初中数学压轴题 当等腰直角三角形遇见抛物线

第 (1) 问

当 m = 1 时，抛物线为：

y = x² − 2x − 3

令 y = 0：x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = −1 或 x = 3。

∵ A 在 B 左边，

A(−1, 0)，B(3, 0)

令 x = 0：y = −3 → C(0, −3)

配方：y = (x − 1)² − 4 → M(1, −4)，对称轴 x = 1。

第 (2) 问

思路：Q 在对称轴上，设 Q(1, q)；因为 △APQ 是以 AP 为斜边的等腰直角三角形，直角顶点是 Q，所以 把 QA 绕 Q 旋转 90° 就得到 QP。

QA = A − Q = (−2, −q)

方向由“A、P、Q 顺时针”确定：从 QA 转到 QP 是顺时针 90°，变换为 (x, y) → (y, −x)：

QP = (−q, 2)
P = Q + QP = (1 − q, q + 2)

∵ P 在抛物线上，代入 y = x² − 2x − 3：

q + 2 = (1 − q)² − 2(1 − q) − 3
q + 2 = 1 − 2q + q² − 2 + 2q − 3
q + 2 = q² − 4
q² − q − 6 = 0
(q − 3)(q + 2) = 0

① q = 3 → Q(1, 3)，P(1 − 3, 3 + 2) = (−2, 5)

② q = −2 → Q(1, −2)，P(1 + 2, −2 + 2) = (3, 0)

验算：

答案：P(−2, 5) 或 P(3, 0)

说明： ① 之所以只保留顺时针的那一个 Q，是因为对固定的 AP，等腰直角三角形的直角顶点有两个（分别在 AP 两侧），题目用“A、P、Q 顺时针”唯一确定了其中一个。上面的旋转方向就是按这个条件选的，所以两个解都自动满足。 ② P(3, 0) 恰好就是 B 点。若题目另加“P 不与 B 重合”，则只保留 P(−2, 5)。