优秀课例|高中数学《椭圆及其标准方程的应用》安阳示范区飞翔

（一）课程背景分析

本课为人教A版高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》第一节《椭圆及其标准方程的应用——求椭圆的标准方程》。作为高中解析几何的核心基石与高考考查的高频重点，近三年高考（2024-2026年全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷）中，椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆位置关系在解答题（15-17分）及选填题中均占据极高分值权重。本节课不仅是巩固“坐标法”与“数形结合”思想的核心载体，更是训练学生严密逻辑推理与代数运算素养的关键节点。

课程依托数智作业与智慧课堂系统深度开展学情数据分析。课前借助作业报告精准抓取学生在方程识别与含参讨论中的思维盲区；课中融合智慧黑板、学生终端、含参椭圆数形结合交互动画、屏幕巡视、小组合作自命题拍照展示与讲解、随堂限时PK竞答等工具，构建起“课前数据靶向诊断-课中动态可视化探究-小组命题研变互评-即时测评精准反馈”的数智化课堂。

（二）学生分析

知识基础：高二年级该班（文科）学生在此前已掌握了椭圆的几何定义及两类标准方程的基本形式，但根据课前数智作业数据诊断，学生在“含参方程的分类讨论”、“复杂方程化为标准形式辨析”以及“焦点位置不确定时的多解讨论”上仍存在明显的概念混淆与运算畏难情绪。

能力水平：学生具备一定的代数化简与合作交流能力，但在几何特征挖掘、数形动态转化敏捷度以及自主命题的高阶建构能力上存在层级分化。借助智慧课堂的即时数据反馈与交互探究动画，能有效化解抽象数学概念的理解壁垒。

心理特点：高二学生逻辑思维正在由形象向抽象深化，对基于学生终端互动的竞赛PK、即时排行榜、交换互评等交互形式展现出极高的探究热情与求知欲。

（一）核心素养目标

1. 数学抽象：通过回顾椭圆定义与辨析标准方程，能够从代数方程及几何图形中快速抽象出核心几何量（a, b, c, 焦点坐标），深刻领悟分母大小与焦点位置的内在对应规律。

2. 逻辑推理：针对含参方程及焦点位置不确定的几何情境，能够展开分类讨论，清晰建构“定义法”与“待定系数法（先定位、后定量）”的逻辑推导框架。

3. 数学运算：熟练运用待定系数法及定义法建立方程组并精准求解，有效提高复杂解析几何式子的代数变形与规范运算素养。

4. 直观想象：借助含参椭圆H5动态探究动画，直观观察方程随参数k变化的几何曲线形态演变过程，强化直观洞察与数形转化能力。

（二）育人与高阶发展目标

通过“小组合作·自主命题与分组互答”机制，推动学生从被动的“做题者”转变为主动的“命题者与审视者”，在严谨求实、勇于创新的研讨氛围中培育团队协作精神与数学批判性思维。

1. 教学重点：掌握求椭圆标准方程的两大核心方法（定义法、待定系数法），熟练运用“先定焦点位置、再求待定字母”的规范步骤求解方程。

2. 教学难点：含参方程中焦点位置不确定时的分类讨论思想；复杂几何图形特征转化为代数条件的能力，以及自主命题时的条件合理性建构与求解验算。

【活动流程】

教学内容：调取数智作业平台学情报告，展示全班前测练习正确率统计数据，剖析学生在方程辨析与参数讨论中的认知断层，并结合近三年高考考情（全国卷解答题高频必考15-17分）明确本课攻坚方向。

教师活动：点击数智作业报告，直观展示全班学情分布、班级得分详情，精准指出待突破的共性薄弱知识点，引出本节课“椭圆及其标准方程的应用——求椭圆标准方程”的主题，说明近三年高考高频考情与本节课学习目标。

学生活动：学生观看作业前测报告，对照自身错题分布，明确学习重难点，快速进入专注攻坚状态。

【设计意图】

数据导航与精准靶向：打破传统经验主义导入，依托数智作业平台真实、客观的学情数据，精准定位班级易错易混考点，让课堂教学从首分钟起便实现靶向聚焦。

【活动流程】

教学内容1：动态演示椭圆生成，梳理椭圆定义，构建椭圆标准方程知识对比体系（焦点在x轴 与焦点在y轴的标准方程、焦点坐标、a/b/c关系等要点巩固），开展随堂全班作答。

教师活动1：教师展示“椭圆的定义”动画，先点击“拿起铅笔，绷直细绳”、再通过“旋转一周，画出轨迹”，提问学生“定义”，给出椭圆标准方程对比表格，帮助学生回顾知识点，向全班推送批注作答，课堂实时进行屏幕巡视，开展小组PK过程性激励评价。

学生活动1：学生在智能终端进行批注作答，任意一位学生作答内容点开阐述，快速激活并全员知识网络。

图1 教师开启“屏幕巡视”，大屏实时展示全班学生终端批注过程

【设计意图】

结构化梳理与即时交互：以表格化要点填写打牢学生概念根基，借助学生终端批注工具，全员参与作答，调动所有学生专注力，实现人人参与的即时呈现。

教学内容2：通过小练快速检测学生对知识点的理解，并以分类的方式让学生对“椭圆方程”进行界定。针对含参椭圆方程开展数形结合动态探究，总结椭圆方程的设定方法。

教师活动2：教师展示5个椭圆方程，让学生快问快答出a、b的值，判断焦点的位置。再发布全班“分一分，选一选”活动，让全体学生动手“拖拽”判断哪些方程代表椭圆，并就含k值的方程提出2个思考问题：“何时表示椭圆”、“何时表示焦点在y轴上的椭圆”，发送制作好的《含参椭圆标准方程数形结合交互探究》H5动画，引导学生探究图形的变化轨迹。在大屏上演示参数k随区间值滑动时的曲线连续演化：当k∈(-2, 1)且k≠-0.5时为椭圆；当k=-0.5时两分母相等化为圆；当k<-2或k>1时演变为双曲线；分母为0时化为平行直线。一起总结出若椭圆焦点位置不确定时的方程设定方法。随即结合一道变式，让学生现学现用，给出思路。

图2 学生分类活动，大屏实时展示全班学生终端分类详情

学生活动2：学生在终端进行分类活动与动态图形探究，自主拖动k值滑块直观观察长短轴顶点、焦点F1/F2坐标以及特征直角三角形（a,b,c关系）的动态演变，并提交理解程度，深刻领会代数符号与几何形态的本质统一。

图3 学生动态探究，全班同步参与课件互动探究与数据即时回收

【设计意图】

通过“快问快答”与学生终端“拖拽分类”全员互动，快速诊断学生对标准方程的认知障碍；针对含参方程这一核心难点，借助交互式H5课件，将抽象枯燥的含参不等式组求解转化为生动直观的曲线连续形变，使“数形结合”思想真正看得见、摸得着，实现深层认知建构，进而引导学生自主归纳出焦点位置不确定时的方程设定通法，实现从直观探究到理性迁移的高阶思维进阶。

【活动流程】

教学内容：典例剖析：写出适合下列条件的椭圆标准方程：① a=4, b=1, 焦点在x轴上；② a=4, b=1, 焦点在坐标轴上；③ 两个焦点为(0, -2)和(0, 2)，经过点P(-1.5, 2.5)。系统对比“待定系数法”与“定义法”的解法精髓。

教师活动：教师打开“作业讲评”，调取出学生在数智作业中做过的典型例题，结合不同得分学生名单，摘出四位典型学生加入对比，并进行批注讲评。通过对比学生作答法一（待定系数法）与法二（定义法），开展直观讲解。随即从数智作业“同类题”中发布变式训练，当堂检测。引导学生总结求椭圆标准方程的主要方法。

图4 对比讲评，教师结合大屏典型学生作答过程及方法

学生活动：被选到的学生站起来讲解自己的思路，明确两种解法的计算量与适用情境。通过变式训练，检测对方法的掌握熟练度。回答出求椭圆标准方程的主要方法。

图5 变式训练，教师发布同类题检测学生方法掌握情况

【设计意图】

依托数智作业平台调取真实作答数据，通过四位典型学生的真实解法多屏对比与批注，将学生的生成性资源转化为课堂探究素材；在“待定系数法”与“定义法”的一题多解辨析中，引导学生明确“先定位、后定量”的解题通法，深化算理理解并突破分类讨论易漏解的思维盲区；最后借助数智作业“同类题”开展变式当堂检测，实现从错例精准纠偏到方法迁移应用的教学闭环。

【活动流程】

教学内容：开展“小组合作·自命题与互解互评”活动：每组自主创编1道求椭圆标准方程的问题并给出解答，要求全员参与研题、解题、验题；顺时针交换命题卷由邻组解答，并开展全班研讨成果汇报。

教师活动：教师发布命题任务，开启大屏端“倒计时5分钟”；在系统中实时监控各组”讨论“数据，选取小组命题（如第一组所命题目：已知焦点在x轴上，过A(2,0), B(0,√3)，求标准方程）进行多屏对比与学生上台汇报。

学生活动：组内分工协作热烈探讨，完成题目创设与求解验证；顺时针交换题目后全力攻关，拍照上传至系统；小组代表上台分享命题巧思与解题心得，开展生生互评。

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图6 小组合作研讨发言频次对比与互动详情统计图

图7 学生小组代表上台汇报自主命题与求解成果

【活动流程】

教学内容：发布两道随堂过关测评，即时回收数据并展示正确率，讲解学生未充分理解知识点。

教师活动：教师发布全班PK竞答，系统快速生成全班获胜名单；教师针对失分典型题目展开“第二处重点讲解”，在电子白板中聚焦“找图形特征、几何量转化”，演示数形结合规范推导。

学生活动：全员独立提交答案，查看PK得分榜；聆听教师深度点拨，巩固共焦点椭圆方程设法与含参不等式求解技巧。

图8 全班PK答题互动

图9 教师结合随堂测试典型错题进行白板聚焦点拨

【设计意图】

即时评测与精准补偿：随堂竞答PK与即时正确率统计，在激发全员竞争动力的同时捕捉当堂认知盲区，实现学情的精准诊断与可视化呈现；教师依托白板针对共性失分题实施二次靶向精讲，引导学生聚焦“找图形特征与几何量转化”，在数形结合的规范推导中彻底攻克共焦点与含参不等式等思维难点，确保核心重难点当堂消化过关。

【活动流程】

教学内容：全课知识导图全景回顾，发布数智分层课后作业。

教师活动：教师带领学生梳理核心依据（椭圆定义、两类方程）、两大方法（待定系数法、定义法）与易错点布置分层课后作业：①结合本节探究，借助AI自主学习再创编2道题（呈现轨迹或焦点三角形）；②完成学生终端基础达标与思维拓展题；③完成数智作业平台个性化错题再练。

学生活动：回顾知识体系，完善个人思维导图，接收分层作业任务。

【设计意图】

生态闭环与个性发展：构建“知识结构化导图小结+AI辅助探究+错题精准再练”的课后延伸体系，实现因材施教与减负增效。

通过全景思维导图帮助学生将零散知识结构化、模型化，夯实解题通法并筑牢易错防线；课后分层作业结合不同层次学生的个性化需求进行布置，并驱动学生向轨迹与焦点三角形等高阶问题深度迁移，实现课堂教学向课后精准育人的有效延伸。

安阳示范区飞翔中学靳鑫鑫老师执教的《椭圆及其标准方程的应用——求椭圆的标准方程》，是一节深度融合数智作业、批阅机、智慧课堂、星光的高中数学交互式融合示范课。本课立足高中解析几何“代数运算繁杂、几何特征隐蔽、含参分类易漏”等传统痛点，成功构建起“数据导航、动态可视化探究、自命题高阶研变、精准闭环反馈”的数智课堂新样态。

本课在教育数字化与数学学科深度融合方面，形成了以下三大标志性亮点与可推广经验：

1. 数据全程赋能，驱动教学精准闭环

课前依托数智作业平台布置练习，批阅机快速批改，精准采集班级错题分布，准确定位学生在方程辨析与含参分类讨论上的思维瓶颈，使课堂教学完全基于真实学情开展；课中随堂即时测评与PK排行榜，赋能教师实施即时二次靶向精讲，课后实现个性化错题巩固，达成教学精准闭环。

2. 动态可视化探究，突破数形转化思维瓶颈

引入星光平台一句话设计生成的《含参椭圆标准方程数形结合交互探究》H5动画，插入课件中发送给学生，通过动态调节参数k，将曲线从双曲线、椭圆到圆的形变过程直观化，配合数轴区间着色与直角三角形特征几何量演示，打破了传统教学中静态黑板难以展现连续运动的局限，让“数形结合”思想真正生动落地。

3. 命题研变驱动，赋能学生高阶思维跃升

突破传统“教师讲例题、学生刷习题”的固化模式，创新设计“小组合作·自命题与顺时针互答”活动。让学生在命题中全景审视条件完备性，在互答互评中深化逻辑严密性；借助智慧课堂对比直观展示与讲解，实现全员高阶思维与团队创新的深度迸发。

教师简介

靳鑫鑫

安阳示范区飞翔中学高中数学骨干教师，从事教育工作16年，一直担任文科重点班班主任，教学成绩突出，曾多次评选为优秀班主任，积极探索高中数学精准教学与数字化智慧课堂实践，运用现代信息技术与大数据手段优化课堂教学结构，激发学生数学思维活力，多次承担智慧教学公开示范课。在教学中坚持“以生为本、数据赋能、素养导向”，致力于构建高效、生动、精准的高中数学数字化生态课堂。