则sinθ=|cos〈,〉|=(|⋅|)/(||||)．

3. 二面角公式

设n1，n2分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则θ=〈(n1),(n2)〉或π-〈(n1),(n2)〉(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中|cosθ|=(|(n1)⋅(n2)|)/(|(n1)||(n2)|)．

(七) 空间中的距离

1. 异面直线间的距离

两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．

如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d=|(AB)⋅()/(||)|=(|(AB)⋅|)/(||)即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．

2. 点到平面的距离

A为平面α外一点(如图)，为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．

|(AH)|=|(AB)|⋅sinθ=|(AB)|⋅|cos<(AB),n>|=|(AB)|(|(AB)⋅|)/(|(AB)|⋅||)=(|(AB)⋅|)/(||)，

d=(|(AB)⋅|)/(||)

二、 【方法技巧与总结】

用向量法可以证点共线、线共点、线(或点)共面、两直线(或线与面、面与面)垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单．

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量(除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底)，然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．

三、 【题型归纳目录】

空间向量的加法、减法、数乘运算

空间共线向量定理的应用

空间向量的数量积运算

证明三点共线

证明多点共面的方法

证明直线和直线平行

证明直线和平面平行

证明平面与平面平行

证明直线与直线垂直

证明直线与平面垂直

证明平面和平面垂直

求两异面直线所成角

求直线与平面所成角

求平面与平面所成角

求点到平面距离