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【考题】

如图，在四棱锥  中， 平面  ，  ，  ， ，  ，点  在线段   上且满足  ，点   在线段    上且满足  

(1) 证明：  平面  ； 

(2) 若  ，求   的值； 

(3) 若存在  ，使直线 与平面 所成角为 ，求  的取值范围。

【解析】

(1) 先利用线面垂直的性质定理得 ，再根据线面垂直的判定定理得   平面  ，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可。

证明：因为 平面   ,   平面   ,   所以 

  又因为 ,   ,    平面   ,  所以 平面   , 

  因为   平面  ,   所以

  又因为 , ,   平面所以  平面 

(2) 根据线面垂直的判定定理得  平面   ，进而根据线面垂直的性质定理得  ，根据  与  相似得  ，利用勾股定理得  及  ，即可求解。

解：由 (1) 可知  ，

又  ，  ， 平面  ，

所以平面  ，

因为  平面  ，

 所以

由 (1) 可知，在  中，  ，

所以

则   与    相似，

则 

在  中，  ，  ，所以

所以因此，(3) 建立空间直角坐标系，设  ， ，则   ，求出平面   的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，

设由题意  在   上有零点，利用判别式法求得  即可得解。

解：以   为原点，以  所在直线分别为   轴，   轴，以过点   垂直于平面  的直线为    轴，建立空间直角坐标系。

因为 ， ，

所以 不妨设   ，  ， ， 。

因为 

 所以   即

由  知， 于是  设 ，则   由  可得 所以 设平面    的一个法向量为  ，

于是所以  令  ，得   ， ，故可取  。

因为所以结合  化简得设因为要存在  ，使    与平面    所成角为   ，所以   在   上有零点。

因为结合  (*)  知函数   图象的对称轴 故

又 所以只需满足  解得  。

  因此，  的取值范围为 。

  这道题的亮点在于第(3)问。它没有直接让你求角，而是给出了角（  ），让你反求边长  的范围。这属于“已知结果求条件”的逆向思维题，通常比正向计算更难，也是高考或模拟考中区分度最高的地方。因此，标题中体现“存在性”或“参数范围”会非常精准。

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