【习题研讨】130. 函数不具有单调性是何意味?

今年 5 月份，看到 SHS 的D老师发的一条朋友圈，谈到杨浦一模和浦东二模的压轴题，都涉及“函数不具有单调性”这个概念.  下面为 D 老师发的图片和评论.

这周我们跳过了具体函数，直接来到了抽象函数部分. 讲到单调性的时候，我又想起了这张图，一开始其实根本看不懂，现在有机会要教了，就再次翻开来在 AI 指导下认真学习一下.

第一个不等价是容易理解的. 事实上第一处黄字部分的陈述对任意实值函数都成立（注意括号的位置）.  横线下方的内容是我们今天讨论的重点.  我们先从教材定义开始.

上海新教材在定义中区分了增函数、减函数与严格增函数、严格减函数. 设函数  定义在  上，区间 . 对任意 ，当  时，如果总有 ，就称  在  上是增函数；如果总有 ，就称  在  上是减函数.

将这两处不等号分别改成 、，才是严格增函数、严格减函数的定义.

本文约定，函数在区间  上单调，是指它在  上是增函数或减函数. 下文都在同一个区间上讨论.

这里的“或”当然允许两种情况同时成立. 例如常函数既是增函数，也是减函数，所以它是单调函数. 如果把“既不是严格增函数，也不是严格减函数”理解成“不单调”，定义在  上的常函数就会成为反例.

另一个当心的地方是：“不是增函数”不等于“是减函数”. 例如  在  上不是增函数，但它也不是减函数，不要下意识把增和减看成二元对立，非黑即白！

现在，我们从上海新教材中对函数单调性的定义出发，通过否定得到函数“不单调”的概念是自然的. 根据之前我们的约定，函数在  上不单调，就是指它在  上既不是增函数，也不是减函数.

“不是增函数”意味着，至少能找到一对点，随着横坐标增大，函数值反而严格下降. “不是减函数”则意味着，至少能找到一对点，函数值严格上升.

因此，函数不具有单调性的定义“应该”写成：

请留意这里的两个变化：否定“任意”以后得到“存在”；否定 、 以后，分别得到 、. 同时，原来连接两个单调方向的“或”，否定以后变成了“且”.

这两对点允许有公共点，并没有要求  四点互不相同. 例如  在  上，可以取下降的一对点为 ，上升的一对点为 ，两对点共用了 .

到这里，我们得到的是定义的直接否定.

另外一方面，从图像上看，在某个区间上具有单调性的函数图像从左到右看应该始终“不降”或者“不升”. 那么直观上，不具有单调性的函数，就应该能在其图像上找到三个点构成“严格峰形或谷形”（注意单调性并未要求函数连续）. 于是我们就想到另外一种定义方式，它与前面的定义是否等价，还需要证明！

从图像看，如果沿横轴从左到右选三个点，中间的函数值高于两端，或者低于两端，那么它当然不可能在整个区间上保持同一个单调方向.

这就得到第二种表述：

我们把它称为有序三点判据. “峰”“谷”在这里仅仅是三个函数值的比较，不是说已经找到了局部极值点，更不是说函数一定存在一段先增后减或先减后增的连续曲线.

与个别学生讨论时，学生提出，可以用斜率来写. 因为从“峰”和“谷”来看两侧，两条割线的斜率一定是正负不同的. 同时，我们只关心是否存在这样的三点，于是就不用规定三个横坐标的大小顺序了，我觉得没有问题. 于是有了第三种表述：

这是割线斜率判据. 两条割线共用一个点，斜率一正一负. 交换一条割线的两个端点，分子、分母同时变号，斜率不变，所以不必预先规定横坐标的顺序.

不过，不规定顺序以后，就不能再说标成  的点一定是峰顶或谷底. 例如对定义在  上的 ，取 ，两条割线的斜率分别为 ，但  既不是这三个函数值中的最大值，也不是最小值. 将横坐标重新排序为 ，才能看到三个函数值  构成的谷形. 所以，我们要证明的是存在性命题之间的等价，不是固定编号的三点所对应的两个乘积条件等价.

于是我们终于要进入本文的主题了，这三个定义是等价的么？为什么？

将上面的三种表述按顺序依次记为甲、乙、丙. 我们按“甲推出乙，乙推出丙，丙推出甲”的顺序证明.

• 甲推出乙.

已知存在 、，使 、.

把  中不同的数从小到大排列为 ，其中 . 记相邻函数值之差为

先说明，这些相邻差中既有正数，也有负数.

设 ，则 ，并且

所以这些差中至少有一个负数. 同理由 、，可知至少有一个正数.

现在忽略相邻差中的零，将所有非零的  按原顺序排列. 因为正、负两种符号都出现过，所以这个非零项序列中必有相邻两项异号. 设它们为 ，则

由于它们是相邻的非零项，中间的差全是零，即当  时，有 .

取

则 ，且

两差的乘积为负，正好得到乙.

这段证明可以先用一句直观的话帮助理解：将两对点放进同一个有序点列，忽略水平变化，上升与下降之间总会发生一次转向. 上面的计算把这句话落实成了证明，也处理了相邻函数值可能相等的情况.

• 乙推出丙.

乙中的三个点满足 ，所以两个分母 、 都为正. 两个函数值差的乘积为负，除以这两个正数以后，两条割线斜率的乘积仍为负，得到丙.

• 丙推出甲.

丙给出一条正斜率割线和一条负斜率割线. 将每条割线的两个端点分别按横坐标从小到大排列，正斜率给出一对严格上升点，负斜率给出一对严格下降点，正好满足甲.

至此，三种表述等价.

整个证明没有使用连续性. 事实上，即使把区间  换成实数集的任意非空子集 ，并用相同的次序不等式定义单调性，结论仍成立. 如果  只有三个点，两对点当然可以共用其中一个点；不能额外要求四个不同的点.

我们也顺便得到一个关于函数单调性的正面表述：

注意，这里是“任意三点”；而不单调只需“存在三点”违反它.

设  为非空区间. 若函数  满足：对任意 ，都有

则按本题约定，称  为压缩函数.

已知  是  上的压缩函数. 证明： 在  上单调的充要条件是，对任意 ，都有

大家可以看到，这是我搜题搜到的解答，该解答运用的是定义“乙”，这也正好对应了 D 老师前面图片中的疑问：直接使用这个定义是合适的么？

另外，图片中二分时的左右区间写反了：若 ，应取 ；若 ，应取 . 这样才能始终把  留在所取区间内. 图片前面的推导已经排除了中点等于  的情况.

现在回到原题.  题目中的乘积条件，说的是中点的函数值介于两个端点的函数值之间.

如果从定义“甲”出发，我们手里拿到的是两对点：一对上升、一对下降. 两对点可能分散在不同位置，与题目中的“两个端点和一个中点”还没有直接对应起来.

换成定义“乙”，也就是三点判据后，目标就清楚了：如果函数不单调，就存在 ，使  严格超出  所确定的范围. 题目已经禁止“中点超出”，我们接下来只要借助压缩条件，进一步说明“任何内部点超出”也不可能.

但这里还有一步不能省略： 并不意味着 . 不能找到一个峰形三点，就直接往题设的中点公式里代.

下面的二分过程，就是为了补上这一步.

必要性. 若  是增函数，对  有

所以题设两因子的乘积不大于零. 若  是减函数，同理成立.  时交换两点即可， 时乘积为零.

充分性. 假设题设的中点条件成立，反设  不单调.

由三点判据，存在  构成严格峰或严格谷. 先考虑峰形，记

把  二等分. 由中点条件，中点的函数值不超过 . 再把得到的两段各自二等分，新增的中点值也不超过 .

如此继续，第  次等分后的分点为

用数学归纳法可知，每个分点都满足 ：初始的两个端点满足这一点；每个新增点是两个已有分点的中点，其函数值介于两个已有函数值之间，因而仍不超过 .

选取足够大的正整数 ，使

取  所在小区间的一个端点 ，便有 . 一方面，，所以

另一方面，压缩条件给出

矛盾.

若三点构成严格谷，则将  换成 . 压缩条件保持不变，中点乘积的两个因子同时变号，乘积也不变；谷形则变成峰形，仍得到矛盾.

因此  在  上单调，充分性得证.

回看证明，区间条件保证二分得到的点仍在定义域内；中点条件控制所有二分点的函数值；压缩条件把横坐标距离的缩小转化为函数值之差的缩小. 这几个条件各有用途，三点判据的作用也很具体：它让我们只需固定一段  和一个偏离两端值范围的点 ，再围绕这一个偏离量  构造矛盾.

今天听了学校的一堂函数单调性的公开课，受益匪浅. 备课组长 F 老师说，学校的概念教学是特色. 从“是什么”“为什么”到“还有什么”，逐层递进，抽丝剥茧地展示概念的来龙去脉. 概念的正面和反面，以及它所连接的数的微妙和形的直观，都值得每位同学反复琢磨和品味.

对于一个数学陈述，我们也可以多换几个角度来看：通过它的否定，看清它不成立究竟意味着什么；追问逆命题是否成立，看看原来陈述是强还是弱，也即它的充分条件是否也是必要条件；通过逆否命题，寻找与原命题等价、却可能更容易理解或证明的表达.

最后，相关的问题有如下几个，我附在后面了！

来源：2026届浦东新区高三二模第21题第（3）问.

设  满足：对任意 ，都有 . 对非空有界闭区间 ，定义

令 ，. 证明： 在  上单调的充要条件是，对任意 ，都有

设 . 若对任意 ，都有

则称  为  的约束函数. 已知  是  的约束函数.

（1）证明：对于任意 ，都有 .

（2）若  在  上是严格增函数，证明  在  上也是严格增函数.

（3）若  的图像是一条连续曲线，且 ， 在  上的最大值为 ，求 .

2026届金山二模第21题第（2）问

若函数在区间  上的值域  满足 ，则称它在  上为封闭函数.

已知 . 若  在  上不单调，但在该区间上为封闭函数，求  的最大值.